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1. 二次函数 $y=2(x-1)^2+3$ 的最小值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先识别所给二次函数属于顶点式形式，先判断二次项系数a的正负确定抛物线开口方向：若a＞0，抛物线开口向上，顶点为函数的最低点，顶点纵坐标即为函数的最小值；若a＜0，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值。再结合顶点式中k的取值即可得到最值。
【解析】
二次函数$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值。
该函数的顶点坐标为$(1,3)$，即顶点的纵坐标为3，因此函数的最小值是3。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数顶点式的参数含义、开口方向与最值的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别所给二次函数属于顶点式形式，先判断二次项系数a的正负确定抛物线开口方向：若a＞0，抛物线开口向上，顶点为函数的最低点，顶点纵坐标即为函数的最小值；若a＜0，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值。再结合顶点式中k的取值即可得到最值。
【解析】
二次函数$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值。
该函数的顶点坐标为$(1,3)$，即顶点的纵坐标为3，因此函数的最小值是3。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数顶点式的参数含义、开口方向与最值的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 若点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+1$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
2. C
解析
【分析】
要比较三个点对应的二次函数值大小，首先从二次函数的顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴：本题中二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，开口向下的抛物线上的点，横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大。接下来只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出y值的大小关系，也可直接将各点横坐标代入解析式计算出y值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
对于二次函数$y=-(x-2)^2+1$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$；
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$；
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$。
∵$1＜4＜5$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将各点横坐标代入解析式计算函数值：
当$x=-2$时，$y_1=-(-2-2)^2+1=-16+1=-15$；
当$x=3$时，$y_2=-(3-2)^2+1=-1+1=0$；
当$x=7$时，$y_3=-(7-2)^2+1=-25+1=-24$。
∵$0＞-15＞-24$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数值变化的关系，两种解题方法都可选用，其中利用距离比较的方法计算量更小，解题效率更高。
【难度系数】
0.8
要比较三个点对应的二次函数值大小，首先从二次函数的顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴：本题中二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，开口向下的抛物线上的点，横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大。接下来只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出y值的大小关系，也可直接将各点横坐标代入解析式计算出y值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
对于二次函数$y=-(x-2)^2+1$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$；
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$；
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$。
∵$1＜4＜5$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将各点横坐标代入解析式计算函数值：
当$x=-2$时，$y_1=-(-2-2)^2+1=-16+1=-15$；
当$x=3$时，$y_2=-(3-2)^2+1=-1+1=0$；
当$x=7$时，$y_3=-(7-2)^2+1=-25+1=-24$。
∵$0＞-15＞-24$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数值变化的关系，两种解题方法都可选用，其中利用距离比较的方法计算量更小，解题效率更高。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，与抛物线$y=-2(x+3)^2+4$关于$x$轴对称的抛物线对应的函数解析式为
$y=2(x+3)^2-4$
。答案
3. $y=2(x+3)^2-4$
解析
【分析】
要推导与已知抛物线关于x轴对称的抛物线解析式，可从两方面思考：一是利用坐标对称规律，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，通过代换法代入原解析式整理即可；二是结合二次函数顶点式的性质，先确定原抛物线的顶点坐标和二次项系数，对称后的抛物线顶点是原顶点关于x轴的对称点，二次项系数为原系数的相反数，直接写出顶点式即可。
【解析】
方法一：坐标代换法
平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设所求抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则它的对称点$(x,-y)$在原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$上，将$(x,-y)$代入原解析式得：
$-y = -2(x+3)^2 + 4$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y = 2(x+3)^2 - 4$。
方法二：顶点对称法
原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$是顶点式，其顶点坐标为$(-3,4)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
关于x轴对称的抛物线，顶点为原顶点关于x轴的对称点$(-3,-4)$，开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数为原系数的相反数$a=2$，代入顶点式得解析式为$y=2(x+3)^2 - 4$。
【答案】
$y=2(x+3)^2-4$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；二次函数图象变换；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，两种解题思路分别从坐标变换规律和二次函数性质出发，熟练掌握这两种方法可快速解决同类函数轴对称变换问题。
【难度系数】
0.8
要推导与已知抛物线关于x轴对称的抛物线解析式，可从两方面思考：一是利用坐标对称规律，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，通过代换法代入原解析式整理即可；二是结合二次函数顶点式的性质，先确定原抛物线的顶点坐标和二次项系数，对称后的抛物线顶点是原顶点关于x轴的对称点，二次项系数为原系数的相反数，直接写出顶点式即可。
【解析】
方法一：坐标代换法
平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设所求抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则它的对称点$(x,-y)$在原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$上，将$(x,-y)$代入原解析式得：
$-y = -2(x+3)^2 + 4$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y = 2(x+3)^2 - 4$。
方法二：顶点对称法
原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$是顶点式，其顶点坐标为$(-3,4)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
关于x轴对称的抛物线，顶点为原顶点关于x轴的对称点$(-3,-4)$，开口方向与原抛物线相反，因此二次项系数为原系数的相反数$a=2$，代入顶点式得解析式为$y=2(x+3)^2 - 4$。
【答案】
$y=2(x+3)^2-4$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；二次函数图象变换；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，两种解题思路分别从坐标变换规律和二次函数性质出发，熟练掌握这两种方法可快速解决同类函数轴对称变换问题。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$（$m$为常数）的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是
$1＜m＜2$
。答案
4. $1＜m＜2$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，其顶点坐标为$(h,k)$，据此从给定的抛物线解析式中提取顶点的横、纵坐标；②明确第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0；③根据顶点在第二象限的条件，列出关于$m$的一元一次不等式组；④解不等式组即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$，可变形为$y=-2[x-(1-m)]^2 + (-3m+6)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1-m,\ -3m+6)$。
因为顶点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于0、纵坐标大于0，因此列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0 \\-3m + 6 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式$1-m ＜ 0$，移项得$m ＞ 1$；
解第二个不等式$-3m + 6 ＞ 0$，移项得$-3m ＞ -6$，两边同时除以$-3$（不等号方向改变），得$m ＜ 2$。
综上，$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心是将二次函数顶点性质和平面直角坐标系点的特征结合，解题时要注意顶点式中横坐标的符号不要出错，正确列出不等式组即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，其顶点坐标为$(h,k)$，据此从给定的抛物线解析式中提取顶点的横、纵坐标；②明确第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0；③根据顶点在第二象限的条件，列出关于$m$的一元一次不等式组；④解不等式组即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知抛物线的解析式为顶点式$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$，可变形为$y=-2[x-(1-m)]^2 + (-3m+6)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1-m,\ -3m+6)$。
因为顶点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于0、纵坐标大于0，因此列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0 \\-3m + 6 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式$1-m ＜ 0$，移项得$m ＞ 1$；
解第二个不等式$-3m + 6 ＞ 0$，移项得$-3m ＞ -6$，两边同时除以$-3$（不等号方向改变），得$m ＜ 2$。
综上，$m$的取值范围是$1 ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心是将二次函数顶点性质和平面直角坐标系点的特征结合，解题时要注意顶点式中横坐标的符号不要出错，正确列出不等式组即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.将抛物线$y=x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移$m(m＞0)$个单位长度后，得到的抛物线交$y$轴于点$A(0,5)$，则$m$的值为
4
。答案
5. 4
解析
【分析】
解题时先依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规则，写出两次平移后得到的抛物线解析式；再结合平移后的抛物线过点A(0,5)的条件，将点A坐标代入解析式，构建关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
1. 写平移后的抛物线解析式：
抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，根据“左加右减”（针对自变量x），可得解析式为$y=(x-1)^2$；
再向上平移$m(m＞0)$个单位长度，根据“上加下减”（针对函数整体），最终平移后的抛物线解析式为$y=(x-1)^2+m$。
2. 代入点A坐标求m：
已知平移后的抛物线过点$A(0,5)$，将$x=0$，$y=5$代入解析式得：
$5=(0-1)^2+m$
计算得$5=1+m$，解得$m=4$，满足$m＞0$的要求。
【答案】
4
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是牢记平移口诀，同时理解函数图象上的点满足函数解析式，计算量小，掌握基础知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题时先依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规则，写出两次平移后得到的抛物线解析式；再结合平移后的抛物线过点A(0,5)的条件，将点A坐标代入解析式，构建关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
1. 写平移后的抛物线解析式：
抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，根据“左加右减”（针对自变量x），可得解析式为$y=(x-1)^2$；
再向上平移$m(m＞0)$个单位长度，根据“上加下减”（针对函数整体），最终平移后的抛物线解析式为$y=(x-1)^2+m$。
2. 代入点A坐标求m：
已知平移后的抛物线过点$A(0,5)$，将$x=0$，$y=5$代入解析式得：
$5=(0-1)^2+m$
计算得$5=1+m$，解得$m=4$，满足$m＞0$的要求。
【答案】
4
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是牢记平移口诀，同时理解函数图象上的点满足函数解析式，计算量小，掌握基础知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
6. 二次函数$y=(x+1)^2 -4$的部分图象如图所示，当$-2≤ x≤ 2$时，$y$的最大值与最小值的差为
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
首先观察二次函数的解析式为顶点式，可先确定其开口方向、对称轴及顶点坐标：该二次函数二次项系数为1＞0，所以图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点是函数的最低点。要计算区间$-2≤x≤2$内$y$的最大值和最小值的差，需分两步：第一步找最小值，开口向上时，对称轴处取得函数最小值；第二步找最大值，比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点对应的函数值越大，计算出两个最值后作差即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2 -4$：
1. 确定函数性质：二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
2. 求最小值：
因为开口向上，在对称轴$x=-1$处函数取得最小值，将$x=-1$代入解析式得$y_{\mathrm{最小}}=(-1+1)^2 -4=-4$。
3. 求区间内最大值：
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2 -4=1-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2 -4=9-4=5$。
因为$5＞-3$，所以在$-2≤x≤2$范围内，$y_{\mathrm{最大}}=5$。
4. 计算差值：最大值与最小值的差为$5 - (-4)=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的最值计算
【点评】
本题重点考查给定自变量取值范围内二次函数最值的求解，解题核心是先明确二次函数的开口方向、对称轴，再结合区间特征判断最值对应的自变量取值，是二次函数部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
首先观察二次函数的解析式为顶点式，可先确定其开口方向、对称轴及顶点坐标：该二次函数二次项系数为1＞0，所以图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点是函数的最低点。要计算区间$-2≤x≤2$内$y$的最大值和最小值的差，需分两步：第一步找最小值，开口向上时，对称轴处取得函数最小值；第二步找最大值，比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点对应的函数值越大，计算出两个最值后作差即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2 -4$：
1. 确定函数性质：二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
2. 求最小值：
因为开口向上，在对称轴$x=-1$处函数取得最小值，将$x=-1$代入解析式得$y_{\mathrm{最小}}=(-1+1)^2 -4=-4$。
3. 求区间内最大值：
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2 -4=1-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2 -4=9-4=5$。
因为$5＞-3$，所以在$-2≤x≤2$范围内，$y_{\mathrm{最大}}=5$。
4. 计算差值：最大值与最小值的差为$5 - (-4)=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的最值计算
【点评】
本题重点考查给定自变量取值范围内二次函数最值的求解，解题核心是先明确二次函数的开口方向、对称轴，再结合区间特征判断最值对应的自变量取值，是二次函数部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
7.若抛物线$y=(x-h)^2 +k$（$h$，$k$为常数）与$x$轴只有一个公共点，且抛物线过点$A(m,n)$，$B(m-8,n)$，则$n=$
16
。答案
7. 16 【解析】
∵抛物线$y=(x-h)^2 +k$与$x$轴只有一个公共点，
∴该抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，且$k=0$。
∴$y=(x-h)^2$。
∵抛物线$y=(x-h)^2$过点$A(m,n)$，$B(m-8,n)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=h=\frac{m+m-8}{2}=m-4$，即$h=m-4$。
∴$y=[x-(m-4)]^2$。
把$A(m,n)$代入$y=[x-(m-4)]^2$，得$n=[m-(m-4)]^2=4^2=16$。
∵抛物线$y=(x-h)^2 +k$与$x$轴只有一个公共点，
∴该抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，且$k=0$。
∴$y=(x-h)^2$。
∵抛物线$y=(x-h)^2$过点$A(m,n)$，$B(m-8,n)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=h=\frac{m+m-8}{2}=m-4$，即$h=m-4$。
∴$y=[x-(m-4)]^2$。
把$A(m,n)$代入$y=[x-(m-4)]^2$，得$n=[m-(m-4)]^2=4^2=16$。
解析
【分析】
解题时可按三步思路推导：第一步，抛物线为顶点式且与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，顶点纵坐标k=0，可简化抛物线解析式；第二步，点A、B纵坐标相同，说明两点是抛物线上的对称点，对称轴为两点横坐标的平均值，而顶点式抛物线的对称轴是直线x=h，由此可建立h和m的关系；第三步，将点A坐标代入简化后的解析式，结合h和m的关系即可求出n的值。
【解析】
∵抛物线$y=(x-h)^2 +k$与$x$轴只有一个公共点，
∴抛物线顶点$(h,k)$在$x$轴上，即$k=0$，
∴抛物线解析式为$y=(x-h)^2$。
∵点$A(m,n)$，$B(m-8,n)$的纵坐标相同，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=h=\frac{m+(m-8)}{2}=m-4$，即$h=m-4$，
∴抛物线解析式可写为$y=[x-(m-4)]^2$。
将点$A(m,n)$代入解析式得：
$n=[m-(m-4)]^2=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用类常规题型，解题核心是抓住“与x轴只有一个交点”“两点纵坐标相同”两个关键条件，逐步推导参数关系后代入计算即可，思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思路推导：第一步，抛物线为顶点式且与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，顶点纵坐标k=0，可简化抛物线解析式；第二步，点A、B纵坐标相同，说明两点是抛物线上的对称点，对称轴为两点横坐标的平均值，而顶点式抛物线的对称轴是直线x=h，由此可建立h和m的关系；第三步，将点A坐标代入简化后的解析式，结合h和m的关系即可求出n的值。
【解析】
∵抛物线$y=(x-h)^2 +k$与$x$轴只有一个公共点，
∴抛物线顶点$(h,k)$在$x$轴上，即$k=0$，
∴抛物线解析式为$y=(x-h)^2$。
∵点$A(m,n)$，$B(m-8,n)$的纵坐标相同，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=h=\frac{m+(m-8)}{2}=m-4$，即$h=m-4$，
∴抛物线解析式可写为$y=[x-(m-4)]^2$。
将点$A(m,n)$代入解析式得：
$n=[m-(m-4)]^2=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的综合应用类常规题型，解题核心是抓住“与x轴只有一个交点”“两点纵坐标相同”两个关键条件，逐步推导参数关系后代入计算即可，思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$与x轴、y轴分别交于点C,D,
抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点D,且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点D,且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
答案
8.【解】(1)把 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $y=3$.
$\therefore D(0,3)$.
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点 $D$,
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3$. 解得 $k=4$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$.
(2)抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$ 的顶点 $P$ 的坐标为 $(2,4)$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $x=2$.
$\therefore C(2,0)$.
$\therefore PC⊥ x$ 轴,$PC=4$.
如图, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ PC$, 垂足为 $E$, 则 $DE=2$.
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$, 得 $-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0$.
解得 $x_1=-2$,$x_2=6$.
$\therefore A(-2,0)$,$B(6,0)$.
$\therefore AC=4$.
由(1)知 $D(0,3)$,
$\therefore OD=3$.
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
$\therefore S_{四边形ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10$.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式，核心是求出未知参数k的值：已知抛物线过直线与y轴的交点D，因此先将x=0代入直线解析式求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线表达式，解方程即可得到k的值，进而确定抛物线解析式。
(2) 不规则四边形ACPD的面积可采用割补法计算：将四边形拆分为△ACD和△CDP两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可。步骤如下：①根据抛物线顶点式直接得到顶点P的坐标，将y=0代入直线解析式得到x轴交点C的坐标；②过D作DE垂直PC，得到△CDP的底和高，计算其面积；③将y=0代入抛物线解析式求出x轴交点A的坐标，得到AC的长度，结合D点纵坐标得到△ACD的高，计算其面积；④两个三角形面积相加即为四边形面积。
【解析】
(1) 把 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $y=3$.
$\therefore D(0,3)$.
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点 $D$,
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3$. 解得 $k=4$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$.
(2) 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$ 的顶点 $P$ 的坐标为 $(2,4)$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $x=2$.
$\therefore C(2,0)$.
$\therefore PC⊥ x$ 轴,$PC=4$.
如图, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ PC$, 垂足为 $E$, 则 $DE=2$.
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$, 得 $-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0$.
解得 $x_1=-2$,$x_2=6$.
$\therefore A(-2,0)$,$B(6,0)$.
$\therefore AC=2-(-2)=4$.
由(1)知 $D(0,3)$,
$\therefore OD=3$.
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
$\therefore S_{四边形ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10$.
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$
(2) $10$
【知识点】
一次函数交点求法、待定系数法求二次函数解析式、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，考查了函数图象与坐标轴交点的求解、待定系数法求解析式，以及不规则图形面积的计算方法，解题核心是准确获取各关键点坐标，合理拆分图形简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式，核心是求出未知参数k的值：已知抛物线过直线与y轴的交点D，因此先将x=0代入直线解析式求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线表达式，解方程即可得到k的值，进而确定抛物线解析式。
(2) 不规则四边形ACPD的面积可采用割补法计算：将四边形拆分为△ACD和△CDP两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可。步骤如下：①根据抛物线顶点式直接得到顶点P的坐标，将y=0代入直线解析式得到x轴交点C的坐标；②过D作DE垂直PC，得到△CDP的底和高，计算其面积；③将y=0代入抛物线解析式求出x轴交点A的坐标，得到AC的长度，结合D点纵坐标得到△ACD的高，计算其面积；④两个三角形面积相加即为四边形面积。
【解析】
(1) 把 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $y=3$.
$\therefore D(0,3)$.
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点 $D$,
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3$. 解得 $k=4$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$.
(2) 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$ 的顶点 $P$ 的坐标为 $(2,4)$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$,得 $x=2$.
$\therefore C(2,0)$.
$\therefore PC⊥ x$ 轴,$PC=4$.
如图, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ PC$, 垂足为 $E$, 则 $DE=2$.
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$, 得 $-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0$.
解得 $x_1=-2$,$x_2=6$.
$\therefore A(-2,0)$,$B(6,0)$.
$\therefore AC=2-(-2)=4$.
由(1)知 $D(0,3)$,
$\therefore OD=3$.
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
$\therefore S_{四边形ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10$.
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$
(2) $10$
【知识点】
一次函数交点求法、待定系数法求二次函数解析式、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，考查了函数图象与坐标轴交点的求解、待定系数法求解析式，以及不规则图形面积的计算方法，解题核心是准确获取各关键点坐标，合理拆分图形简化计算。
【难度系数】
0.7
9.6级台阶的侧面示意图如图所示，每级台阶的高和宽都为1，每级台阶凸出的角的顶点记作$T_m$（$m$为1～6的整数），已知$T_1(6,1)$。若$T_1 ∼ T_6$中有4个点落在抛物线$y=-(x-2)^2 +k$与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界），则$k$的取值范围为
$7＜k≤11$
。答案
9. $7＜k≤11$ 【解析】
∵每级台阶高和宽都为1，
$T_1(6,1)$，
$\therefore T_2(5,2),T_3(4,3),T_4(3,4),T_5(2,5),T_6(1,6)$.
若 $T_1(6,1)$ 在封闭图形内,则 $1＜-(6-2)^2+k$. 解得 $k＞17$.
若 $T_2(5,2)$ 在封闭图形内,则 $2＜-(5-2)^2+k$. 解得 $k＞11$.
若 $T_3(4,3)$ 在封闭图形内,则 $3＜-(4-2)^2+k$. 解得 $k＞7$.
若 $T_4(3,4)$ 在封闭图形内,则 $4＜-(3-2)^2+k$. 解得 $k＞5$.
若 $T_5(2,5)$ 在封闭图形内,则 $5＜-(2-2)^2+k$. 解得 $k＞5$.
若 $T_6(1,6)$ 在封闭图形内,则 $6＜-(1-2)^2+k$. 解得 $k＞7$.
$\because T_1 ∼ T_6$ 中有 4 个点在封闭图形内(不含边界),
$\therefore T_3,T_4,T_5,T_6$ 在封闭图形内(不含边界),$T_1,T_2$ 不在封闭图形内.
$\because T_2$ 不在封闭图形内,
$\therefore 2≥-(5-2)^2+k$, 解得 $k≤11$.
$\because T_3,T_4,T_5,T_6$ 在封闭图形内,
$\therefore k＞7$.
$\therefore k$ 的取值范围为 $7＜k≤11$.
∵每级台阶高和宽都为1，
$T_1(6,1)$，
$\therefore T_2(5,2),T_3(4,3),T_4(3,4),T_5(2,5),T_6(1,6)$.
若 $T_1(6,1)$ 在封闭图形内,则 $1＜-(6-2)^2+k$. 解得 $k＞17$.
若 $T_2(5,2)$ 在封闭图形内,则 $2＜-(5-2)^2+k$. 解得 $k＞11$.
若 $T_3(4,3)$ 在封闭图形内,则 $3＜-(4-2)^2+k$. 解得 $k＞7$.
若 $T_4(3,4)$ 在封闭图形内,则 $4＜-(3-2)^2+k$. 解得 $k＞5$.
若 $T_5(2,5)$ 在封闭图形内,则 $5＜-(2-2)^2+k$. 解得 $k＞5$.
若 $T_6(1,6)$ 在封闭图形内,则 $6＜-(1-2)^2+k$. 解得 $k＞7$.
$\because T_1 ∼ T_6$ 中有 4 个点在封闭图形内(不含边界),
$\therefore T_3,T_4,T_5,T_6$ 在封闭图形内(不含边界),$T_1,T_2$ 不在封闭图形内.
$\because T_2$ 不在封闭图形内,
$\therefore 2≥-(5-2)^2+k$, 解得 $k≤11$.
$\because T_3,T_4,T_5,T_6$ 在封闭图形内,
$\therefore k＞7$.
$\therefore k$ 的取值范围为 $7＜k≤11$.
解析
【分析】
首先根据台阶每级高和宽都为1，结合已知$T_1$的坐标，先求出$T_2$到$T_6$所有点的坐标。点落在抛物线与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的含义是：点的纵坐标小于抛物线在该点横坐标处的函数值，据此分别求出每个点在封闭图形内时$k$的取值范围。再结合“有4个点落在封闭图形内”的条件，判断符合要求的点的组合，进而确定$k$的临界值，最终得到$k$的取值范围。
【解析】
∵每级台阶的高和宽都为1，且$T_1(6,1)$，
∴依次可得各点坐标：$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
若点$T_m(x_m,y_m)$在封闭图形内（不含边界），则满足$y_m ＜ -(x_m-2)^2 +k$，分别代入计算：
1. 对$T_1(6,1)$：$1 ＜ -(6-2)^2 +k$，解得$k＞17$；
2. 对$T_2(5,2)$：$2 ＜ -(5-2)^2 +k$，解得$k＞11$；
3. 对$T_3(4,3)$：$3 ＜ -(4-2)^2 +k$，解得$k＞7$；
4. 对$T_4(3,4)$：$4 ＜ -(3-2)^2 +k$，解得$k＞5$；
5. 对$T_5(2,5)$：$5 ＜ -(2-2)^2 +k$，解得$k＞5$；
6. 对$T_6(1,6)$：$6 ＜ -(1-2)^2 +k$，解得$k＞7$。
∵$T_1∼ T_6$中有4个点在封闭图形内，观察上述$k$的范围可知：
当$7＜k≤11$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$共4个点满足在封闭图形内，$T_1、T_2$不满足，符合题意。
【答案】
$7＜k≤11$
【知识点】
二次函数的图象与性质；点与函数的位置关系；不等式求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题关键是先确定所有台阶顶点的坐标，再将点的位置关系转化为不等式关系，结合符合要求的点的个数确定$k$的取值范围，解题时要注意边界值的取舍，避免错判。
【难度系数】
0.6
首先根据台阶每级高和宽都为1，结合已知$T_1$的坐标，先求出$T_2$到$T_6$所有点的坐标。点落在抛物线与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的含义是：点的纵坐标小于抛物线在该点横坐标处的函数值，据此分别求出每个点在封闭图形内时$k$的取值范围。再结合“有4个点落在封闭图形内”的条件，判断符合要求的点的组合，进而确定$k$的临界值，最终得到$k$的取值范围。
【解析】
∵每级台阶的高和宽都为1，且$T_1(6,1)$，
∴依次可得各点坐标：$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
若点$T_m(x_m,y_m)$在封闭图形内（不含边界），则满足$y_m ＜ -(x_m-2)^2 +k$，分别代入计算：
1. 对$T_1(6,1)$：$1 ＜ -(6-2)^2 +k$，解得$k＞17$；
2. 对$T_2(5,2)$：$2 ＜ -(5-2)^2 +k$，解得$k＞11$；
3. 对$T_3(4,3)$：$3 ＜ -(4-2)^2 +k$，解得$k＞7$；
4. 对$T_4(3,4)$：$4 ＜ -(3-2)^2 +k$，解得$k＞5$；
5. 对$T_5(2,5)$：$5 ＜ -(2-2)^2 +k$，解得$k＞5$；
6. 对$T_6(1,6)$：$6 ＜ -(1-2)^2 +k$，解得$k＞7$。
∵$T_1∼ T_6$中有4个点在封闭图形内，观察上述$k$的范围可知：
当$7＜k≤11$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$共4个点满足在封闭图形内，$T_1、T_2$不满足，符合题意。
【答案】
$7＜k≤11$
【知识点】
二次函数的图象与性质；点与函数的位置关系；不等式求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题关键是先确定所有台阶顶点的坐标，再将点的位置关系转化为不等式关系，结合符合要求的点的个数确定$k$的取值范围，解题时要注意边界值的取舍，避免错判。
【难度系数】
0.6
