登录
6. 设M是－5的相反数与－13的绝对值的差，N是比－8大6的数.求M－N.
答案
6. 因为M是－5的相反数与－13的绝对值的差，N是比－8大6的数.所以$M=-(-5)-|-13|=5-13=-8$，$N=-8+6=-2$，所以$M-N=-8-(-2)=-8+2=-6$.
解析
【分析】
解题时首先需要根据题目的描述分别求出M和N的值，再代入计算M-N。第一步先明确M的构成：-5的相反数即-(-5)，-13的绝对值即|-13|，二者的差就是M；第二步求N：比-8大6的数，即-8加6的结果；最后计算M-N时，按照有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，注意符号变化即可得到结果。
【解析】
解：根据题意计算M的值：
M是-5的相反数与-13的绝对值的差，
∴$M=-(-5)-|-13|=5-13=-8$
再计算N的值：
N是比-8大6的数，
∴$N=-8+6=-2$
最后计算M-N：
$M-N=-8-(-2)=-8+2=-6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的化简；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确理解题意，正确列出M、N的计算式，运算过程中注意符号的处理，避免因符号混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要根据题目的描述分别求出M和N的值，再代入计算M-N。第一步先明确M的构成：-5的相反数即-(-5)，-13的绝对值即|-13|，二者的差就是M；第二步求N：比-8大6的数，即-8加6的结果；最后计算M-N时，按照有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，注意符号变化即可得到结果。
【解析】
解：根据题意计算M的值：
M是-5的相反数与-13的绝对值的差，
∴$M=-(-5)-|-13|=5-13=-8$
再计算N的值：
N是比-8大6的数，
∴$N=-8+6=-2$
最后计算M-N：
$M-N=-8-(-2)=-8+2=-6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的化简；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是准确理解题意，正确列出M、N的计算式，运算过程中注意符号的处理，避免因符号混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
1. 若$a＞0$，且$|a|＞|b|$，则$a-b$的值是 （
A.正数
B.负数
C.正数或负数
D.0
A
）A.正数
B.负数
C.正数或负数
D.0
答案
1. A
解析
【分析】
解题时可结合有理数减法法则和绝对值的性质思考，首先明确a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，我们可以分b为正数、负数、0三种情况讨论a-b的符号，通过逐一分析每种情况的结果正负，就能得出最终结论。
【解析】
根据已知条件$a＞0$，$|a|＞|b|$，分三种情况讨论：
1. 若b为正数：因为$|a|＞|b|$且$a＞0$，所以$a＞b$，可得$a-b＞0$，结果为正数；
2. 若b为负数：根据有理数减法法则，$a-b = a + (-b)$，其中a是正数，-b也是正数，正数加正数的结果仍为正数；
3. 若$b=0$：$a-b = a - 0 = a＞0$，结果为正数。
综上，无论b取何值，$a-b$的值都是正数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数减法法则，绝对值的性质，正负数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是结合绝对值的性质分类讨论不同情况下有理数减法的结果符号，做题时注意不要遗漏b为负数或0的情况即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时可结合有理数减法法则和绝对值的性质思考，首先明确a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，我们可以分b为正数、负数、0三种情况讨论a-b的符号，通过逐一分析每种情况的结果正负，就能得出最终结论。
【解析】
根据已知条件$a＞0$，$|a|＞|b|$，分三种情况讨论：
1. 若b为正数：因为$|a|＞|b|$且$a＞0$，所以$a＞b$，可得$a-b＞0$，结果为正数；
2. 若b为负数：根据有理数减法法则，$a-b = a + (-b)$，其中a是正数，-b也是正数，正数加正数的结果仍为正数；
3. 若$b=0$：$a-b = a - 0 = a＞0$，结果为正数。
综上，无论b取何值，$a-b$的值都是正数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数减法法则，绝对值的性质，正负数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是结合绝对值的性质分类讨论不同情况下有理数减法的结果符号，做题时注意不要遗漏b为负数或0的情况即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知郝炜同学在计算$35+x$时，误将“+”看成“-”，结果得10，则$35+x$的值应为（
A.20
B.60
C.10
D.70
B
）A.20
B.60
C.10
D.70
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先根据看错运算符号后的计算结果求出未知数x的值，再将x代入正确的算式计算即可。第一步先依据“误将‘+’看成‘-’，结果得10”列出关于x的等式，利用有理数减法的运算关系求出x；第二步把x代入原式$35+x$计算最终结果。
【解析】
解：根据题意，郝炜看错运算符号后计算的算式为：
$35 - x = 10$
根据“减数=被减数-差”的运算关系，可得：
$x = 35 - 10 = 25$
将$x=25$代入正确的算式$35 + x$中，计算得：
$35 + 25 = 60$
因此$35+x$的值为60。
【答案】
B
【知识点】
有理数减法运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的核心是先根据错误运算及结果求出未知参数，再代入正确式子计算，理清运算关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据看错运算符号后的计算结果求出未知数x的值，再将x代入正确的算式计算即可。第一步先依据“误将‘+’看成‘-’，结果得10”列出关于x的等式，利用有理数减法的运算关系求出x；第二步把x代入原式$35+x$计算最终结果。
【解析】
解：根据题意，郝炜看错运算符号后计算的算式为：
$35 - x = 10$
根据“减数=被减数-差”的运算关系，可得：
$x = 35 - 10 = 25$
将$x=25$代入正确的算式$35 + x$中，计算得：
$35 + 25 = 60$
因此$35+x$的值为60。
【答案】
B
【知识点】
有理数减法运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的核心是先根据错误运算及结果求出未知参数，再代入正确式子计算，理清运算关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
3. 有理数$a$，$b$在数轴上的表示如图所示，下列结论：① $a+b＜0$；② $a-b＜0$；③ $a＜|b|$；④ $-a＞-b$；⑤ $|a-b|=a-b$. 其中正确的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据数轴的特征判断出a、b的符号及绝对值的大小关系：b＜0＜a，且|b|＞|a|，再结合有理数的加减法法则、绝对值的性质、不等式的基本性质逐一分析5个结论是否正确即可。
【解析】
由数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|。
① 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，
∵|b|＞|a|，b为负数，
∴a+b＜0，故①正确；
② a-b=a+(-b)，
∵b＜0，
∴-b＞0，正数加正数结果为正，
∴a-b＞0，故②错误；
③
∵a＞0，
∴|a|=a，又
∵|b|＞|a|，
∴a＜|b|，故③正确；
④
∵a＞b，不等式两边同时乘-1，不等号方向改变，
∴-a＜-b，故④错误；
⑤ 由②得a-b＞0，正数的绝对值等于它本身，
∴|a-b|=a-b，故⑤正确。
综上，正确的结论是①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；有理数的加减运算；绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中提取a、b的正负及绝对值大小的信息，再结合有理数相关运算法则、绝对值性质逐个验证结论，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴的特征判断出a、b的符号及绝对值的大小关系：b＜0＜a，且|b|＞|a|，再结合有理数的加减法法则、绝对值的性质、不等式的基本性质逐一分析5个结论是否正确即可。
【解析】
由数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|。
① 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，
∵|b|＞|a|，b为负数，
∴a+b＜0，故①正确；
② a-b=a+(-b)，
∵b＜0，
∴-b＞0，正数加正数结果为正，
∴a-b＞0，故②错误；
③
∵a＞0，
∴|a|=a，又
∵|b|＞|a|，
∴a＜|b|，故③正确；
④
∵a＞b，不等式两边同时乘-1，不等号方向改变，
∴-a＜-b，故④错误；
⑤ 由②得a-b＞0，正数的绝对值等于它本身，
∴|a-b|=a-b，故⑤正确。
综上，正确的结论是①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的认识；有理数的加减运算；绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中提取a、b的正负及绝对值大小的信息，再结合有理数相关运算法则、绝对值性质逐个验证结论，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.7
4. 若$|m|=5$，$|n|=3$，$m+n$的绝对值等于它的相反数，则$m-n$的值是（
A.$-2$或$-8$
B.$2$或$-8$
C.$2$或$8$
D.$-2$或$8$
A
）A.$-2$或$-8$
B.$2$或$-8$
C.$2$或$8$
D.$-2$或$8$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再根据“m+n的绝对值等于它的相反数”判断出m+n的符号特征，筛选出符合条件的m、n的组合，最后代入计算m-n的值即可。思考时要注意分类讨论所有可能的情况，同时不能忽略约束条件排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质求m、n的可能值
∵|m|=5，
∴m=5或m=-5；
∵|n|=3，
∴n=3或n=-3。
第二步：根据条件判断m+n的符号
∵|m+n|等于m+n的相反数，根据绝对值的性质：负数和0的绝对值是它的相反数，可得m+n≤0。
第三步：分类筛选符合条件的m、n组合，计算m-n
①当m=5时，若n=3，m+n=5+3=8＞0；若n=-3，m+n=5+(-3)=2＞0，两种情况都不符合m+n≤0，故m=5的情况舍去。
②当m=-5时，若n=3，m+n=-5+3=-2≤0，符合条件，此时m-n=-5-3=-8；
若n=-3，m+n=-5+(-3)=-8≤0，符合条件，此时m-n=-5-(-3)=-5+3=-2。
综上，m-n的值为-2或-8。
【答案】
A
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数加法运算
3. 有理数减法运算
【点评】
本题考查绝对值性质与有理数加减的综合应用，解题的关键是掌握“若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数”，同时注意分类讨论时要结合约束条件排除不符合的取值，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再根据“m+n的绝对值等于它的相反数”判断出m+n的符号特征，筛选出符合条件的m、n的组合，最后代入计算m-n的值即可。思考时要注意分类讨论所有可能的情况，同时不能忽略约束条件排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质求m、n的可能值
∵|m|=5，
∴m=5或m=-5；
∵|n|=3，
∴n=3或n=-3。
第二步：根据条件判断m+n的符号
∵|m+n|等于m+n的相反数，根据绝对值的性质：负数和0的绝对值是它的相反数，可得m+n≤0。
第三步：分类筛选符合条件的m、n组合，计算m-n
①当m=5时，若n=3，m+n=5+3=8＞0；若n=-3，m+n=5+(-3)=2＞0，两种情况都不符合m+n≤0，故m=5的情况舍去。
②当m=-5时，若n=3，m+n=-5+3=-2≤0，符合条件，此时m-n=-5-3=-8；
若n=-3，m+n=-5+(-3)=-8≤0，符合条件，此时m-n=-5-(-3)=-5+3=-2。
综上，m-n的值为-2或-8。
【答案】
A
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数加法运算
3. 有理数减法运算
【点评】
本题考查绝对值性质与有理数加减的综合应用，解题的关键是掌握“若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数”，同时注意分类讨论时要结合约束条件排除不符合的取值，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5. “数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如:在数轴上表示数5和－2的两点之间的距离可列式表示为$|5-(-2)|$或$|-2-5|$；表示数$x$和－3的两点之间的距离可列式表示为$|x-(-3)|=|x+3|$.那么$|x+3|+|x-2|$的最小值为
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
首先结合题目给出的示例，明确绝对值的几何意义：|x+3|表示数轴上数x的点到-3的点的距离，|x-2|表示数轴上数x的点到2的点的距离，因此所求式子就是数轴上动点x到两个定点-3、2的距离之和。要找这个和的最小值，只需分析动点x的位置：当x落在两个定点之间（包含两个定点）时，距离之和刚好等于两个定点之间的固定距离，此时和最小；如果x在两个定点外侧，距离之和都会大于这个固定值。
【解析】
解：根据题意推导如下：
1. 由数轴两点距离和绝对值的关系可知：|x+3|是数轴上表示x的点到表示-3的点的距离，|x-2|是数轴上表示x的点到表示2的点的距离；
2. 因此$|x+3|+|x-2|$的含义为：数轴上表示x的点到-3和2的距离之和；
3. 当x在-3和2之间（包含-3、2两个端点）时，距离之和最小，最小值就是-3到2的两点距离，计算得：$|2 - (-3)| = 5$；
4. 可举例验证：若x取-3左侧的数（如-4），原式$=|-4+3|+|-4-2|=1+6=7＞5$；若x取2右侧的数（如3），原式$=|3+3|+|3-2|=6+1=7＞5$，均大于5。
因此$|x+3|+|x-2|$的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
绝对值的几何意义、数轴两点距离计算、数形结合思想
【点评】
本题将绝对值运算和数轴距离结合，是绝对值应用的经典题型，解题核心是准确理解绝对值的几何含义，用数形结合的方法可以快速得出结果，避免复杂的分类讨论。
【难度系数】
0.7
首先结合题目给出的示例，明确绝对值的几何意义：|x+3|表示数轴上数x的点到-3的点的距离，|x-2|表示数轴上数x的点到2的点的距离，因此所求式子就是数轴上动点x到两个定点-3、2的距离之和。要找这个和的最小值，只需分析动点x的位置：当x落在两个定点之间（包含两个定点）时，距离之和刚好等于两个定点之间的固定距离，此时和最小；如果x在两个定点外侧，距离之和都会大于这个固定值。
【解析】
解：根据题意推导如下：
1. 由数轴两点距离和绝对值的关系可知：|x+3|是数轴上表示x的点到表示-3的点的距离，|x-2|是数轴上表示x的点到表示2的点的距离；
2. 因此$|x+3|+|x-2|$的含义为：数轴上表示x的点到-3和2的距离之和；
3. 当x在-3和2之间（包含-3、2两个端点）时，距离之和最小，最小值就是-3到2的两点距离，计算得：$|2 - (-3)| = 5$；
4. 可举例验证：若x取-3左侧的数（如-4），原式$=|-4+3|+|-4-2|=1+6=7＞5$；若x取2右侧的数（如3），原式$=|3+3|+|3-2|=6+1=7＞5$，均大于5。
因此$|x+3|+|x-2|$的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
绝对值的几何意义、数轴两点距离计算、数形结合思想
【点评】
本题将绝对值运算和数轴距离结合，是绝对值应用的经典题型，解题核心是准确理解绝对值的几何含义，用数形结合的方法可以快速得出结果，避免复杂的分类讨论。
【难度系数】
0.7
6. 如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将－3,2,－1,0,1,－2,3,－4分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等.已知图中△、⊙分别表示两个数，则△－⊙的值为
-4或1
. 答案
6. -4或1
解析
【分析】
首先计算所有待填入数字的总和，结合“横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等”的条件，可推出每条线、每个圈的公共和；再通过竖列已有的数字求出⊙的值，接着利用内圈和求出内圈左侧的数，最后确定剩余未填的两个数，分两种情况计算△-⊙的值即可。
【解析】
1. 计算所有待填数的总和：
$-3+2+(-1)+0+1+(-2)+3+(-4)=-4$
因为内外两圈的和相等，所以每圈的和为$-4÷2=-2$；同理横、竖线上4个数字的和也为$-2$。
2. 求⊙的值：
竖列四个数为$3、-2、⊙、-4$，和为$-2$，列等式：
$3+(-2)+⊙+(-4)=-2$
解得：$⊙=1$
3. 求内圈左侧的数：
内圈四个数为$-2、0、⊙=1、内圈左数$，和为$-2$，列等式：
$-2+0+1+内圈左数=-2$
解得：$内圈左数=-1$
4. 分类讨论求△-⊙：
已用数字为$3、-2、1、-4、0、-1$，剩余未填数字为$2和-3$，对应△和最右侧外圈两个位置：
① 当$△=-3$时，$△-⊙=-3-1=-4$；
② 当$△=2$时，$△-⊙=2-1=1$。
【答案】
-4或1
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究，分类讨论
【点评】
本题是幻方衍生的规律题，解题核心是先通过总和求出公共和，再逐步推导固定位置的数值，最后对剩余数的排列情况分类讨论即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先计算所有待填入数字的总和，结合“横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等”的条件，可推出每条线、每个圈的公共和；再通过竖列已有的数字求出⊙的值，接着利用内圈和求出内圈左侧的数，最后确定剩余未填的两个数，分两种情况计算△-⊙的值即可。
【解析】
1. 计算所有待填数的总和：
$-3+2+(-1)+0+1+(-2)+3+(-4)=-4$
因为内外两圈的和相等，所以每圈的和为$-4÷2=-2$；同理横、竖线上4个数字的和也为$-2$。
2. 求⊙的值：
竖列四个数为$3、-2、⊙、-4$，和为$-2$，列等式：
$3+(-2)+⊙+(-4)=-2$
解得：$⊙=1$
3. 求内圈左侧的数：
内圈四个数为$-2、0、⊙=1、内圈左数$，和为$-2$，列等式：
$-2+0+1+内圈左数=-2$
解得：$内圈左数=-1$
4. 分类讨论求△-⊙：
已用数字为$3、-2、1、-4、0、-1$，剩余未填数字为$2和-3$，对应△和最右侧外圈两个位置：
① 当$△=-3$时，$△-⊙=-3-1=-4$；
② 当$△=2$时，$△-⊙=2-1=1$。
【答案】
-4或1
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究，分类讨论
【点评】
本题是幻方衍生的规律题，解题核心是先通过总和求出公共和，再逐步推导固定位置的数值，最后对剩余数的排列情况分类讨论即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
7. 小明家购置了一辆续航为 350 km(能行驶的最大路程)的新能源纯电动汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位:km,以 40 km 为标准,超过部分记为“+”,不足部分记为“-”).已知该汽车第三天行驶了 45 km,第六天行驶了 34 km.
(1) “■”处的数为
(2) 已知小明家这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足续航的 15%,行车电脑就会发出充电提示.请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行车电脑会不会发出充电提示.
(1) “■”处的数为
+5
,“●”处的数为-6
；(2) 已知小明家这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足续航的 15%,行车电脑就会发出充电提示.请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行车电脑会不会发出充电提示.
答案
7. (1)+5 -6 (2)由题意,得$-6+2+5-3+8-6+7=2+5+8+7-6-3-6=22-15=7(\mathrm{km})$，$40×7+7=280+7=287(\mathrm{km})$，$350-350×15\%=350-52.5=297.5(\mathrm{km})$，$\because 297.5＞287$，$\therefore$行车电脑会不会发出充电提示.
解析
【分析】
(1) 题目明确以40km为标准，超过部分记为正，不足部分记为负。求“■”的数值时，用第三天实际行驶路程减去标准路程40km即可；求“●”的数值时，用第六天实际行驶路程减去标准路程40km即可。
(2) 要判断第七天行驶结束后是否会发出充电提示，首先需计算7天总行驶路程：先把7天的路程偏差值求和，再加上7天的标准总路程（40×7）得到实际总行驶路程。再计算触发提示的临界行驶路程：总续航350km，剩余电量不足15%即行驶路程超过$350×(1-15\%)$时会触发提示，最后比较实际总行驶路程和临界值的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 第三天实际行驶45km，因此“■”处的数为：$45-40=+5$；
第六天实际行驶34km，因此“●”处的数为：$34-40=-6$。
(2) 首先计算7天路程偏差的总和：
$-6+2+5-3+8-6+7=(2+5+8+7)-(6+3+6)=22-15=7(\mathrm{km})$
7天实际总行驶路程为：
$40×7+7=280+7=287(\mathrm{km})$
剩余电量刚好为续航15%时，已经行驶的路程为：
$350-350×15\%=350-52.5=297.5(\mathrm{km})$
因为$287＜297.5$，说明实际行驶路程小于临界值，剩余电量超过续航的15%，因此不会发出充电提示。
【答案】
(1) $+5$，$-6$
(2) 行车电脑不会发出充电提示
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，百分数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查基础的正负数应用和有理数运算能力，也需要学生理清题目中的逻辑关系，题型贴合生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确以40km为标准，超过部分记为正，不足部分记为负。求“■”的数值时，用第三天实际行驶路程减去标准路程40km即可；求“●”的数值时，用第六天实际行驶路程减去标准路程40km即可。
(2) 要判断第七天行驶结束后是否会发出充电提示，首先需计算7天总行驶路程：先把7天的路程偏差值求和，再加上7天的标准总路程（40×7）得到实际总行驶路程。再计算触发提示的临界行驶路程：总续航350km，剩余电量不足15%即行驶路程超过$350×(1-15\%)$时会触发提示，最后比较实际总行驶路程和临界值的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 第三天实际行驶45km，因此“■”处的数为：$45-40=+5$；
第六天实际行驶34km，因此“●”处的数为：$34-40=-6$。
(2) 首先计算7天路程偏差的总和：
$-6+2+5-3+8-6+7=(2+5+8+7)-(6+3+6)=22-15=7(\mathrm{km})$
7天实际总行驶路程为：
$40×7+7=280+7=287(\mathrm{km})$
剩余电量刚好为续航15%时，已经行驶的路程为：
$350-350×15\%=350-52.5=297.5(\mathrm{km})$
因为$287＜297.5$，说明实际行驶路程小于临界值，剩余电量超过续航的15%，因此不会发出充电提示。
【答案】
(1) $+5$，$-6$
(2) 行车电脑不会发出充电提示
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，百分数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查基础的正负数应用和有理数运算能力，也需要学生理清题目中的逻辑关系，题型贴合生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
