综合与实践 制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒 见答案册第45页
主题
用一张正方形的纸片制成一个无盖长方体纸盒.如果我们按照如图所示的方式,将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形,然后沿虚线折起来,就可以做成一个无盖长方体盒子.

问题分析
(1)如果原正方形纸片的边长为$a$ cm,剪去的小正方形的边长为$b$ cm,则折成的无盖长方体盒子的高为cm,底面积为cm²,容积为cm³.(用含$a,b$的代数式表示)
实践探索
(2)如果$a=20$,剪去的小正方形的边长按整数值依次变化,即分别取1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm,10 cm时,通过计算得出部分结果如下:
| $b$/cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容积/cm³ | 324 | 512 | $m$ | 576 | 500 | 384 | 252 | $n$ | 36 | 0 |
求$m,n$的值.
实践分析
(3)观察绘制的统计表,你发现随着减去的小正方形的边长的增大,所折无盖长方体盒子的容积如何变化?
分析猜想
(4)当$b$为何值时($b$为整数),所得的无盖长方体的容积最大,此时容积是多少?

(1) 无盖长方体盒子的高为$b$ cm，底面积为$(a-2b)^2$ cm²，容积为$b(a-2b)^2$ cm³。
(2) 当$a=20,b=3$时，$b(a-2b)^2=3×(20-2×3)^2=588$；当$a=20,b=8$时，$b(a-2b)^2=8×(20-2×8)^2=128$，所以$m=588,n=128$。
(3) 由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小。
(4) 由表中数据可知，当$b=3$时，所得的无盖长方体的容积最大，此时容积为$588\ \mathrm{cm}^3$。