登录
9. (26分)[内江中考]如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$在第二象限的图象与一次函数$y=k_2x+b$的图象相交于$A(a,6),B(-6,1)$两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式.
(2) 当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3) 过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D. 若点C的横坐标为-4,求$△ BOD$的面积.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式.
(2) 当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3) 过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D. 若点C的横坐标为-4,求$△ BOD$的面积.
答案
9. (1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,
$\therefore k_1=-6×1=-6$. $\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$. 把点$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$,解得$a=-1$. $\therefore$ 点A的坐标为$(-1,6)$. $\because$ 一次函数的图象经过$A(-1,6),B(-6,1)$, $\therefore \begin{cases}-k+b=6,\\-6k+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=7.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+7$
(2) $-6≤x≤-1$
(3) 对于$y=x+7$,令$x=-4$,得$y=-4+7=3$. $\therefore C(-4,3)$. 对于$y=-\frac{6}{x}$,令$y=3$,得$3=-\frac{6}{x}$,解得$x=-2$. $\therefore D(-2,3)$. 过点B,D分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E. $\because B(-6,1),D(-2,3)$,$\therefore DE=3$,$BF=1$,$EF=4$. $\because S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△ DEO}$,$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}$,$\therefore S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(DE+BF)· EF=8$
$\therefore k_1=-6×1=-6$. $\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$. 把点$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$,解得$a=-1$. $\therefore$ 点A的坐标为$(-1,6)$. $\because$ 一次函数的图象经过$A(-1,6),B(-6,1)$, $\therefore \begin{cases}-k+b=6,\\-6k+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=7.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+7$
(2) $-6≤x≤-1$
(3) 对于$y=x+7$,令$x=-4$,得$y=-4+7=3$. $\therefore C(-4,3)$. 对于$y=-\frac{6}{x}$,令$y=3$,得$3=-\frac{6}{x}$,解得$x=-2$. $\therefore D(-2,3)$. 过点B,D分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E. $\because B(-6,1),D(-2,3)$,$\therefore DE=3$,$BF=1$,$EF=4$. $\because S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△ DEO}$,$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}$,$\therefore S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(DE+BF)· EF=8$
