知识点一 线段的垂直平分线
1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.
2. 与线段两个端点距离的点在这条线段的垂直平分线上.
3. 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离的所有点的集合.

1. 相等
2. 相等
3. 相等

例1 如图，已知在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$BC$，若$AB=5$，$△ ABD$的周长是13，则线段$AC$的长是（）


A.6
B.7
C.8
D.9
解析 因为$DE$垂直平分$BC$，所以$DC=DB$.所以$△ ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=13$.因为$AB=5$，所以$AC=8$.
答案 C

C

因为DE垂直平分BC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得DB=DC。△ABD的周长为AB+BD+AD=13，将BD替换为DC，可得AB+CD+AD=AB+AC=13，已知AB=5，因此AC=13-5=8。

例2 如图，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线$l_1$交BC于点D，边AC的垂直平分线$l_2$交BC于点E，$l_1$与$l_2$相交于点O，连接OA，OB，OC.
（1）若$△ ADE$的周长为8 cm，求线段BC的长；
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上.

解（1）因为$l_1$是边AB的垂直平分线，
所以$DA=DB$.
因为$l_2$是边AC的垂直平分线，
所以$EA=EC$.
因为$△ ADE$的周长为8 cm，
所以$BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8$ cm.
（2）点O在BC的垂直平分线上.
理由：因为$l_1$是边AB的垂直平分线，
所以$OA=OB$.
因为$l_2$是边AC的垂直平分线，
所以$OA=OC$.
所以$OB=OC$.
所以点O在BC的垂直平分线上.

解：(1)
因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，
所以$DA=DB$。
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
所以$EA=EC$。
因为$△ ADE$的周长为$8\ \mathrm{cm}$，即$DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$。
(2) 点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，点$O$在$l_1$上，
所以$OA=OB$。
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，点$O$在$l_2$上，
所以$OA=OC$。
所以$OB=OC$。
因此点$O$在$BC$的垂直平分线上。