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10. (2025·武汉校级月考)若整数$m, n满足m ＜ \sqrt{5}, n ＞ \sqrt{11}$,则$n - m$的最小值为____.
答案
$2$
11. 教材变式 已知正方形的边长为$a$,面积是7,试估计$a$十分位上的数字.
用下面“二分法”可以求出$a$的近似值.
先阅读,再答题:
因为$2^2 ＜ 7 ＜ 3^2$,所以$2 ＜ a ＜ 3$.
第一步:取$\frac{2 + 3}{2} = 2.5$,由$2.5^2 = 6.25 ＜ 7得2.5 ＜ a ＜ 3$;
第二步:取$\frac{2.5 + 3}{2} = 2.75$,由$2.75^2 = 7.5625 ＞ 7得2.5 ＜ a ＜ 2.75$.
请你继续上面的步骤,写出第三步,并通过第三步的结论,对$a$十分位上的数字作估计.
用下面“二分法”可以求出$a$的近似值.
先阅读,再答题:
因为$2^2 ＜ 7 ＜ 3^2$,所以$2 ＜ a ＜ 3$.
第一步:取$\frac{2 + 3}{2} = 2.5$,由$2.5^2 = 6.25 ＜ 7得2.5 ＜ a ＜ 3$;
第二步:取$\frac{2.5 + 3}{2} = 2.75$,由$2.75^2 = 7.5625 ＞ 7得2.5 ＜ a ＜ 2.75$.
请你继续上面的步骤,写出第三步,并通过第三步的结论,对$a$十分位上的数字作估计.
答案
第三步：取$\frac{2.5 + 2.75}{2} = 2.625$，由$2.625^2 = 6.890625\lt 7$得$2.625\lt a\lt 2.75$。
通过第三步的结论可知$a$十分位上的数字是$6$。
通过第三步的结论可知$a$十分位上的数字是$6$。
12. (2025·太原期中)观察表格中的数据:
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$ ()
A. 在$3.4 \sim 3.5$之间
B. 在$3.5 \sim 3.6$之间
C. 在$35 \sim 36$之间
D. 在$0.35 \sim 0.36$之间
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$ ()
A. 在$3.4 \sim 3.5$之间
B. 在$3.5 \sim 3.6$之间
C. 在$35 \sim 36$之间
D. 在$0.35 \sim 0.36$之间
答案
B
13. (2024·铜陵期中)在实数$\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, …, \sqrt{2023}, \sqrt{2024}, \sqrt{2025}$中,无理数有____个.
答案
$1980$
14. (1)下面是小李探索$\sqrt{2}$的近似值的过程,请补充完整:
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$,且$\sqrt{2} ＞ 1$. 设$\sqrt{2} = 1 + x$,可画出如图所示的示意图.
由面积公式,可得$x^2 +$____$= 2$.
略去$x^2$,得方程____.
解得$x = $____. 即$\sqrt{2} \approx$____.
(2)仿照上述方法,利用(1)的结论,再探究一次,使求得的$\sqrt{2}$的近似值更加准确. (画出示意图,标明数据,并写出求解过程)
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$,且$\sqrt{2} ＞ 1$. 设$\sqrt{2} = 1 + x$,可画出如图所示的示意图.
由面积公式,可得$x^2 +$____$= 2$.
略去$x^2$,得方程____.
解得$x = $____. 即$\sqrt{2} \approx$____.
(2)仿照上述方法,利用(1)的结论,再探究一次,使求得的$\sqrt{2}$的近似值更加准确. (画出示意图,标明数据,并写出求解过程)
答案
(1)$2x$；$2x = 1$；$0.5$；$1.5$。
(2)设$\sqrt{2}=1.5 - y$（$y\gt0$），由$(1.5 - y)^2=2.25-3y + y^{2}=2$，略去$y^{2}$得$2.25-3y=2$，解得$y=\frac{1}{12}\approx0.083$，所以$\sqrt{2}\approx1.5 - 0.083=1.417$。
(2)设$\sqrt{2}=1.5 - y$（$y\gt0$），由$(1.5 - y)^2=2.25-3y + y^{2}=2$，略去$y^{2}$得$2.25-3y=2$，解得$y=\frac{1}{12}\approx0.083$，所以$\sqrt{2}\approx1.5 - 0.083=1.417$。
