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14. 对于任意的有理数$a,b,c,d$，我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1×4 -2×3=-2$，则$\begin{vmatrix} a+c & (b-a)^2 \\ a-c & (a-b)^2 \end{vmatrix}$的值为 ______ 。
答案
14.$2c(a-b)^2$ 【点拨】$\because \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} a+c & (b-a)^2 \\ a-c & (a-b)^2 \end{vmatrix}$
$=(a+c)(a-b)^2-(b-a)^2(a-c)$
$=(a-b)^2(a+c-a+c)$
$=2c(a-b)^2$.
$\therefore \begin{vmatrix} a+c & (b-a)^2 \\ a-c & (a-b)^2 \end{vmatrix}$
$=(a+c)(a-b)^2-(b-a)^2(a-c)$
$=(a-b)^2(a+c-a+c)$
$=2c(a-b)^2$.
15. 新考法 化繁为简法 已知 $a=\frac{1}{2026}x + 18$，$b=\frac{1}{2026}x + 17$，$c=\frac{1}{2026}x + 16$，那么代数式 $a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ac$ 的值是________。
答案
15.3 【点拨】$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)$.由 $a=\frac{1}{2026}x+18,b=\frac{1}{2026}x+17,c=\frac{1}{2026}x+16$,得 $a-b=(\frac{1}{2026}x+18)-(\frac{1}{2026}x+17)=1$,$b-c=1,c-a=-2,\therefore 原式=a+b-2c=\frac{1}{2026}x+18+\frac{1}{2026}x+17-2(\frac{1}{2026}x+16)=3$.
16. 不解方程组$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{3}{2}, \\5x+2=3y,\end{cases}$求整式$(2x+y)·(2x-3y)+3x(2x+y)$的值.
答案
16.【解】$(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y).\because \begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{3}{2}, \\5x+2=3y,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}2x+y=3, \\5x-3y=-2.\end{cases}\therefore 原式=3×(-2)=-6$.
$\therefore \begin{cases}2x+y=3, \\5x-3y=-2.\end{cases}\therefore 原式=3×(-2)=-6$.
17. 新考法 阅读类比法 阅读下面因式分解的过程：
把多项式$am+an+bm+bn$因式分解.
解法一:$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$;
解法二:$am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)$.
请你选择一种解法把下列多项式因式分解:
(1)$mx-my+nx-ny$;
(2)$2a+4b-3ma-6mb$.
把多项式$am+an+bm+bn$因式分解.
解法一:$am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$;
解法二:$am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)$.
请你选择一种解法把下列多项式因式分解:
(1)$mx-my+nx-ny$;
(2)$2a+4b-3ma-6mb$.
答案
17.【解】(选取解法不唯一)(1)$mx-my+nx-ny=(mx-my)+(nx-ny)=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)$.
(2)$2a+4b-3ma-6mb=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)$.
(2)$2a+4b-3ma-6mb=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)$.
18. 阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$ ①
$=(1+x)^2(1+x)$ ②
$=(1+x)^3$. ③
(1) 上述分解因式的方法是
(2) 分解 $1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2026}$ 的结果是
(3) 分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$（$n$ 为正整数）.
问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$ ①
$=(1+x)^2(1+x)$ ②
$=(1+x)^3$. ③
(1) 上述分解因式的方法是
提公因式法
，由②到③这一步的根据是 同底数幂的乘法法则
；(2) 分解 $1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2026}$ 的结果是
$(1+x)^{2027}$
；(3) 分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$（$n$ 为正整数）.
答案
18.【解】(1)提公因式法;同底数幂的乘法法则
(2)$(1+x)^{2027}$
(3)原式$=(1+x)^{n+1}$.
(2)$(1+x)^{2027}$
(3)原式$=(1+x)^{n+1}$.
19. 每个人都拥有一个快乐数，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数. 比如我国著名的数学家华罗庚出生于1910年，他的快乐数是$1910-(1+9+1+0)=1899$.
(1)某人出生于1949年，他的快乐数是
(2)快乐数都能被
(3)请你重新定义快乐数，并写出一个你找到的规律(直接写出结果，不用证明).
(1)某人出生于1949年，他的快乐数是
1926
；(2)快乐数都能被
9
整除，请你用所学知识说明你的猜想；(3)请你重新定义快乐数，并写出一个你找到的规律(直接写出结果，不用证明).
答案
19.【解】(1)1926
(2)9
设出生年份为$1000a+100b+10c+d(a≠0)$,
$\therefore$快乐数为$1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)$
$=1000a+100b+10c+d-a-b-c-d$
$=999a+99b+9c$
$=9(111a+11b+c)$.
$\therefore$快乐数都能被9整除.
(3)定义:若一个四位数的千位数字与十位数字相等,个位数字与百位数字相等,则称这个数为快乐数.发现的规律是快乐数能被101整除.(答案不唯一)
【点拨】令这个快乐数为$1000m+100n+10m+n(m≠0),\therefore 1000m+100n+10m+n=1010m+101n=101(10m+n).\therefore$快乐数能被101整除.
(2)9
设出生年份为$1000a+100b+10c+d(a≠0)$,
$\therefore$快乐数为$1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)$
$=1000a+100b+10c+d-a-b-c-d$
$=999a+99b+9c$
$=9(111a+11b+c)$.
$\therefore$快乐数都能被9整除.
(3)定义:若一个四位数的千位数字与十位数字相等,个位数字与百位数字相等,则称这个数为快乐数.发现的规律是快乐数能被101整除.(答案不唯一)
【点拨】令这个快乐数为$1000m+100n+10m+n(m≠0),\therefore 1000m+100n+10m+n=1010m+101n=101(10m+n).\therefore$快乐数能被101整除.
