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7. (2024·苏州校级月考)一辆快车从甲地出发驶向乙地,在到达乙地后,立即按原路原速返回到甲地,快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地,中途因故停车$\frac {1}{4}$h后,继续按原速驶向乙地,两车距甲地的路程y(km)与慢车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)甲、乙两地相距______km,快车行驶的速度是______km/h,图中括号内的数值是______;
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中,y与x之间的函数表达式;
(3)慢车出发多长时间,两车相距120 km?
(1)甲、乙两地相距______km,快车行驶的速度是______km/h,图中括号内的数值是______;
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中,y与x之间的函数表达式;
(3)慢车出发多长时间,两车相距120 km?
答案
(1)400 100 7
(2)由图象可知,B(3,400)和A(7,0),设直线BA的函数表达式为y = kx + b,∴$\begin{cases}3k + b = 400\\7k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 100\\b = 700\end{cases}$，∴快车从乙地返回甲地的过程中,y与x之间的函数表达式为y = - 100x + 700.
(3)由图象可知,快车比慢车早出发1h,∴慢车的速度为$\frac{400 - 100×(4 - 3)}{4 - \frac{1}{4}}$ = 80(km/h),设慢车出发x h与快车相距120km,
①快车从甲地开往乙地,由题意得100(x + 1)=80x + 120,解得x = 1;
②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前,由题意得100(x + 1)-400 + 120 + 80(x - $\frac{1}{4}$)=400,解得x = $\frac{10}{3}$;
③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后,由题意得100(x + 1)-400 + 80(x - $\frac{1}{4}$)-120 = 400,解得x = $\frac{14}{3}$.
综上可知,慢车出发1h或$\frac{10}{3}$h或$\frac{14}{3}$h,两车相距120km.
(2)由图象可知,B(3,400)和A(7,0),设直线BA的函数表达式为y = kx + b,∴$\begin{cases}3k + b = 400\\7k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 100\\b = 700\end{cases}$，∴快车从乙地返回甲地的过程中,y与x之间的函数表达式为y = - 100x + 700.
(3)由图象可知,快车比慢车早出发1h,∴慢车的速度为$\frac{400 - 100×(4 - 3)}{4 - \frac{1}{4}}$ = 80(km/h),设慢车出发x h与快车相距120km,
①快车从甲地开往乙地,由题意得100(x + 1)=80x + 120,解得x = 1;
②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前,由题意得100(x + 1)-400 + 120 + 80(x - $\frac{1}{4}$)=400,解得x = $\frac{10}{3}$;
③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后,由题意得100(x + 1)-400 + 80(x - $\frac{1}{4}$)-120 = 400,解得x = $\frac{14}{3}$.
综上可知,慢车出发1h或$\frac{10}{3}$h或$\frac{14}{3}$h,两车相距120km.
8. (2024·绥化中考)为了响应国家提倡的“节能环保”号召,某共享电动车公司准备投入资金购买A,B两种电动车.若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆,需投入资金30.5万元;若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆,需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.
(1)求A,B两种电动车的单价分别是多少元.
(2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A,B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元?
(3)该公司将购买的A,B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为$y_{1}$;B种电动车支付费用是10 min之内,起步价6元,对应的函数为$y_{2}$.请根据函数图象信息解决下列问题.
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其他因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8 km,那么小刘选择______种电动车更省钱(填写A或B).
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时,x的值:______.
(1)求A,B两种电动车的单价分别是多少元.
(2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A,B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元?
(3)该公司将购买的A,B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为$y_{1}$;B种电动车支付费用是10 min之内,起步价6元,对应的函数为$y_{2}$.请根据函数图象信息解决下列问题.
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其他因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8 km,那么小刘选择______种电动车更省钱(填写A或B).
②直接写出两种电动车支付费用相差4元时,x的值:______.
答案
(1)设A,B两种电动车的单价分别为x元、y元,由题意得,$\begin{cases}25x + 80y = 305000\\60x + 120y = 480000\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1000\\y = 3500\end{cases}$
答:A,B两种电动车的单价分别为1000元、3500元.
(2)设购买A种电动车m辆,则购买B种电动车(200 - m)辆,由题意得m≤$\frac{1}{2}$(200 - m),解得m≤$\frac{200}{3}$,设购买所需总费用为w元,则w = 1000m + 3500(200 - m)= - 2500m + 700000,∵ - 2500＜0,∴w随着m的增大而减小.∵m取正整数,∴当m = 66时,w最小,∴w最小 = 700000 - 2500×66 = 535000(元).答:当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元.
(3)①B 解析:∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min,小刘家到公司的距离为8km,∴所用时间为$\frac{8000}{300}$ = 26$\frac{2}{3}$(min),根据函数图象可得当x＞20时,y₂＜y₁,∴小刘选择B种电动车更省钱.
②5或40 解析:设y₁ = k₁x,将(20,8)代入,得8 = 20k₁,解得k₁ = $\frac{2}{5}$，∴y₁ = $\frac{2}{5}$x.当0＜x≤10时,y₂ = 6,当x＞10时,设y₂ = k₂x + b₂,将(10,6),(20,8)代入,得$\begin{cases}6 = 10k₂ + b₂\\8 = 20k₂ + b₂\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = \frac{1}{5}\\b₂ = 4\end{cases}$，∴y₂ = $\frac{1}{5}$x + 4.依题意,当0＜x≤10时,y₂ - y₁ = 4,即6 - $\frac{2}{5}$x = 4,解得x = 5.当x＞10时,|y₂ - y₁| = 4,即|$\frac{1}{5}$x + 4 - $\frac{2}{5}$x| = 4,解得x = 0(舍去)或x = 40.
答:A,B两种电动车的单价分别为1000元、3500元.
(2)设购买A种电动车m辆,则购买B种电动车(200 - m)辆,由题意得m≤$\frac{1}{2}$(200 - m),解得m≤$\frac{200}{3}$,设购买所需总费用为w元,则w = 1000m + 3500(200 - m)= - 2500m + 700000,∵ - 2500＜0,∴w随着m的增大而减小.∵m取正整数,∴当m = 66时,w最小,∴w最小 = 700000 - 2500×66 = 535000(元).答:当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元.
(3)①B 解析:∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min,小刘家到公司的距离为8km,∴所用时间为$\frac{8000}{300}$ = 26$\frac{2}{3}$(min),根据函数图象可得当x＞20时,y₂＜y₁,∴小刘选择B种电动车更省钱.
②5或40 解析:设y₁ = k₁x,将(20,8)代入,得8 = 20k₁,解得k₁ = $\frac{2}{5}$，∴y₁ = $\frac{2}{5}$x.当0＜x≤10时,y₂ = 6,当x＞10时,设y₂ = k₂x + b₂,将(10,6),(20,8)代入,得$\begin{cases}6 = 10k₂ + b₂\\8 = 20k₂ + b₂\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = \frac{1}{5}\\b₂ = 4\end{cases}$，∴y₂ = $\frac{1}{5}$x + 4.依题意,当0＜x≤10时,y₂ - y₁ = 4,即6 - $\frac{2}{5}$x = 4,解得x = 5.当x＞10时,|y₂ - y₁| = 4,即|$\frac{1}{5}$x + 4 - $\frac{2}{5}$x| = 4,解得x = 0(舍去)或x = 40.
