9 [2025 山东潍坊中考]黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域,我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割.中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》(如图(1))就是用黄金分割比作为主题设计的.

图(1)
【阅读观察】
材料1:黄金分割点的定义
如图(2),若线段AB上的点C满足$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$,则点C称作线段AB的黄金分割点,其中$\frac{AC}{AB}$的比值称作黄金分割比$\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,而$\frac{AB}{AC}$的比值为$\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\Phi$与$\varphi$互为倒数
材料2:黄金分割点的作法(借助尺规作图可以用不同方法确定图(2)中线段AB的黄金分割点C)
方法1:如图(3),①过点B作$l⊥ AB$;
②在直线$l$上截取$BD=\frac{1}{2}AB$,连结AD;
③在DA上截取$DE=DB$;
④在AB上截取$AC=AE$,C即为所求

图(3)
方法2:如图(4),
①以AB为边作正方形ABED;
②取AD中点F,连结BF;
③以点F为圆心,FB为半径作圆弧,与DA的延长线交于点H;
④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC,GC交AB于点C,可得$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.点C即为所求
图(4)
【思考探究】
(1)说明图(3)中$\frac{AC}{AB}=\varphi$;
(2)用不同于(1)的方法,说明图(4)中$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$;
【迁移拓展】
如图(5),作圆内接正五边形:
①作$\odot O$的两条互相垂直的半径OA和OM,取OM的中点N,连结AN;
②作$∠ ONA$的平分线,交OA于点K;
③过点K作OA的垂线,交$\odot O$于点B,E,连结AB,AE;
④截取$BC=BA,CD=CB$,连结BC,CD,DE,五边形ABCDE即为所求.
(3)若$OA=2$,根据以上作法,证明:$AB^2=\varphi^2· BE^2$.

图(5)

9. (1)【解】设 $BD=a$,则 $AB=2a$.
因为 $l ⊥ AB$,所以 $∠ DBA=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,由勾股定理得 $AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}\,a$,所以 $AE=AD-DE=AD-BD=(\sqrt{5}-1)\,a$,所以 $AC=AE=(\sqrt{5}-1)\,a$,所以 $\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)\,a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi$.
(2)【解】延长 $GC$ 交 $DE$ 于点 $M$,如图(1),易得四边形 $HGMD$ 为矩形. 在 $\mathrm{Rt}△ BAF$ 中,根据勾股定理,得 $AB^2=BF^2-AF^2$,所以 $AB^2=(BF+AF)(BF-AF)$. 因为 $BF=FH$, $FA=FD$,所以 $BF+AF=FH+FD=HD$,$BF-AF=FH-AF=AH=HG$,所以 $AB^2=HD · HG$,所以 $S_{\mathrm{正方形}ABED}=S_{\mathrm{矩形}HGMD}$,所以 $S_{\mathrm{矩形}CBEM}=S_{\mathrm{正方形}AHGC}$,所以 $CB · BE=AC^2$,即 $CB · AB=AC^2$,所以 $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
(3)【证明】因为 $OA=2$,所以 $OM=2$,所以 $ON=1$,所以易得 $AN=\sqrt{5}$. 过点 $K$ 作 $KG ⊥ AN$ 于点 $G$,连结 $BO$,如图(2).
因为 $NK$ 平分 $∠ ONA$,所以 $OK=KG$,所以 $\mathrm{Rt}△ NOK ≌ \mathrm{Rt}△ NGK(\mathrm{HL})$,所以 $NO=NG=1$,所以 $AG=\sqrt{5}-1$. 设 $OK=KG=x$,则 $AK=2-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ KGA$ 中,$KG^2+AG^2=KA^2$,即 $x^2+(\sqrt{5}-1)^2=(2-x)^2$,解得 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以 $OK^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BKO$ 中,$BK^2=OB^2-OK^2$,所以 $BK^2=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BKA$ 中,$AB^2=BK^2+AK^2$,所以 $AB^2=10-2\sqrt{5}$. 根据垂径定理,得 $BE=2BK$,所以 $BE^2=4BK^2=10+2\sqrt{5}$. 因为 $\varphi^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,所以 $\varphi^2 · BE^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}×(10+2\sqrt{5})=10-2\sqrt{5}$,所以 $AB^2=\varphi^2 · BE^2$.