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1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是（
A.$PC=PD$
B.$OC=OD$
C.$∠ CPO=∠ DPO$
D.$∠ CPD=∠ DOC$
D
）A.$PC=PD$
B.$OC=OD$
C.$∠ CPO=∠ DPO$
D.$∠ CPD=∠ DOC$
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路：首先结合角平分线的性质判断A选项的正确性，再通过证明直角三角形全等推导对应边、对应角的关系，验证B、C选项，最后利用四边形内角和分析D选项中两个角的数量关系，判断其是否一定成立。
步骤：①利用角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质判断PC和PD的关系；②通过HL判定定理证明△OPC和△OPD全等，推导对应边、对应角的等量关系；③结合四边形内角和得到∠CPD和∠DOC的和为定值，判断二者是否一定相等。
【解析】
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得$PC=PD$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$Rt△ OPC$和$Rt△ OPD$中：
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PC=PD\end{array} $
∴$Rt△ OPC≌Rt△ OPD$（HL），
∴$OC=OD$，$∠CPO=∠DPO$，故B、C选项结论正确，不符合题意；
在四边形OCPD中，$∠PCO=∠PDO=90°$，
∴$∠CPD+∠DOC=360°-90°-90°=180°$，
仅当$∠DOC=90°$时$∠CPD=∠DOC$，其余情况两个角均不相等，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和
【点评】
本题属于角平分线性质的基础常考题，解题核心是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，需要注意“不一定正确”的含义是存在不成立的情况即可判定，不要误把特殊情况成立当成普遍成立。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合角平分线的性质判断A选项的正确性，再通过证明直角三角形全等推导对应边、对应角的关系，验证B、C选项，最后利用四边形内角和分析D选项中两个角的数量关系，判断其是否一定成立。
步骤：①利用角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质判断PC和PD的关系；②通过HL判定定理证明△OPC和△OPD全等，推导对应边、对应角的等量关系；③结合四边形内角和得到∠CPD和∠DOC的和为定值，判断二者是否一定相等。
【解析】
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得$PC=PD$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$Rt△ OPC$和$Rt△ OPD$中：
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PC=PD\end{array} $
∴$Rt△ OPC≌Rt△ OPD$（HL），
∴$OC=OD$，$∠CPO=∠DPO$，故B、C选项结论正确，不符合题意；
在四边形OCPD中，$∠PCO=∠PDO=90°$，
∴$∠CPD+∠DOC=360°-90°-90°=180°$，
仅当$∠DOC=90°$时$∠CPD=∠DOC$，其余情况两个角均不相等，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和
【点评】
本题属于角平分线性质的基础常考题，解题核心是熟练掌握角平分线性质和全等三角形的判定方法，需要注意“不一定正确”的含义是存在不成立的情况即可判定，不要误把特殊情况成立当成普遍成立。
【难度系数】
0.7
2.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
C
）A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推出AF是顶角∠BAC的角平分线；再结合问题求点F到AC的距离，已知点F到AB的距离为3，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可直接推出所求距离。
【解析】
解：
∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵点F在∠BAC的角平分线AF上，且点F到直线AB的距离为3，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础考查题，将等腰三角形的性质与角平分线的性质结合，熟练掌握两个基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推出AF是顶角∠BAC的角平分线；再结合问题求点F到AC的距离，已知点F到AB的距离为3，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可直接推出所求距离。
【解析】
解：
∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
∴AF平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵点F在∠BAC的角平分线AF上，且点F到直线AB的距离为3，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础考查题，将等腰三角形的性质与角平分线的性质结合，熟练掌握两个基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 2025·滨州 新考法·面积公式法 如图，$△ ABC$的两个外角的平分线AD,CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5,$AB=4$,则$△ ABO$的面积为
7
.答案
3.7 【点拨】
∵△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.
∵点O到BC的距离为3.5,
∴点O到AB的距离为3.5.
∵AB=4,
∴△ABO的面积为$\frac{1}{2}×4×3.5=7$.
∵△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.
∵点O到BC的距离为3.5,
∴点O到AB的距离为3.5.
∵AB=4,
∴△ABO的面积为$\frac{1}{2}×4×3.5=7$.
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD、CE是△ABC的外角平分线且交于点O，首先可推出点O到AB、AC、BC三边的距离相等，由此得到点O到AB的距离等于已知的O到BC的距离3.5；再结合△ABO的底AB的长度，利用三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
∵AD是△ABC的外角平分线，点O在AD上，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，
同理，CE是△ABC的外角平分线，点O在CE上，
∴点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离 = 点O到BC的距离 = 3.5，
又
∵AB = 4，
∴$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AB ×$ 点O到AB的距离 $= \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质推导出点O到AB边的距离，将已知条件和所求三角形的面积关联起来，计算难度较低，只要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD、CE是△ABC的外角平分线且交于点O，首先可推出点O到AB、AC、BC三边的距离相等，由此得到点O到AB的距离等于已知的O到BC的距离3.5；再结合△ABO的底AB的长度，利用三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
∵AD是△ABC的外角平分线，点O在AD上，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，
同理，CE是△ABC的外角平分线，点O在CE上，
∴点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离 = 点O到BC的距离 = 3.5，
又
∵AB = 4，
∴$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AB ×$ 点O到AB的距离 $= \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质推导出点O到AB边的距离，将已知条件和所求三角形的面积关联起来，计算难度较低，只要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. [2026东莞期末] 如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位:cm)放置在$∠ AOB$上，两把直尺的接触点为$P$，边$OA$与其中一把直尺边缘的交点为$C$，点$C$，$P$在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则$OC$的长度是（
A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
A
）A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
答案
4. A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先明确完全相同的直尺宽度相等，因此交点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理可推出OP平分∠AOB；②其次直尺的对边互相平行，可得内错角∠CPO=∠POB，结合角平分线的定义，等量代换得到∠COP=∠CPO；③根据等角对等边可知OC=CP，最后计算CP的长度即可得到OC的长度。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E。
∵两把长方形直尺完全相同，
∴直尺的宽度相等，即PD=PE，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
∵直尺的对边互相平行，
∴CP//OB，
∴∠CPO=∠POB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵OP平分∠AOB，
∴∠COP=∠POB，
∴∠COP=∠CPO，
∴△COP为等腰三角形，OC=CP。
∵点C、P在直尺上的刻度分别为2和5，
∴CP=5-2=3(cm)，
∴OC=3cm。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合生活中的直尺摆放场景考查几何基础定理的应用，解题的关键是挖掘直尺隐含的“宽度相等、对边平行”的性质，将实际场景转化为几何关系求解，能有效考查学生对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①首先明确完全相同的直尺宽度相等，因此交点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理可推出OP平分∠AOB；②其次直尺的对边互相平行，可得内错角∠CPO=∠POB，结合角平分线的定义，等量代换得到∠COP=∠CPO；③根据等角对等边可知OC=CP，最后计算CP的长度即可得到OC的长度。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E。
∵两把长方形直尺完全相同，
∴直尺的宽度相等，即PD=PE，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
∵直尺的对边互相平行，
∴CP//OB，
∴∠CPO=∠POB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵OP平分∠AOB，
∴∠COP=∠POB，
∴∠COP=∠CPO，
∴△COP为等腰三角形，OC=CP。
∵点C、P在直尺上的刻度分别为2和5，
∴CP=5-2=3(cm)，
∴OC=3cm。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合生活中的直尺摆放场景考查几何基础定理的应用，解题的关键是挖掘直尺隐含的“宽度相等、对边平行”的性质，将实际场景转化为几何关系求解，能有效考查学生对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,点$M,N$为$AC$边上的两点,$BM\bot AC$于点$M$,$ND\bot BC$于点$D$,且$AM=NM=ND$,若$∠ A=70°$,则$∠ C$的度数为
50°
。答案
5. 50° 【点拨】
∵BM⊥AC,
∴∠AMB=∠NMB=90°.又
∵AM = NM, BM = BM,
∴ △ABM ≅ △NBM,
∴∠ABM=∠NBM.
∵∠A=70°,
∴∠ABM=90°-70°=20°,
∴∠NBM = 20°.
∵ ND ⊥ BC, NM ⊥ BM, NM=ND,
∴BN平分∠MBD,
∴∠DBN=∠NBM=20°,
∴∠ABC=60°,
∴∠C=180°-70°-60°=50°.
∵BM⊥AC,
∴∠AMB=∠NMB=90°.又
∵AM = NM, BM = BM,
∴ △ABM ≅ △NBM,
∴∠ABM=∠NBM.
∵∠A=70°,
∴∠ABM=90°-70°=20°,
∴∠NBM = 20°.
∵ ND ⊥ BC, NM ⊥ BM, NM=ND,
∴BN平分∠MBD,
∴∠DBN=∠NBM=20°,
∴∠ABC=60°,
∴∠C=180°-70°-60°=50°.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：BM垂直AC，AM=NM，可先通过SAS证明△ABM和△NBM全等，得到∠ABM=∠NBM，结合直角三角形两锐角互余算出这两个角的度数；再根据NM=ND，且NM⊥BM、ND⊥BC，利用角平分线的判定定理得出BN平分∠MBC，得到∠DBN的度数，进而求出∠ABC的总度数，最后用三角形内角和定理计算∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵$BM\bot AC$，
∴$∠ AMB=∠ NMB=90°$，
在$△ ABM$和$△ NBM$中：
$\begin{cases}AM=NM \\∠ AMB=∠ NMB \\BM=BM\end{cases}$
∴$△ ABM ≌ △ NBM(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ABM=∠ NBM$，
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ A=70°$，
∴$∠ ABM=90°-∠ A=90°-70°=20°$，
∴$∠ NBM=20°$，
∵$NM\bot BM$，$ND\bot BC$，且$NM=ND$，
∴点$N$在$∠ MBC$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$BN$平分$∠ MBC$，
∴$∠ DBN=∠ NBM=20°$，
∴$∠ ABC=∠ ABM+∠ NBM+∠ DBN=20°+20°+20°=60°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ ABC=180°-70°-60°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是灵活运用全等三角形、角平分线判定的相关定理推导角的等量关系，同时要熟练掌握直角三角形、三角形内角和的性质，能为后续更复杂的几何角度计算类题目打下基础。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：BM垂直AC，AM=NM，可先通过SAS证明△ABM和△NBM全等，得到∠ABM=∠NBM，结合直角三角形两锐角互余算出这两个角的度数；再根据NM=ND，且NM⊥BM、ND⊥BC，利用角平分线的判定定理得出BN平分∠MBC，得到∠DBN的度数，进而求出∠ABC的总度数，最后用三角形内角和定理计算∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵$BM\bot AC$，
∴$∠ AMB=∠ NMB=90°$，
在$△ ABM$和$△ NBM$中：
$\begin{cases}AM=NM \\∠ AMB=∠ NMB \\BM=BM\end{cases}$
∴$△ ABM ≌ △ NBM(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ABM=∠ NBM$，
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ A=70°$，
∴$∠ ABM=90°-∠ A=90°-70°=20°$，
∴$∠ NBM=20°$，
∵$NM\bot BM$，$ND\bot BC$，且$NM=ND$，
∴点$N$在$∠ MBC$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即$BN$平分$∠ MBC$，
∴$∠ DBN=∠ NBM=20°$，
∴$∠ ABC=∠ ABM+∠ NBM+∠ DBN=20°+20°+20°=60°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ ABC=180°-70°-60°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是灵活运用全等三角形、角平分线判定的相关定理推导角的等量关系，同时要熟练掌握直角三角形、三角形内角和的性质，能为后续更复杂的几何角度计算类题目打下基础。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,点 D 在 BC 边上,$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作$EF⊥ AB$,交 BA 的延长线于 F,且$∠ AEF=50°$,连接 DE.
(1)求证:DE 平分$∠ ADC$;
(2)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,则$S_{△ ABE}=$
(1)求证:DE 平分$∠ ADC$;
(2)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,则$S_{△ ABE}=$
$\frac{35}{4}$
.答案
6. (1)【证明】过点 E 作 EG⊥AD 于点 G,EH⊥BC 于点 H,如图所示，
∵EF⊥BF,∠AEF=50°,
∴∠FAE=40°.
又
∵∠BAD=100°,
∴∠DAE=180°-∠BAD-∠FAE=40°=∠FAE,
∴AC平分∠FAD.
又
∵EF⊥BF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
又
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(2)$\frac{35}{4}$ 【点拨】
∵$S_{△ACD}=15,EG=EH=EF,∴\frac{1}{2}×AD×EG+\frac{1}{2}×CD×EH=15$,即$\frac{1}{2}×4×EG+\frac{1}{2}×8×EG=15$,解得$EG=\frac{5}{2}$,
∴$EF=EG=\frac{5}{2}$,
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}×AB×EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等。先通过角度计算推出AC平分∠FAD，结合角平分线的性质得到E到AB、AD的距离相等，再由BE是∠ABC的平分线，得到E到AB、BC的距离相等，进而得到E到AD和BC的距离相等，即可证得结论。
(2) 求△ABE的面积，已知底AB的长度，只需算出AB边上的高EF。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，结合(1)中得到的EG=EH=EF，代入已知条件求出EG的长度，即得到EF的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图所示。
∵EF⊥BF，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°-∠AEF=40°。
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-∠BAD-∠FAE=180°-100°-40°=40°，
∴∠FAE=∠DAE，即AC平分∠FAD。
∵EF⊥BF，EG⊥AD，AC平分∠FAD，
∴EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴EG=EH。
又
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2) 解：
∵$S_{△ACD} = S_{△ADE} + S_{△CDE} =15$，且$EG=EH=EF$，
∴$\frac{1}{2} × AD × EG + \frac{1}{2} × CD × EH =15$，
将$AD=4$，$CD=8$，$EG=EH$代入得：
$\frac{1}{2} × 4 × EG + \frac{1}{2} × 8 × EG =15$
化简得$6EG=15$，解得$EG=\frac{5}{2}$，
∴$EF=EG=\frac{5}{2}$，
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} × AB × EF = \frac{1}{2} ×7 × \frac{5}{2} = \frac{35}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析，辅助线如图：
(2) $\frac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用，解题核心是合理添加垂线段类辅助线，利用角平分线的性质实现线段的等量转化，同时通过拆分三角形面积求解未知高，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、CD的距离相等。先通过角度计算推出AC平分∠FAD，结合角平分线的性质得到E到AB、AD的距离相等，再由BE是∠ABC的平分线，得到E到AB、BC的距离相等，进而得到E到AD和BC的距离相等，即可证得结论。
(2) 求△ABE的面积，已知底AB的长度，只需算出AB边上的高EF。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，结合(1)中得到的EG=EH=EF，代入已知条件求出EG的长度，即得到EF的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图所示。
∵EF⊥BF，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°-∠AEF=40°。
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-∠BAD-∠FAE=180°-100°-40°=40°，
∴∠FAE=∠DAE，即AC平分∠FAD。
∵EF⊥BF，EG⊥AD，AC平分∠FAD，
∴EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴EG=EH。
又
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2) 解：
∵$S_{△ACD} = S_{△ADE} + S_{△CDE} =15$，且$EG=EH=EF$，
∴$\frac{1}{2} × AD × EG + \frac{1}{2} × CD × EH =15$，
将$AD=4$，$CD=8$，$EG=EH$代入得：
$\frac{1}{2} × 4 × EG + \frac{1}{2} × 8 × EG =15$
化简得$6EG=15$，解得$EG=\frac{5}{2}$，
∴$EF=EG=\frac{5}{2}$，
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} × AB × EF = \frac{1}{2} ×7 × \frac{5}{2} = \frac{35}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析，辅助线如图：
(2) $\frac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用，解题核心是合理添加垂线段类辅助线，利用角平分线的性质实现线段的等量转化，同时通过拆分三角形面积求解未知高，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.如图，直线$l_1,l_2,l_3$表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有
4
处。答案
7. 4
点方法 到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点共有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易认为满足条件的点只有1处而导致漏解.
点方法 到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点共有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易认为满足条件的点只有1处而导致漏解.
解析
【分析】
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，需结合角平分线的性质与判定思考：到两条相交直线距离相等的点，在这两条直线所成夹角的角平分线上。因此我们需要找同时在三条直线两两夹角的角平分线上的点，分三角形内部和外部两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
1. 三条直线相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点在三角形内部，到三条公路（即三边所在直线）的距离相等，共1处；
2. 三角形任意两个外角的角平分线与第三个内角的角平分线也交于1点，这类点在三角形外部，共有3个，每个点到三条公路的距离都相等。
合计符合条件的地址共有$1+3=4$处。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，漏算外部的3个外角平分线相关交点，解题时要注意题目要求是到三条直线的距离相等，而非仅到三角形的三条边距离相等，思考问题要全面。
【难度系数】
0.5
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，需结合角平分线的性质与判定思考：到两条相交直线距离相等的点，在这两条直线所成夹角的角平分线上。因此我们需要找同时在三条直线两两夹角的角平分线上的点，分三角形内部和外部两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
1. 三条直线相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点在三角形内部，到三条公路（即三边所在直线）的距离相等，共1处；
2. 三角形任意两个外角的角平分线与第三个内角的角平分线也交于1点，这类点在三角形外部，共有3个，每个点到三条公路的距离都相等。
合计符合条件的地址共有$1+3=4$处。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，漏算外部的3个外角平分线相关交点，解题时要注意题目要求是到三条直线的距离相等，而非仅到三角形的三条边距离相等，思考问题要全面。
【难度系数】
0.5
8. 如图,分别以$△ ABC$的边$AB,AC$为直角边,向外作等腰直角三角形$ABD,ACE$,连接$BE$,$CD$,$BE$和$CD$交于点$F$,连接$AF$.下列结论中不一 定成 立的 是（
A.$BE=CD$
B.$∠ EFC=90°$
C.$AF$平分$∠ BFC$
D.$∠ DAF=∠ DCA$
D
）A.$BE=CD$
B.$∠ EFC=90°$
C.$AF$平分$∠ BFC$
D.$∠ DAF=∠ DCA$
答案
8. D 【点拨】由题意得 AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAE=∠DAC,
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD,故A正确,不符合题意;
如图①,
∵△BAE≌△DAC,
∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,
∴∠DFB=∠DAB=90°,
∴∠EFC=90°,故B正确,不符合题意;
如图②,过点 A 作 AM⊥BE 于点 M,作 AN⊥DC 于点 N.
∵△BAE≌△DAC,
∴$S_{△BAE}=S_{△DAC}$,
∴$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$.
∵BE=CD,
∴AM=AN.
又
∵AM⊥BE,AN⊥DC,
∴FA平分∠BFC,故C正确,不符合题意;
现有条件不足以证明∠DAF=∠DCA,故D错误,符合题意,故选D.
解析
【分析】
本题属于共顶点等腰直角三角形的“手拉手”模型问题，解题思路如下：首先根据等腰直角三角形的边、角特征，寻找全等三角形的判定条件，证明△BAE≌△DAC；再结合全等三角形的性质依次验证选项：A选项可通过全等对应边相等直接判断；B选项通过全等对应角相等结合对顶角相等导角判断；C选项利用全等三角形面积相等，结合角平分线的判定定理判断；D选项尝试推导，发现无充分条件证明两角相等，即可确定答案。
【解析】
由题意可知△ABD、△ACE均为等腰直角三角形，因此AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°。
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠BAE=∠DAC。
在△BAE和△DAC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAE=∠ DAC\\ AE=AC\end{array} $
∴△BAE≌△DAC（SAS）。
验证A选项：由全等三角形对应边相等可得BE=CD，故A一定成立，不符合题意。
验证B选项：如图①，由△BAE≌△DAC得∠1=∠2，又∠3=∠4（对顶角相等），因此∠DFB=∠DAB=90°，可得∠EFC=∠DFB=90°，故B一定成立，不符合题意。
验证C选项：如图②，过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥DC于点N。
∵△BAE≌△DAC，
∴$S_{△ BAE}=S_{△ DAC}$，即$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$，又BE=CD，因此AM=AN。
∵AM⊥BE，AN⊥DC，根据角平分线的判定定理，可知FA平分∠BFC，故C一定成立，不符合题意。
验证D选项：现有已知条件无法推导出∠DAF=∠DCA，故D不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型习题，综合考查了三角形全等、角平分线、等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是先证明三角形全等，再结合导角、面积法等逐一推导结论，注意不能主观臆断无依据的角相等关系。
【难度系数】
0.6
本题属于共顶点等腰直角三角形的“手拉手”模型问题，解题思路如下：首先根据等腰直角三角形的边、角特征，寻找全等三角形的判定条件，证明△BAE≌△DAC；再结合全等三角形的性质依次验证选项：A选项可通过全等对应边相等直接判断；B选项通过全等对应角相等结合对顶角相等导角判断；C选项利用全等三角形面积相等，结合角平分线的判定定理判断；D选项尝试推导，发现无充分条件证明两角相等，即可确定答案。
【解析】
由题意可知△ABD、△ACE均为等腰直角三角形，因此AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°。
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠BAE=∠DAC。
在△BAE和△DAC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAE=∠ DAC\\ AE=AC\end{array} $
∴△BAE≌△DAC（SAS）。
验证A选项：由全等三角形对应边相等可得BE=CD，故A一定成立，不符合题意。
验证B选项：如图①，由△BAE≌△DAC得∠1=∠2，又∠3=∠4（对顶角相等），因此∠DFB=∠DAB=90°，可得∠EFC=∠DFB=90°，故B一定成立，不符合题意。
验证C选项：如图②，过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥DC于点N。
∵△BAE≌△DAC，
∴$S_{△ BAE}=S_{△ DAC}$，即$\frac{1}{2}BE·AM=\frac{1}{2}CD·AN$，又BE=CD，因此AM=AN。
∵AM⊥BE，AN⊥DC，根据角平分线的判定定理，可知FA平分∠BFC，故C一定成立，不符合题意。
验证D选项：现有已知条件无法推导出∠DAF=∠DCA，故D不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型习题，综合考查了三角形全等、角平分线、等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是先证明三角形全等，再结合导角、面积法等逐一推导结论，注意不能主观臆断无依据的角相等关系。
【难度系数】
0.6
