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10. 核心素养推理能力「2026广东潮州潮安期中，★★☆」抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，部分图象如图所示，有下列结论：①$abc＞0$；②$b^2-4ac＞0$；③$9a-3b+c=0$；④若点$(-0.5,y_1),(-2,y_2)$均在抛物线上，则$y_1＞y_2$；⑤$5a-2b+c＜0$.其中正确结论的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
①$\because$ 抛物线的开口向上,$\therefore a＞0$,$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a＞0$,$\because$ 抛物线与$y$轴交于负半轴,$\therefore c＜0$,$\therefore abc＜0$,故①错误;②易知抛物线与$x$轴有两个交点,$\therefore b^2-4ac＞0$,故②正确;③$\because$ 抛物线与$x$轴交于一点$(1,0)$,且抛物线的对称轴为直线$x=-1$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴的另一交点为$(-3,0)$,$\therefore 9a-3b+c=0$,故③正确;④点$(-0.5,y_1)$关于抛物线对称轴的对称点为$(-1.5,y_1)$,$\because$ 点$(-1.5,y_1),(-2,y_2)$均在抛物线上,且在对称轴左侧,$-1.5＞-2$,$\therefore y_1＜y_2$,故④错误;⑤$\because$ 抛物线过点$(1,0)$,$\therefore a+b+c=0$,$\because b=2a$,$\therefore c=-3a$,$\therefore 5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0$,故⑤正确.故选C.
11.「2026宁夏吴忠盐池期中，★☆」已知$m$是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，则代数式$m^2 - m +2025$的值为
2026
。答案
答案 2 026
解析 $\because m$是方程$x^2-x-1=0$的一个根,$\therefore m^2-m-1=0$,$\therefore m^2-m=1$,$\therefore m^2-m+2\ 025=1+2\ 025=2\ 026$,故答案为2 026.
解析 $\because m$是方程$x^2-x-1=0$的一个根,$\therefore m^2-m-1=0$,$\therefore m^2-m=1$,$\therefore m^2-m+2\ 025=1+2\ 025=2\ 026$,故答案为2 026.
12.「2026河南南阳邓州期中，★☆」如图所示的是一架人字梯及其部分侧面示意图，已知$AB// CD// EF$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=3\ \mathrm{cm}$，$BD=4\ \mathrm{cm}$，则$DF$的长为
$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
。答案
答案 $\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
解析 $\because AB// CD// EF$,$\therefore \dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BD}{DF}$,$\because AC=5\ \mathrm{cm}$,$CE=3\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore \dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{DF}$,$\therefore DF=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$,故答案为$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$.
解析 $\because AB// CD// EF$,$\therefore \dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BD}{DF}$,$\because AC=5\ \mathrm{cm}$,$CE=3\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore \dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{DF}$,$\therefore DF=\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$,故答案为$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$.
13. 「2026四川南充阆中中学期中，★★☆」将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度.若平移后得到的抛物线与$x$轴有交点,则$k$的取值范围是
$k≥ 3$
.答案
答案 $k≥ 3$
解析 将抛物线$y=x^2-6x+12$向下平移$k$个单位长度得到抛物线$y=x^2-6x+12-k$,$\because$ 平移后得到的抛物线与$x$轴有交点,$\therefore (-6)^2-4×1×(12-k)≥ 0$,解得$k≥ 3$,故答案为$k≥ 3$.
解析 将抛物线$y=x^2-6x+12$向下平移$k$个单位长度得到抛物线$y=x^2-6x+12-k$,$\because$ 平移后得到的抛物线与$x$轴有交点,$\therefore (-6)^2-4×1×(12-k)≥ 0$,解得$k≥ 3$,故答案为$k≥ 3$.
14.「2026陕西榆林子洲期末，★★☆」一个立体图形由若干个大小相同的小正方体搭成，如图所示的是它的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少需要
9
个.答案
答案 9
解析 在俯视图的相应位置上标注所能摆放最少的小正方体的个数如下(仅画出一种情况):
所以搭成这个几何体的小正方体最少需要$1+1+1+1+2+3=9$(个).故答案为9.
15.「2026河南郑州期中，★★☆」
，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO。若∠D=128°，则∠OBC的度数为
，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO。若∠D=128°，则∠OBC的度数为$64°$
。答案
答案 $64°$
解析 $\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$∠ D=128°$,$\therefore AB// CD$,$AB=CB$,$∠ ABC=∠ D=128°$,$\therefore ∠ OAM=∠ OCN$,在$△ AOM$和$△ CON$中,$\begin{cases}∠ AOM=∠ CON,\\∠ OAM=∠ OCN,\\AM=CN,\end{cases}$$\therefore △ AOM≌ △ CON(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OA=OC$,$\because AB=CB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OBA=\dfrac{1}{2}∠ ABC=64°$,
故答案为$64°$.
解析 $\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$∠ D=128°$,$\therefore AB// CD$,$AB=CB$,$∠ ABC=∠ D=128°$,$\therefore ∠ OAM=∠ OCN$,在$△ AOM$和$△ CON$中,$\begin{cases}∠ AOM=∠ CON,\\∠ OAM=∠ OCN,\\AM=CN,\end{cases}$$\therefore △ AOM≌ △ CON(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OA=OC$,$\because AB=CB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OBA=\dfrac{1}{2}∠ ABC=64°$,
故答案为$64°$.
