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1. 化简$\frac{n}{n^2 + 1 - 2n} ÷ ( \frac{1}{n-1} + 1 ) × (n-1)$的结果是（
A.$\frac{1}{n-1}$
B.$1$
C.$\frac{1}{n+1}$
D.$\frac{1}{(n-1)^2}$
B
）A.$\frac{1}{n-1}$
B.$1$
C.$\frac{1}{n+1}$
D.$\frac{1}{(n-1)^2}$
答案
B
【解析】原式$=\frac{n}{(n-1)^2} ÷ \frac{n}{n-1} × (n-1) =\frac{n}{(n-1)^2}·\frac{n-1}{n}·(n-1)=1.$
【解析】原式$=\frac{n}{(n-1)^2} ÷ \frac{n}{n-1} × (n-1) =\frac{n}{(n-1)^2}·\frac{n-1}{n}·(n-1)=1.$
2. 化简：$\frac{2a}{a+1} - \frac{2a - 4}{a^2 - 1} ÷ \frac{a - 2}{a^2 - 2a + 1} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\frac{2}{a+1}$
【解析】原式$=\frac{2a}{a+1} - \frac{2(a-2)}{(a-1)(a+1)}·\frac{(a-1)^2}{a-2}=\frac{2a}{a+1}-\frac{2(a-1)}{a+1}=\frac{2}{a+1}.$
【解析】原式$=\frac{2a}{a+1} - \frac{2(a-2)}{(a-1)(a+1)}·\frac{(a-1)^2}{a-2}=\frac{2a}{a+1}-\frac{2(a-1)}{a+1}=\frac{2}{a+1}.$
3. 计算：
(1) $(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (ab)^2 + \dfrac{2b^2}{a}$；
(2) $\dfrac{3 - a}{2a - 4} ÷ (a + 2 - \dfrac{5}{a - 2})$。
(1) $(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (ab)^2 + \dfrac{2b^2}{a}$；
(2) $\dfrac{3 - a}{2a - 4} ÷ (a + 2 - \dfrac{5}{a - 2})$。
答案
(1)原式$=\frac{a^4}{b^2} · (-\frac{b^6}{a^3}) ÷ (a^2b^2) + \frac{2b^2}{a} =-\frac{a^4}{b^2}·\frac{b^6}{a^3}·\frac{1}{a^2b^2}+\frac{2b^2}{a}=-\frac{b^2}{a}+\frac{2b^2}{a}=\frac{b^2}{a}.$
(2)原式$= -\frac{a-3}{2(a-2)} · \frac{a-2}{(a+2)(a-2)-5} =-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}=-\frac{a-3}{2(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{2a+6}.$
(2)原式$= -\frac{a-3}{2(a-2)} · \frac{a-2}{(a+2)(a-2)-5} =-\frac{a-3}{2(a-2)}·\frac{a-2}{a^2-9}=-\frac{a-3}{2(a+3)(a-3)}=-\frac{1}{2a+6}.$
4.（2024·四川达州中考）先化简：$(\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{x}{x+2}) ÷ \dfrac{x^2 + x}{x^2 -4}$，再从$-2,-1,0,1,2$之中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值.
答案
$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{x^2+x}{x^2-4}=(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})·\frac{x^2-4}{x^2+x} = \frac{x}{x-2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)} - \frac{x}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)} =\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-2}{x+1}=\frac{4}{x+1}.$
因为$x-2≠0,x+2≠0,x≠0$且$x+1≠0$,
所以$x$的值可以为1.当$x=1$时,原式$=\frac{4}{1+1}=2.$
因为$x-2≠0,x+2≠0,x≠0$且$x+1≠0$,
所以$x$的值可以为1.当$x=1$时,原式$=\frac{4}{1+1}=2.$
5.(2024·四川广元中考)先化简,再求值:
$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$,其中$a,b$满足$b - 2a = 0$.
$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$,其中$a,b$满足$b - 2a = 0$.
答案
$\frac{a}{a-b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a}{a-b} ·\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{b}{a+b}.$
因为$b-2a=0$,所以$b=2a$,所以原式$=\frac{2a}{a+2a}=\frac{2}{3}.$
因为$b-2a=0$,所以$b=2a$,所以原式$=\frac{2a}{a+2a}=\frac{2}{3}.$
6.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$.
(1)试用含有u，v的式子表示焦距f；
(2)若像距v=8厘米，物距u=24厘米，则焦距f=
(1)试用含有u，v的式子表示焦距f；
(2)若像距v=8厘米，物距u=24厘米，则焦距f=
6
厘米.答案
(1)因为$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{v+u}{uv}=\frac{1}{f}$,所以$f=\frac{uv}{u+v}.$
(2)6
(2)6
