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10.「2026山东淄博周村月考，★☆」关于x的一次函数$y=(2m+1)x+m-2$，若$y$随$x$的增大而减小，且图象与$y$轴的交点在$x$轴下方，则$m$的取值范围是（
A.$m＜-\dfrac{1}{2}$
B.$m＞-\dfrac{1}{2}$
C.$m＜2$
D.$m＞2$
A
）A.$m＜-\dfrac{1}{2}$
B.$m＞-\dfrac{1}{2}$
C.$m＜2$
D.$m＞2$
答案
因为函数$y=(2m+1)x+m-2$中,$y$随$x$的增大而减小,所以$2m+1＜0$,即$m＜-\frac{1}{2}$.因为函数图象与y轴的交点在x轴下方,所以$m-2＜0$,即$m＜2$,所以$m$的取值范围是$m＜-\frac{1}{2}$.故选A.
11.「2026山东济南槐荫期中，★☆」一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=cx+d(a≠0,c≠0)$的图象如图所示，有下列结论：①$y_1$随$x$的增大而减小；②$ad+bc＞0$；③函数$y=ax+d$的图象不经过第一象限；④$3(a-c)=d-b$；⑤$x$的值每增加1，$y_2-y_1$的值增加$d-b$。其中正确的是（
A.①②③④
B.①③④⑤
C.②③④⑤
D.①②③⑤
A
）A.①②③④
B.①③④⑤
C.②③④⑤
D.①②③⑤
答案
①由图象可知,函数$y_1=ax+b$中,$y_1$随$x$的增大而减小,故①正确.②由图象可知$a＜0,b＞0,c＞0,d＜0$,所以$ad＞0,bc＞0$,所以$ad+bc＞0$,故②正确.
③因为$a＜0,d＜0$,所以函数$y=ax+d$的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,故③正确.
④由图象可知,当$x=3$时,$y_1=y_2$,即$3a+b=3c+d$,整理,得$3(a-c)=d-b$,故④正确.
⑤当$x=m$时,$y_2-y_1=cm+d-(am+b)=(c-a)m+d-b$,
当$x=m+1$时,$y_2-y_1=c(m+1)+d-[a(m+1)+b]=(m+1)(c-a)+d-b$,因为$(m+1)(c-a)+d-b-[(c-a) · m+d-b]=c-a$,所以$x$的值每增加1,$y_2-y_1$的值增加$c-a$,故⑤错误.故选A.
③因为$a＜0,d＜0$,所以函数$y=ax+d$的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,故③正确.
④由图象可知,当$x=3$时,$y_1=y_2$,即$3a+b=3c+d$,整理,得$3(a-c)=d-b$,故④正确.
⑤当$x=m$时,$y_2-y_1=cm+d-(am+b)=(c-a)m+d-b$,
当$x=m+1$时,$y_2-y_1=c(m+1)+d-[a(m+1)+b]=(m+1)(c-a)+d-b$,因为$(m+1)(c-a)+d-b-[(c-a) · m+d-b]=c-a$,所以$x$的值每增加1,$y_2-y_1$的值增加$c-a$,故⑤错误.故选A.
12.「2026山东济南商河期中，★☆」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=\frac{4}{3}x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,点$D$在$y$轴的负半轴上.将$△ DAB$沿直线$AD$折叠,点$B$恰好落在$x$轴负半轴上的点$C$处.
(1)求$AB$的长.
(2)求点$C$和点$D$的坐标.
(3)在$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{△ PAB}=\frac{1}{3}S_{△ OCD}$？若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
(1)求$AB$的长.
(2)求点$C$和点$D$的坐标.
(3)在$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{△ PAB}=\frac{1}{3}S_{△ OCD}$？若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
答案
(1)对于$y=\frac{4}{3}x+4$,当$x=0$时,$y=4$,令$y=0$,得$\frac{4}{3}x+4=0$,解得$x=-3$,所以点A的坐标为$(-3,0)$,点B的坐标为$(0,4)$,所以$OA=3,OB=4$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
(2)由折叠可知$AC=AB=5$,$CD=BD$,所以$OC=OA+AC=8$,所以点C的坐标为$(-8,0)$,因为$BD=OB+OD=4+OD$,$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{8^2+OD^2}$,所以$(4+OD)^2=8^2+OD^2$,解得$OD=6$,所以点D的坐标为$(0,-6)$.
(3)存在.点P的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$.
详解:$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CO · OD=\frac{1}{2} × 8 × 6=24$,
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}OA · |y_B-y_P|=\frac{3}{2} × |4-y_P|$,
因为$S_{△ PAB}=\frac{1}{3}S_{△ OCD}$,所以$\frac{3}{2} × |4-y_P|=\frac{1}{3} × 24$,
解得$y_P=\frac{28}{3}$或$y_P=-\frac{4}{3}$,
所以点P的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$.
(2)由折叠可知$AC=AB=5$,$CD=BD$,所以$OC=OA+AC=8$,所以点C的坐标为$(-8,0)$,因为$BD=OB+OD=4+OD$,$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{8^2+OD^2}$,所以$(4+OD)^2=8^2+OD^2$,解得$OD=6$,所以点D的坐标为$(0,-6)$.
(3)存在.点P的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$.
详解:$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CO · OD=\frac{1}{2} × 8 × 6=24$,
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}OA · |y_B-y_P|=\frac{3}{2} × |4-y_P|$,
因为$S_{△ PAB}=\frac{1}{3}S_{△ OCD}$,所以$\frac{3}{2} × |4-y_P|=\frac{1}{3} × 24$,
解得$y_P=\frac{28}{3}$或$y_P=-\frac{4}{3}$,
所以点P的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$.
13. 核心素养 聚焦中考 「2025河南省实验中学期中」小明在学习一次函数后,对形如 $y=k(x-m)+n$（$k,m,n$为常数,且$k≠0$）的一次函数图象和性质进行了探究,过程如下:
如图所示,小明分别画出了函数 $y=(x-1)+2$, $y=-(x-1)+2$, $y=2(x-1)+2$ 的图象.
【深入探究】
(1)通过对几个函数图象的观察、思考,你发现 $y=k(x-1)+2$（$k$为常数,且$k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
【得到性质】
(2)函数 $y=k(x-m)+n$（$k,m,n$为常数,且$k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
【实践运用】
(3)已知一次函数 $y=k(x+2)-3$（$k$为常数,且$k≠0$）的图象一定过点$N$,且与$y$轴相交于点$A$,若$△ OAN$的面积为5,求$k$的值.
如图所示,小明分别画出了函数 $y=(x-1)+2$, $y=-(x-1)+2$, $y=2(x-1)+2$ 的图象.
【深入探究】
(1)通过对几个函数图象的观察、思考,你发现 $y=k(x-1)+2$（$k$为常数,且$k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
(1,2)
.【得到性质】
(2)函数 $y=k(x-m)+n$（$k,m,n$为常数,且$k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
(m,n)
.【实践运用】
(3)已知一次函数 $y=k(x+2)-3$（$k$为常数,且$k≠0$）的图象一定过点$N$,且与$y$轴相交于点$A$,若$△ OAN$的面积为5,求$k$的值.
答案
(1)由题图可知函数$y=k(x-1)+2$($k$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(1,2)$.
(2)当$x=m$时,$y=k(m-m)+n=n$,因此函数$y=k(x-m)+n$($k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(m,n)$.
(3)因为一次函数$y=k(x+2)-3$($k$为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,所以$N(-2,-3)$,
因为图象与y轴相交于点A,所以$A(0,2k-3)$,
所以$OA=|2k-3|$,因为$△ OAN$的面积为5,
所以$\frac{1}{2} × |2k-3| × 2=5$,所以$k=4$或$k=-1$.
(2)当$x=m$时,$y=k(m-m)+n=n$,因此函数$y=k(x-m)+n$($k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(m,n)$.
(3)因为一次函数$y=k(x+2)-3$($k$为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,所以$N(-2,-3)$,
因为图象与y轴相交于点A,所以$A(0,2k-3)$,
所以$OA=|2k-3|$,因为$△ OAN$的面积为5,
所以$\frac{1}{2} × |2k-3| × 2=5$,所以$k=4$或$k=-1$.
