程的根的近似值
典例 利用函数图象求一元二次方程$2x^2 -2x -3=0$的根的近似值(结果保留小数点后一位)。

解：设二次函数$y=2x^2-2x-3$，
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
计算对应点的函数值：
当$x=-1$时，$y=1$；当$x=0$时，$y=-3$；
当$x=1$时，$y=-3$；当$x=2$时，$y=1$。
由此可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在区间$(-1,0)$和$(1,2)$内，即方程$2x^2-2x-3=0$的两个根分别落在这两个区间内。
1. 探索区间$(1,2)$内的根：
当$x=1.8$时，$y=2×1.8^2 -2×1.8 -3=-0.12$；
当$x=1.9$时，$y=2×1.9^2 -2×1.9 -3=0.42$。
根在1.8和1.9之间，且$x=1.8$对应的函数值更接近0，该根的近似值为1.8。
2. 探索区间$(-1,0)$内的根：
当$x=-0.8$时，$y=2×(-0.8)^2 -2×(-0.8) -3=-0.12$；
当$x=-0.9$时，$y=2×(-0.9)^2 -2×(-0.9) -3=0.42$。
根在-0.9和-0.8之间，且$x=-0.8$对应的函数值更接近0，该根的近似值为-0.8。
综上，一元二次方程$2x^2-2x-3=0$的根的近似值为$x_1\approx-0.8$，$x_2\approx1.8$。

举一反三 利用二次函数的图象,求方程$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x +1=0$的根的近似值(结果保留小数点后一位).

解 二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2 -2x +1$ 的图象如图所示.
由图象可知,方程有两个根,一个根在 0,1 之间,另一个根在-4,-5 之间.
当 $x=0.5$ 时,$y=-0.125$;
当 $x=0.4$ 时,$y=0.12$.
因此,$x=0.4$ 是方程的一个近似根,
同理,$x=-4.4$ 是方程的另一个近似根.
所以方程 $-\frac{1}{2}x^2 -2x +1=0$ 的实数根是 $x_1≈0.4,x_2≈-4.4$.