登录
13.「2026 山东日照东港期中，★☆」课堂上数学老师写了一个关于$ x $的整式$(ax^2 + bx -1)-(4x^2 -3x)$（其中$ a,b $为常数），让同学们给$ a,b $赋予不同的数值进行计算.
(1)甲同学给出了$ a=5,b=-1 $，请按照甲同学给出的数值化简整式.
(2)乙同学给出了一组数，最后计算的结果为$ 2x^2 +3x -1 $，求此时$ a,b $的值.
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与$ x $的取值无关，请求出丙同学给出的$ a,b $的值并算出整式的最后结果.
(1)甲同学给出了$ a=5,b=-1 $，请按照甲同学给出的数值化简整式.
(2)乙同学给出了一组数，最后计算的结果为$ 2x^2 +3x -1 $，求此时$ a,b $的值.
(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与$ x $的取值无关，请求出丙同学给出的$ a,b $的值并算出整式的最后结果.
答案
(1)将 $a=5,b=-1$ 代入 $(ax^2 + bx -1)-(4x^2 -3x)$ 得 $(5x^2-x-1)-(4x^2-3x)=5x^2-x-1-4x^2+3x=x^2+2x-1.$
(2)因为 $(ax^2+bx-1)-(4x^2-3x)=2x^2+3x-1,$
所以 $ax^2+bx-1=2x^2+3x-1+4x^2-3x=6x^2-1,$
所以 $ax^2=6x^2,bx=0,$ 所以 $a=6,b=0.$
(3) $(ax^2+bx-1)-(4x^2-3x)$
$= ax^2+bx-1-4x^2+3x$
$=(a-4)x^2+(b+3)x-1,$
因为计算的最后结果与 $x$ 的取值无关,
所以 $a-4=0,b+3=0,$
所以 $a=4,b=-3,$
此时原式$=-1.$
(2)因为 $(ax^2+bx-1)-(4x^2-3x)=2x^2+3x-1,$
所以 $ax^2+bx-1=2x^2+3x-1+4x^2-3x=6x^2-1,$
所以 $ax^2=6x^2,bx=0,$ 所以 $a=6,b=0.$
(3) $(ax^2+bx-1)-(4x^2-3x)$
$= ax^2+bx-1-4x^2+3x$
$=(a-4)x^2+(b+3)x-1,$
因为计算的最后结果与 $x$ 的取值无关,
所以 $a-4=0,b+3=0,$
所以 $a=4,b=-3,$
此时原式$=-1.$
14. 核心素养运算能力 阅读材料并解答下列问题:在小学,我们知道像12,27,45,108,…这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.你能说明其中的道理吗?先看两位数的情形,若一个两位数的十位,个位上的数字分别为$a,b$,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$,显然$9a$能被3整除,因此,如果$a+b$能被3整除,那么$9a+(a+b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
(1)请你用类似的方法表示任意一个三位数.
(2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除,并说明理由.
(3)已知一个三位数的十位上的数字比百位上的数字的2倍大3,个位上的数字是百位上的数字的3倍,这个三位数能被3整除吗?请说明理由.
(4)直接写出一个四位数满足什么条件时,它可以被4整除.
(1)请你用类似的方法表示任意一个三位数.
(2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除,并说明理由.
(3)已知一个三位数的十位上的数字比百位上的数字的2倍大3,个位上的数字是百位上的数字的3倍,这个三位数能被3整除吗?请说明理由.
(4)直接写出一个四位数满足什么条件时,它可以被4整除.
答案
(1)设一个三位数百位上的数字为$c$,十位上的数字为$d$,个位上的数字为$e$,则$\overline{cde}=100c+10d+e.$
(2) 当一个三位数$\overline{cde}$满足$c+d+e$能被9整除时,该三位数就能被9整除.理由如下:
$\overline{cde}=100c+10d+e=99c+9d+(c+d+e),$
显然,$99c$ 和 $9d$ 能被 9 整除,
因此,如果 $c+d+e$ 能被 9 整除,
那么$\overline{cde}$就能被 9 整除.
(3)这个三位数能被 3 整除,理由如下:
设这个三位数的百位上的数字为 $m$,则十位上的数字为 $2m+3$,个位上的数字为 $3m$,
所以这个三位数为 $100m+10(2m+3)+3m=123m+30=3(41m+10).$
因为 $m$ 为正整数,
所以这个三位数能被 3 整除.
(4) 当一个四位数的末尾两位数字组成的数能被 4 整除时,这个四位数就能被 4 整除.
详解:设这个四位数的千位上的数字为$f$,百位上的数字为 $g$,十位上的数字为 $h$,个位上的数字为 $n$,
则$\overline{fghn}=1000f+100g+10h+n=4(250f+25g)+10h+n,$
因为 $4(250f+25g)$ 能被 4 整除,
所以当 $10h+n$ 能被 4 整除,即末尾两位数字组成的数能被 4 整除时,这个四位数就能被 4 整除.
(2) 当一个三位数$\overline{cde}$满足$c+d+e$能被9整除时,该三位数就能被9整除.理由如下:
$\overline{cde}=100c+10d+e=99c+9d+(c+d+e),$
显然,$99c$ 和 $9d$ 能被 9 整除,
因此,如果 $c+d+e$ 能被 9 整除,
那么$\overline{cde}$就能被 9 整除.
(3)这个三位数能被 3 整除,理由如下:
设这个三位数的百位上的数字为 $m$,则十位上的数字为 $2m+3$,个位上的数字为 $3m$,
所以这个三位数为 $100m+10(2m+3)+3m=123m+30=3(41m+10).$
因为 $m$ 为正整数,
所以这个三位数能被 3 整除.
(4) 当一个四位数的末尾两位数字组成的数能被 4 整除时,这个四位数就能被 4 整除.
详解:设这个四位数的千位上的数字为$f$,百位上的数字为 $g$,十位上的数字为 $h$,个位上的数字为 $n$,
则$\overline{fghn}=1000f+100g+10h+n=4(250f+25g)+10h+n,$
因为 $4(250f+25g)$ 能被 4 整除,
所以当 $10h+n$ 能被 4 整除,即末尾两位数字组成的数能被 4 整除时,这个四位数就能被 4 整除.
$+b^2+3a+1$,则$M-N$的值是（
A.负数
B.正数
C.非负数
D.非正数
B
）A.负数
B.正数
C.非负数
D.非正数
答案
1.B $M-N=2a^2+b^2+3a+5-(a^2+b^2+3a+1)$
$=2a^2+b^2+3a+5-a^2-b^2-3a-1=a^2+4$,
$\because a^2 ≥ 0,\therefore a^2+4 ≥ 4＞0$,故选 B.
$=2a^2+b^2+3a+5-a^2-b^2-3a-1=a^2+4$,
$\because a^2 ≥ 0,\therefore a^2+4 ≥ 4＞0$,故选 B.
2.「2025山东枣庄山亭月考」已知$M=\frac{3}{7}a+1$，$N=\frac{3}{7}(a-a^2)$，则$M$与$N$的值的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M≤N$
C.$M≥N$
D.$M＜N$
A
）A.$M＞N$
B.$M≤N$
C.$M≥N$
D.$M＜N$
答案
2.A $M-N=\frac{3}{7}a+1-\frac{3}{7}(a-a^2)=\frac{3}{7}a+1-\frac{3}{7}a+\frac{3}{7}a^2=$
$\frac{3}{7}a^2+1,\because \frac{3}{7}a^2+1＞0,\therefore M-N＞0,\therefore M＞N$,故选 A.
$\frac{3}{7}a^2+1,\because \frac{3}{7}a^2+1＞0,\therefore M-N＞0,\therefore M＞N$,故选 A.
3.比较大小：$4m^2 -4m +2$
（填“＞”“＜”或“=”）
＞
$4m^2 -4m -7$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
3.答案 ＞
解析 因为$(4m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)=4m^2-4m+2-4m^2+4m+7=9＞0$,所以$4m^2-4m+2＞4m^2-4m-7$.
解析 因为$(4m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)=4m^2-4m+2-4m^2+4m+7=9＞0$,所以$4m^2-4m+2＞4m^2-4m-7$.
