例3 (1)如图,将$□ ABCD$绕点A逆时针旋转到$□ AB'C'D'$的位置,使点$B'$落在BC上,$B'C'$与CD交于点E。若$∠ C'=100°$,则旋转角的度数为________。
(2)(真题·舟山定海)我国新能源汽车产业发展迅猛,取得了举世瞩目的成就,下列新能源汽车标志既是轴对称图形,又是中心对称图形的是…………………………()

(1)$20°$ (2)C

变式3 (真题·宁波镇海)若点$P(a-1,-2)$与点$Q(-1,2)$关于坐标原点对称,则$a$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。

2

例4 (1)(真题·嘉兴)在$□ ABCD$中,若$∠ A=4∠ D$,则$∠ B$的度数是………………………………………………（ ）
A.$20°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$144°$
(2)(真题·绍兴越城)如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$BE=DF$,$AE⊥ BD$,$CF⊥ BD$,垂足分别为点$E,F$。
①求证:四边形$ABCD$是平行四边形;
②若$E,F$是$BD$的三等分点,$BD=12$,$AC=6$,求四边形$ABCD$的面积。

(1)B
(2)① 证明:因为 $AE ⊥ BD, CF ⊥ BD$,所以$∠ AEB=∠ CFD=90°$,因为 $AB/\!/ CD$,所以$∠ ABE=∠ CDF$,在$△ ABE$与$△ CDF$ 中, $\begin{cases} ∠ ABE=∠ CDF, \\ BE=DF, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \end{cases}$ 所以$△ ABE≌△ CDF$(ASA),所以$AB=CD$,又 $AB/\!/ CD$,所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
②因为 E,F 是 BD 的三等分点,$BD=12$,所以$BE=\frac{1}{3}BD=4$,因为四边形 ABCD 是平行四边形,$AC=6$,所以 $OA=\frac{1}{2}AC=3$,$OB=\frac{1}{2}BD=6$,所以 $OE=OB-BE=6-4=2$,因为$AE⊥ BD$,所以$∠ AEO=90°$,$△ AEO$ 为直角三角形,由勾股定理得:$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,所以 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE=\frac{1}{2}×12×\sqrt{5}=6\sqrt{5}$,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 $S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=2S_{△ ABD}=12\sqrt{5}$,所以四边形 ABCD 的面积是$12\sqrt{5}$。