1.阅读材料,解答下列问题:
[数学文化]
我国古代数学的许多创新与发展都曾位居世界前列,其中“贾宪三角”就是一例.如图1,这个三角形两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方(左右)两数之和,它给出了$(a+b)^n$($n$为非负整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在“贾宪三角”中,第3行的3个数1,2,1恰好对应着$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开式中的各项的系数.类似地,通过计算可以发现:第4行的4个数1,3,3,1恰好对应着$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$展开式中的各项的系数.由此可见,“贾宪三角”可以看作是对两数和的乘方规律的解释.
[问题解决]
(1)根据上面的规律可得,$(a+b)^5$的展开式中共有项,其中$a^3b^2$项的系数为;
(2)请结合图2中的展开式计算:$(x+2)^3=$;
(3)利用上面的规律计算:$(\dfrac{2}{3})^4 -4×(\dfrac{2}{3})^3 +6×(\dfrac{2}{3})^2 -4×\dfrac{2}{3} +1$.

1.(1)6 10 (2)$x^3+6x^2+12x+8$ (3)$\dfrac{1}{81}$

【分析】
1. 解决第(1)问：先观察已知乘方展开式的项数规律：$(a+b)^n$的展开式项数为$n+1$，因此$n=5$时项数可直接计算得出；再根据贾宪三角“每个数为其上方左右两数之和”的规律，写出对应$n=5$的系数行，结合展开式按$a$降幂排列的特征，即可找到$a^3b^2$项的系数。
2. 解决第(2)问：直接套用$(a+b)^3$的展开式公式，将$a$替换为$x$，$b$替换为$2$，代入计算即可得到结果。
3. 解决第(3)问：观察待计算式子的系数和符号特征，发现其符合$(a+b)^4$的展开形式，逆用乘方公式即可简化运算，避免复杂计算。
【解析】
(1) 由规律可得$(a+b)^n$的展开式项数为$n+1$，因此$(a+b)^5$的项数为$5+1=6$；
根据贾宪三角的数字规律，对应$n=5$的系数行是1、5、10、10、5、1，对应展开式为$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$，因此$a^3b^2$项的系数为10。
(2) 套用$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，令$a=x$，$b=2$，代入得：
$\begin{aligned}(x+2)^3&=x^3+3· x^2· 2 + 3· x· 2^2 + 2^3\\&=x^3+6x^2+12x+8\end{aligned}$
(3) 逆用$(a+b)^4$的展开公式，观察式子可知$a=\frac{2}{3}$，$b=-1$，因此：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2}{3})^4 + 4×(\frac{2}{3})^3×(-1) + 6×(\frac{2}{3})^2×(-1)^2 + 4×\frac{2}{3}×(-1)^3 + (-1)^4\\&=(\frac{2}{3}-1)^4\\&=(-\frac{1}{3})^4\\&=\frac{1}{81}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6$，$10$；(2) $x^3+6x^2+12x+8$；(3) $\dfrac{1}{81}$
【知识点】
贾宪三角规律，整式乘方，乘方公式逆用
【点评】
本题结合我国古代数学成就命题，既考查规律探究与归纳能力，又考查整式乘方公式的正、逆向应用，能有效锻炼知识迁移能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7