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4.如图所示，$AB// CD$，若$∠ E=55°$，则$∠ B+∠ D$等于（
A.$125°$
B.$180°$
C.$250°$
D.$305°$
D
）。A.$125°$
B.$180°$
C.$250°$
D.$305°$
答案
4.D
解析
【分析】
这是平行线间存在拐点的角度计算问题，解题时先过拐点E作AB的平行线，利用平行线的传递性可得该辅助线也与CD平行，再结合“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别得到∠B、∠D和对应邻角的和为180°，将两个等式相加后减去已知∠E的度数，即可求出∠B+∠D的结果。
【解析】
解：过点E作$EF// AB$，
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ $AB// EF$，
∴ $∠B + ∠BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $EF// CD$，
∴ $∠D + ∠DEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
将两个等式相加得：
$∠B + ∠BEF + ∠DEF + ∠D = 180° + 180° = 360°$，
又
∵ $∠BEF + ∠DEF = ∠BED = ∠E = 55°$，
∴ $∠B + ∠D = 360° - 55° = 305°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，掌握“过拐点作平行线”的辅助线构造方法是解题的核心，需要熟练运用平行线的同旁内角互补的性质完成角度推导计算。
【难度系数】
0.7
这是平行线间存在拐点的角度计算问题，解题时先过拐点E作AB的平行线，利用平行线的传递性可得该辅助线也与CD平行，再结合“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别得到∠B、∠D和对应邻角的和为180°，将两个等式相加后减去已知∠E的度数，即可求出∠B+∠D的结果。
【解析】
解：过点E作$EF// AB$，
∵ $AB// CD$（已知），
∴ $EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ $AB// EF$，
∴ $∠B + ∠BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $EF// CD$，
∴ $∠D + ∠DEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
将两个等式相加得：
$∠B + ∠BEF + ∠DEF + ∠D = 180° + 180° = 360°$，
又
∵ $∠BEF + ∠DEF = ∠BED = ∠E = 55°$，
∴ $∠B + ∠D = 360° - 55° = 305°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，掌握“过拐点作平行线”的辅助线构造方法是解题的核心，需要熟练运用平行线的同旁内角互补的性质完成角度推导计算。
【难度系数】
0.7
5.如图所示，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原方向反射回去（即$a// b$），根据光的反射可知$∠1=∠3$，$∠2=∠4$，若$∠1=46°$，则$∠2$的度数为（
A.$44°$
B.$46°$
C.$54°$
D.$56°$
A
）。A.$44°$
B.$46°$
C.$54°$
D.$56°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$a// b$，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得入射光线$a$和出射光线$b$形成的同旁内角和为$180°$，也就是$∠1+∠3+∠2+∠4=180°$。再结合题目给出的反射等角关系$∠1=∠3$、$∠2=∠4$，将等式替换化简就能得到$∠1$和$∠2$的数量关系，最后代入$∠1$的度数即可算出$∠2$的数值。
【解析】
解：$\because a// b$，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补
$\therefore ∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 = 180°$
又$\because$已知$∠1=∠3$，$∠2=∠4$
$\therefore$代入得：$2∠1 + 2∠2 = 180°$
等式两边同时除以2，可得：$∠1 + ∠2 = 90°$
$\because ∠1=46°$
$\therefore ∠2 = 90° - 46° = 44°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题结合生活中常见的自行车尾灯反光原理命题，既考查了平行线性质的基础应用，又体现了数学知识和生活实际的联系，解题的关键是准确找到平行线对应的同旁内角，结合已知的等角关系推导计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件$a// b$，回忆平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得入射光线$a$和出射光线$b$形成的同旁内角和为$180°$，也就是$∠1+∠3+∠2+∠4=180°$。再结合题目给出的反射等角关系$∠1=∠3$、$∠2=∠4$，将等式替换化简就能得到$∠1$和$∠2$的数量关系，最后代入$∠1$的度数即可算出$∠2$的数值。
【解析】
解：$\because a// b$，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补
$\therefore ∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 = 180°$
又$\because$已知$∠1=∠3$，$∠2=∠4$
$\therefore$代入得：$2∠1 + 2∠2 = 180°$
等式两边同时除以2，可得：$∠1 + ∠2 = 90°$
$\because ∠1=46°$
$\therefore ∠2 = 90° - 46° = 44°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题结合生活中常见的自行车尾灯反光原理命题，既考查了平行线性质的基础应用，又体现了数学知识和生活实际的联系，解题的关键是准确找到平行线对应的同旁内角，结合已知的等角关系推导计算。
【难度系数】
0.8
6.在同一平面内有2025条互不重合的直线$a_1$，$a_2$，…，$a_{2025}$，如果$a_1 // a_2$，$a_2 // a_3$，$a_3 // a_4$，$a_4 // a_5$，…，依此类推，那么$a_1$与$a_{2025}$的位置关系是（
A.垂直
B.平行
C.垂直或平行
D.不能确定
B
）。A.垂直
B.平行
C.垂直或平行
D.不能确定
答案
6.B
解析
【分析】
首先回忆平行线的相关性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，也叫平行线的传递性。题目中给出所有直线依次互相平行，我们可以通过递推找规律：已知$a_1// a_2$，$a_2// a_3$，根据传递性可得$a_1// a_3$；又$a_3// a_4$，可得$a_1// a_4$，以此类推，$a_1$会和所有后续依次平行的直线保持平行关系，据此即可判断$a_1$和$a_{2025}$的位置关系。
【解析】
根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
已知$a_1// a_2$，$a_2// a_3$，可得$a_1// a_3$；
又$a_3// a_4$，可得$a_1// a_4$；
依此类推可得出规律：所有直线都互相平行，因此$a_1$与任意$a_n$（$n≥1$）的位置关系都是平行，故$a_1// a_{2025}$。
【答案】
B
【知识点】
平行公理的推论，平行线的传递性
【点评】
本题考查平行线传递性的应用，属于基础概念考查题，理解并熟练运用平行于同一直线的两直线互相平行的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆平行线的相关性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，也叫平行线的传递性。题目中给出所有直线依次互相平行，我们可以通过递推找规律：已知$a_1// a_2$，$a_2// a_3$，根据传递性可得$a_1// a_3$；又$a_3// a_4$，可得$a_1// a_4$，以此类推，$a_1$会和所有后续依次平行的直线保持平行关系，据此即可判断$a_1$和$a_{2025}$的位置关系。
【解析】
根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
已知$a_1// a_2$，$a_2// a_3$，可得$a_1// a_3$；
又$a_3// a_4$，可得$a_1// a_4$；
依此类推可得出规律：所有直线都互相平行，因此$a_1$与任意$a_n$（$n≥1$）的位置关系都是平行，故$a_1// a_{2025}$。
【答案】
B
【知识点】
平行公理的推论，平行线的传递性
【点评】
本题考查平行线传递性的应用，属于基础概念考查题，理解并熟练运用平行于同一直线的两直线互相平行的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
7. 如图所示，若$AB// CD$，则$α$，$β$，$\gamma$之间的关系为（ ）。
A.$α+β+\gamma=360°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=180°$
（第4题图）
（第5题图）
（第7题图）
A.$α+β+\gamma=360°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=180°$
（第4题图）
（第5题图）
（第7题图）答案
7.C
解析
【分析】
本题属于平行线间带拐点的角度关系问题，解题核心是过拐点作平行于已知直线的辅助线，将复杂的角度关系拆分为平行线的基础角度性质来推导。首先过点E作EF//AB，结合已知AB//CD可推出EF也平行于CD，再分别利用平行线的同旁内角互补、内错角相等性质表示各角，整理就能得到三个角的关系。
【解析】
过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$EF// CD$。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ α +∠ AEF=180{}^{\circ }$，即$∠ AEF=180{}^{\circ }-∠ α$。
$\because EF// CD$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ FEC=∠ \gamma$。
观察图形可得$∠ β =∠ AEF+∠ FEC$，将$∠ AEF=180{}^{\circ }-∠ α$、$∠ FEC=∠ \gamma$代入得：
$∠ β =180{}^{\circ }-∠ α +∠ \gamma$，
移项整理得：$α +β -\gamma =180{}^{\circ }$。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的经典考法，重点考察拐点类问题的辅助线构造思路，熟练掌握过拐点作平行线的方法，就能快速将未知角度关系转化为平行线的基础性质求解，这类方法也是解决所有平行线间拐点角度问题的通用思路。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间带拐点的角度关系问题，解题核心是过拐点作平行于已知直线的辅助线，将复杂的角度关系拆分为平行线的基础角度性质来推导。首先过点E作EF//AB，结合已知AB//CD可推出EF也平行于CD，再分别利用平行线的同旁内角互补、内错角相等性质表示各角，整理就能得到三个角的关系。
【解析】
过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$EF// CD$。
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠ α +∠ AEF=180{}^{\circ }$，即$∠ AEF=180{}^{\circ }-∠ α$。
$\because EF// CD$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ FEC=∠ \gamma$。
观察图形可得$∠ β =∠ AEF+∠ FEC$，将$∠ AEF=180{}^{\circ }-∠ α$、$∠ FEC=∠ \gamma$代入得：
$∠ β =180{}^{\circ }-∠ α +∠ \gamma$，
移项整理得：$α +β -\gamma =180{}^{\circ }$。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的经典考法，重点考察拐点类问题的辅助线构造思路，熟练掌握过拐点作平行线的方法，就能快速将未知角度关系转化为平行线的基础性质求解，这类方法也是解决所有平行线间拐点角度问题的通用思路。
【难度系数】
0.7
8.如图所示，直线a，b被直线c所截，且$a// b$，若$∠ 1=125°$，则$∠ 2$的度数为
125°
。答案
8.125°
解析
【分析】
首先观察图形，明确∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角；题目已知a//b，回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，因此可推出∠2和∠1度数相等，代入已知∠1的度数就能直接求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵直线$a// b$，且a、b被直线c所截，∠1与∠2是一对同位角，
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，
∴$∠ 2=∠ 1$，
又
∵$∠ 1=125°$，
∴$∠ 2=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
1.平行线的性质
2.同位角的识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线性质的简单应用，解题关键是准确判断两个角的位置关系，熟记平行线的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，明确∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角；题目已知a//b，回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，因此可推出∠2和∠1度数相等，代入已知∠1的度数就能直接求出∠2的大小。
【解析】
解：
∵直线$a// b$，且a、b被直线c所截，∠1与∠2是一对同位角，
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，
∴$∠ 2=∠ 1$，
又
∵$∠ 1=125°$，
∴$∠ 2=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
1.平行线的性质
2.同位角的识别
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线性质的简单应用，解题关键是准确判断两个角的位置关系，熟记平行线的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
