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【即学即练】
1.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，$P$是弦$AB$上的一个动点.若$OP$的长为$m$，则$m$的取值范围为
1.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，$P$是弦$AB$上的一个动点.若$OP$的长为$m$，则$m$的取值范围为
$3≤ m≤5$
.答案
1. $3≤ m≤5$
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需找到OP的最小值和最大值：①根据“垂线段最短”，圆心O到弦AB的垂线段长度是OP的最小值；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，为OP的最大值。再分别计算两个最值即可得到m的取值范围。
【解析】
已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径$r=5$。
1. 求OP的最大值：
当点P与A（或B）重合时，$OP$为圆的半径，即$m_{max}=5$。
2. 求OP的最小值：
过点O作$OH⊥ AB$于点H，根据垂径定理，$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OHB$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
即$m_{min}=3$。
因为P是弦AB上的动点，因此$m$的取值范围是$3≤ m≤5$。
【答案】
$3≤ m≤5$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中动点线段最值的典型题型，解题关键是准确找到线段取最值的特殊位置，结合圆的性质和几何定理计算即可，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
要确定OP的取值范围，需找到OP的最小值和最大值：①根据“垂线段最短”，圆心O到弦AB的垂线段长度是OP的最小值；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，为OP的最大值。再分别计算两个最值即可得到m的取值范围。
【解析】
已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径$r=5$。
1. 求OP的最大值：
当点P与A（或B）重合时，$OP$为圆的半径，即$m_{max}=5$。
2. 求OP的最小值：
过点O作$OH⊥ AB$于点H，根据垂径定理，$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OHB$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
即$m_{min}=3$。
因为P是弦AB上的动点，因此$m$的取值范围是$3≤ m≤5$。
【答案】
$3≤ m≤5$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中动点线段最值的典型题型，解题关键是准确找到线段取最值的特殊位置，结合圆的性质和几何定理计算即可，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】如图,某窗户的形状是由矩形$ABCD$和$\overset{\frown}{AB}$组成的图形,已知$\overset{\frown}{AB}$是以点$O$为圆心的圆的一部分,$E$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$OE ⊥ AB$,垂足为$F$,且$EF=1\ \mathrm{m}$,$AB=3\ \mathrm{m}$.求$\odot O$的半径长.
【解】根据题意,得$AB=3\ \mathrm{m}$,$EF=1\ \mathrm{m}$,$OE ⊥ AB$,垂足为$F$.
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}(\mathrm{m})$.
设$\odot O$的半径长为$r$,则$AO=OE=r$,$OF=OE-EF=r-1$.
在$\mathrm{Rt }△ AOF$中,由勾股定理,得$AO^2=AF^2+OF^2$,即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$.
解得$r=\frac{13}{8}$.
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$.
规律方法 应用垂径定理进行计算时,主要涉及的线段长有弦长$a$、圆半径$r$、圆心到弦的距离$d$,它们之间的关系是$r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2$.另外,注意分类讨论,以防因考虑不周而漏解.
【解】根据题意,得$AB=3\ \mathrm{m}$,$EF=1\ \mathrm{m}$,$OE ⊥ AB$,垂足为$F$.
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}(\mathrm{m})$.
设$\odot O$的半径长为$r$,则$AO=OE=r$,$OF=OE-EF=r-1$.
在$\mathrm{Rt }△ AOF$中,由勾股定理,得$AO^2=AF^2+OF^2$,即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$.
解得$r=\frac{13}{8}$.
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$.
规律方法 应用垂径定理进行计算时,主要涉及的线段长有弦长$a$、圆半径$r$、圆心到弦的距离$d$,它们之间的关系是$r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2$.另外,注意分类讨论,以防因考虑不周而漏解.
答案
解：根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$。
解得$r=\frac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$。
解得$r=\frac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径长，可利用垂径定理结合勾股定理列方程求解。首先由$OE ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AF$是$AB$的一半，先算出$AF$的长度；再设$\odot O$的半径为$r$，将$OF$用含$r$的式子表示，最后在$\mathrm{Rt}△ AOF$中利用勾股定理建立关于$r$的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$。
解得$r=\frac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程法求线段长
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型基础题，解题核心是构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，将几何计算转化为解方程问题，侧重考查对基础定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径长，可利用垂径定理结合勾股定理列方程求解。首先由$OE ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AF$是$AB$的一半，先算出$AF$的长度；再设$\odot O$的半径为$r$，将$OF$用含$r$的式子表示，最后在$\mathrm{Rt}△ AOF$中利用勾股定理建立关于$r$的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
根据题意，得$AB=3\ \mathrm{m}$，$EF=1\ \mathrm{m}$，$OE⊥ AB$，垂足为$F$。
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径长为$r$，则$AO=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得
$AO^2=AF^2+OF^2$，即$r^2=(\frac{3}{2})^2+(r-1)^2$。
解得$r=\frac{13}{8}$。
$\therefore \odot O$的半径长为$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{13}{8}\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程法求线段长
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型基础题，解题核心是构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，将几何计算转化为解方程问题，侧重考查对基础定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
【即学即练】
2. 如图所示，要得到该残缺圆形工件的半径，可以在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，测出$AB=40\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，则圆形工件的半径长为（
A.$50\ \mathrm{cm}$
B.$35\ \mathrm{cm}$
C.$25\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
2. 如图所示，要得到该残缺圆形工件的半径，可以在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，测出$AB=40\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，则圆形工件的半径长为（
C
）A.$50\ \mathrm{cm}$
B.$35\ \mathrm{cm}$
C.$25\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
答案
2. C
解析
【分析】
要计算残缺圆形工件的半径，首先结合垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知CD所在直线为圆的直径所在直线。我们可以设圆的半径为r，通过r表示出圆心到弦AB的距离，再构造直角三角形利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设该圆形工件的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接OA。
∵CD是AB的垂直平分线，
∴圆心O在直线CD上，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm}$，$∠ ODA=90°$。
又
∵$OC=r$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入数据：
$r^2=20^2+(r-10)^2$
展开整理得：
$r^2=400+r^2-20r+100$
消去$r^2$后解得：$20r=500$，即$r=25$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，核心解题思路是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求半径，是圆相关计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算残缺圆形工件的半径，首先结合垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，可知CD所在直线为圆的直径所在直线。我们可以设圆的半径为r，通过r表示出圆心到弦AB的距离，再构造直角三角形利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设该圆形工件的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接OA。
∵CD是AB的垂直平分线，
∴圆心O在直线CD上，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm}$，$∠ ODA=90°$。
又
∵$OC=r$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入数据：
$r^2=20^2+(r-10)^2$
展开整理得：
$r^2=400+r^2-20r+100$
消去$r^2$后解得：$20r=500$，即$r=25$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，核心解题思路是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求半径，是圆相关计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法错误的是 （
A.圆是轴对称图形
B.圆的对称轴有无数条
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴
C
）A.圆是轴对称图形
B.圆的对称轴有无数条
C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D.经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查圆的轴对称性相关的概念辨析，解题思路如下：首先回忆轴对称图形和对称轴的定义，明确对称轴的本质是直线，不是线段；再逐一分析每个选项的表述是否符合概念要求，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
根据轴对称图形和对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对各选项逐一判断：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折后，两侧都能完全重合，因此圆是轴对称图形，该选项说法正确；
B. 过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，该选项说法正确；
C. 圆的直径是一条线段，而对称轴是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，该选项说法错误；
D. 经过圆心的任意一条直线都能让圆对折后两侧完全重合，因此都是圆的对称轴，该选项说法正确。
本题要求选择说法错误的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义；直径的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“直径（线段）”和“对称轴（直线）”的属性，解题时要注意抓住概念的本质细节，避免因概念理解不严谨失分。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的轴对称性相关的概念辨析，解题思路如下：首先回忆轴对称图形和对称轴的定义，明确对称轴的本质是直线，不是线段；再逐一分析每个选项的表述是否符合概念要求，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
根据轴对称图形和对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对各选项逐一判断：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折后，两侧都能完全重合，因此圆是轴对称图形，该选项说法正确；
B. 过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，该选项说法正确；
C. 圆的直径是一条线段，而对称轴是直线，因此不能说直径是圆的对称轴，该选项说法错误；
D. 经过圆心的任意一条直线都能让圆对折后两侧完全重合，因此都是圆的对称轴，该选项说法正确。
本题要求选择说法错误的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的轴对称性；对称轴的定义；直径的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“直径（线段）”和“对称轴（直线）”的属性，解题时要注意抓住概念的本质细节，避免因概念理解不严谨失分。
【难度系数】
0.7
