12. (2024·浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,∠ADC＜∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.
(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF//BC;②EF=BD.

(1)
解：因为CD为直径，所以$\angle CAD = 90^{\circ}。$ 因为$\angle AFE=\angle ADC = 60^{\circ}，$所以$\angle ACD = 90^{\circ}-\angle ADC = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}，$所以$\angle ABD=\angle ACD = 30^{\circ}。$ (2)
证明：①延长AB。因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以$\angle CBM=\angle ADC。$ 又因为$\angle AFE=\angle ADC，$所以$\angle AFE=\angle CBM，$所以$EF// BC。$ ②过点D作$DG// BC$交$\odot O$于点G，连接AG、CG。 因为$DG// BC，$所以$\angle BCD=\angle CDG，$所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}，$所以$BD = CG。$ 因为四边形ACGD是圆内接四边形，所以$\angle GDE=\angle ACG。$ 因为$EF// DG，$所以$\angle DEF=\angle GDE，$所以$\angle DEF=\angle ACG。$ 因为$\angle AFE=\angle ADC，$$\angle ADC=\angle AGC，$所以$\angle AFE=\angle AGC。$ 因为$AE = AC，$所以$\triangle AEF\cong\triangle ACG(AAS)，$所以$EF = CG，$所以$EF = BD。$ ;

13. (2024·辽宁)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB$是$\odot O$的直径，点$D$在$\overset{\frown}{BC}$上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，点$E$在$BA$的延长线上，$∠ CEA=∠ CAD$.
(1)如图1，求证：$CE$是$\odot O$的切线.
(2)如图2，若$∠ CEA=2∠ DAB$，$OA=8$，求$\overset{\frown}{BD}$的长.

(1)
证明：连接OC。因为$\angle CAO$是$\triangle ACE$的一个外角，所以$\angle CAO=\angle CEA+\angle ACE，$即$\angle CAD+\angle DAB=\angle CEA+\angle ACE。$ 因为$\angle CEA=\angle CAD，$所以$\angle DAB=\angle ACE。$ 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle ABC=\angle DAB，$所以$\angle ABC=\angle ACE。$ 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle ABC+\angle DAB+\angle CAD = 90^{\circ}。$ 又因为$OA = OC，$所以$\angle OCA=\angle OAC=\angle DAB+\angle CAD，$所以$\angle ACE+\angle OCA = 90^{\circ}，$即$\angle OCE = 90^{\circ}。$ 又因为OC是$\odot O$的半径，所以CE是$\odot O$的切线。 (2)
解：连接OD。设$\angle DAB = x，$则$\angle CEA = 2\angle DAB = 2x。$ 因为$\angle CEA=\angle CAD，$所以$\angle CAD = 2x。$ 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle ABC=\angle DAB = x。$ 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle ABC+\angle BAC = 90^{\circ}，$即$\angle ABC+\angle DAB+\angle CAD = 90^{\circ}，$ 所以$x + x+2x = 90^{\circ}，$解得$x = 22.5^{\circ}，$所以$\angle BOD = 2\angle DAB = 2\times22.5^{\circ}=45^{\circ}。$ 又因为$OA = 8，$所以$OD = OB = 8，$所以$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{45\pi\times8}{180}=2\pi。$ ;

14. (2024·绥化)如图 1,O 是正方形 ABCD 对角线上一点,以 O 为圆心、OC 的长为半径的$\odot O$与 AD 相切于点 E,与 AC 相交于点 F.
(1)求证:AB 与$\odot O$相切.
(2)若正方形 ABCD 的边长为$\sqrt{2}+1$,求$\odot O$的半径.
(3)如图 2,在(2)的条件下,若 M 是半径 OC 上的一个动点,过点 M 作$MN⊥OC$交$\overset{\frown}{CE}$于点 N.当$CM:FM=1:4$时,求 CN 的长.

(1)
证明：连接OE，过点O作$OG\perp AB$于点G。 因为$\odot O$与AD相切于点E，所以$OE\perp AD。$ 因为四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，所以$\angle BAC=\angle DAC = 45^{\circ}，$所以$OE = OG。$ 因为OE为$\odot O$的半径，所以OG为$\odot O$的半径。 因为$OG\perp AB，$所以AB与$\odot O$相切。 (2)
解：因为AC为正方形ABCD的对角线，所以$\angle DAC = 45^{\circ}。$ 因为$\odot O$与AD相切于点E，所以$\angle AEO = 90^{\circ}，$由 (1)可知$AE = OE，$设$AE = OE = OC = OF = R。$ 在$Rt\triangle AEO$中，$AE^{2}+EO^{2}=AO^{2}，$所以$AO^{2}=R^{2}+R^{2}。$因为$R＞0，$所以$AO=\sqrt{2}R。$ 又因为正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}+1，$所以在$Rt\triangle ADC$中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)。$ 因为$OA + OC = AC，$所以$\sqrt{2}R+R=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)，$ 即$(\sqrt{2}+1)R=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)，$解得$R = \sqrt{2}，$所以$\odot O$的半径为$\sqrt{2}。$ (3)
解：连接FN、ON，设$CM = k。$因为$CM:FM = 1:4，$所以$CF = 5k，$$OC = ON = 2.5k，$$OM = OC - CM = 1.5k。$ 在$Rt\triangle OMN$中，由勾股定理得$MN = 2k；$在$Rt\triangle CMN$中，由勾股定理得$CN=\sqrt{5}k。$ 又因为$FC = 5k = 2R = 2\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}，$所以$k=\frac{2\sqrt{2}}{5}，$所以$CN=\sqrt{5}\times\frac{2\sqrt{2}}{5}=\frac{2\sqrt{10}}{5}。$ ;