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12 有下列说法:① 0 是整数,也是有理数;② 0 只能表示没有;③ 一个有理数不是整数就是分数;④ 有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数;⑤ 一个整数不是正数就是负数;⑥ 负分数一定是负有理数.其中,正确的说法共有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
12. B
解析
【分析】
要解决这道题，需逐一判断每个说法是否符合有理数的相关概念：首先回忆0的性质、有理数的定义及分类规则，逐个排查每个说法的正误，最后统计正确说法的个数，对应选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析6个说法：
① 整数包括正整数、0、负整数，整数和分数统称为有理数，因此0是整数，也是有理数，该说法正确；
② 0不止能表示没有，例如0℃表示特定的温度，有实际意义，该说法错误；
③ 有理数的定义为整数和分数的统称，因此一个有理数不是整数就是分数，该说法正确；
④ 有理数分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数，该分类遗漏了0，说法错误；
⑤ 整数包括正整数、0、负整数，其中0既不是正数也不是负数，该说法错误；
⑥ 负有理数包含负整数和负分数，因此负分数一定是负有理数，该说法正确。
综上，正确的说法是①③⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；0的性质；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查有理数相关的基础定义，易错点是分类时容易遗漏0，忽略0既不是正数也不是负数的性质，牢固掌握概念的分类标准即可正确解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需逐一判断每个说法是否符合有理数的相关概念：首先回忆0的性质、有理数的定义及分类规则，逐个排查每个说法的正误，最后统计正确说法的个数，对应选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析6个说法：
① 整数包括正整数、0、负整数，整数和分数统称为有理数，因此0是整数，也是有理数，该说法正确；
② 0不止能表示没有，例如0℃表示特定的温度，有实际意义，该说法错误；
③ 有理数的定义为整数和分数的统称，因此一个有理数不是整数就是分数，该说法正确；
④ 有理数分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数，该分类遗漏了0，说法错误；
⑤ 整数包括正整数、0、负整数，其中0既不是正数也不是负数，该说法错误；
⑥ 负有理数包含负整数和负分数，因此负分数一定是负有理数，该说法正确。
综上，正确的说法是①③⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；0的性质；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查有理数相关的基础定义，易错点是分类时容易遗漏0，忽略0既不是正数也不是负数的性质，牢固掌握概念的分类标准即可正确解答。
【难度系数】
0.7
13 教材 P15 作业题 T5 变式 如图所示的圈分别表示负数、整数和正数，其中有甲、乙、丙三个部分，则关于这三个部分的数的个数，下列说法正确的是（
（第 13 题）
A.甲、丙两个部分的数有无数个，乙部分的数只有一个，是 0
B.甲、乙、丙三个部分的数都有无数个
C.甲、乙、丙三个部分的数都只有一个
D.甲部分的数只有一个，乙、丙两个部分的数有无数个
A
）（第 13 题）
A.甲、丙两个部分的数有无数个，乙部分的数只有一个，是 0
B.甲、乙、丙三个部分的数都有无数个
C.甲、乙、丙三个部分的数都只有一个
D.甲部分的数只有一个，乙、丙两个部分的数有无数个
答案
13. A
解析
【分析】
解题时首先要理解图中重叠部分的含义：两个圈重叠的区域表示同时属于这两个圈代表的数的类型。首先回忆有理数的分类：整数包含正整数、0、负整数；负数包含负整数、负分数；正数包含正整数、正分数。第一步判断甲：甲是同时属于负数和整数的数，也就是负整数，负整数有无数个；第二步判断丙：丙是同时属于正数和整数的数，也就是正整数，正整数也有无数个；第三步判断乙：乙是属于整数，但既不属于负数也不属于正数的数，我们知道0既不是正数也不是负数，所以乙只有0这1个数，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
我们分别分析甲、乙、丙三个部分的数：
1. 甲部分：是同时属于负数和整数的数，即负整数，例如-1、-2、-3……，负整数有无数个；
2. 丙部分：是同时属于正数和整数的数，即正整数，例如1、2、3……，正整数有无数个；
3. 乙部分：是属于整数，但既不是负数也不是正数的数，而0既不是正数也不是负数，所以乙部分只有0这1个数。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
有理数的分类，正负数概念，整数概念
【点评】
本题结合重叠图考查有理数的分类知识，解题的关键是明确各类数的范围，特别要注意“0既不是正数也不是负数”这个特殊点，避免混淆不同类型数的包含关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解图中重叠部分的含义：两个圈重叠的区域表示同时属于这两个圈代表的数的类型。首先回忆有理数的分类：整数包含正整数、0、负整数；负数包含负整数、负分数；正数包含正整数、正分数。第一步判断甲：甲是同时属于负数和整数的数，也就是负整数，负整数有无数个；第二步判断丙：丙是同时属于正数和整数的数，也就是正整数，正整数也有无数个；第三步判断乙：乙是属于整数，但既不属于负数也不属于正数的数，我们知道0既不是正数也不是负数，所以乙只有0这1个数，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
我们分别分析甲、乙、丙三个部分的数：
1. 甲部分：是同时属于负数和整数的数，即负整数，例如-1、-2、-3……，负整数有无数个；
2. 丙部分：是同时属于正数和整数的数，即正整数，例如1、2、3……，正整数有无数个；
3. 乙部分：是属于整数，但既不是负数也不是正数的数，而0既不是正数也不是负数，所以乙部分只有0这1个数。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
有理数的分类，正负数概念，整数概念
【点评】
本题结合重叠图考查有理数的分类知识，解题的关键是明确各类数的范围，特别要注意“0既不是正数也不是负数”这个特殊点，避免混淆不同类型数的包含关系。
【难度系数】
0.7
14 教材 P15 作业题 T4 变式 已知 $ A:\{-1,3.1,-4,218,2.1\} $; $ B:\{-4.2,2.1,-1,10,-\frac{1}{8}\} $; $ C:\{2.1,-4.2,8,218\} $.
（1）如图,请把每个大括号中所含的数填入图中的相应部分.
（2）把 $ A,B,C $ 三个大括号中的所有负数写在横线上：
（3）把 $ A,B,C $ 三个大括号中的所有正分数写在横线上：
（4）有没有同时属于 $ A,B,C $ 的数？若有,请指出.
（1）如图,请把每个大括号中所含的数填入图中的相应部分.
（2）把 $ A,B,C $ 三个大括号中的所有负数写在横线上：
$-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$
.（3）把 $ A,B,C $ 三个大括号中的所有正分数写在横线上：
3.1,2.1
.（4）有没有同时属于 $ A,B,C $ 的数？若有,请指出.
答案
14. (1) 如图所示
(2) $-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$
(3) 3.1,2.1
(4) 有 2.1
解析
【分析】
解题时按小问逐步思考：
1. 第(1)问填韦恩图：首先明确韦恩图不同区域的含义，最中间的重叠区域是同时属于A、B、C三个集合的元素，两两交叠但不包含第三个集合的区域是对应两个集合共有的独有公共元素，剩下的不重叠区域是每个集合独有的元素，先梳理出各区域对应的数再填入即可。
2. 第(2)问找负数：负数是小于0的数，依次列出三个集合中所有小于0的数，注意不要遗漏、不要重复。
3. 第(3)问找正分数：正分数首先满足是正数（大于0），其次属于分数范畴，有限小数、无限循环小数都属于分数，据此筛选即可。
4. 第(4)问找同时属于三个集合的数：只需找三个集合都包含的公共元素即可。
【解析】
(1) 先梳理各区域对应元素：
① 同时属于A、B、C的数：2.1，填在三个圆的公共重叠区；
② 仅属于B和C的公共元素：-4.2，填在B、C交叠且不与A重叠的区域；
③ 仅属于A和C的公共元素：218，填在A、C交叠且不与B重叠的区域；
④ 仅属于A和B的公共元素：-1，填在A、B交叠且不与C重叠的区域；
⑤ A独有的元素：3.1、-4，填在A的不重叠区域；
⑥ B独有的元素：$10、-\frac{1}{8}$，填在B的不重叠区域；
⑦ C独有的元素：8，填在C的不重叠区域。
填入后即得对应图示。
(2) 逐一排查三个集合中的负数：A中的-1、-4，B中的-4.2、$-\frac{1}{8}$，所有负数为$-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$。
(3) 筛选正分数：大于0的分数（含有限小数），3.1、2.1都是正的有限小数，属于正分数，其余正数都是正整数，不符合要求，故正分数为3.1,2.1。
(4) 对比三个集合的元素，发现2.1同时出现在A、B、C三个集合中，因此有同时属于三个集合的数，是2.1。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$
(3) $3.1,2.1$
(4) 有，$2.1$
【知识点】
有理数的分类；集合的交集；韦恩图的应用
【点评】
本题结合韦恩图考查有理数的相关基础概念，解题的核心是准确把握负数、正分数的定义，同时明确集合公共元素的判断方法，难度较低，侧重对基础概念的辨析考查。
【难度系数】
0.8
解题时按小问逐步思考：
1. 第(1)问填韦恩图：首先明确韦恩图不同区域的含义，最中间的重叠区域是同时属于A、B、C三个集合的元素，两两交叠但不包含第三个集合的区域是对应两个集合共有的独有公共元素，剩下的不重叠区域是每个集合独有的元素，先梳理出各区域对应的数再填入即可。
2. 第(2)问找负数：负数是小于0的数，依次列出三个集合中所有小于0的数，注意不要遗漏、不要重复。
3. 第(3)问找正分数：正分数首先满足是正数（大于0），其次属于分数范畴，有限小数、无限循环小数都属于分数，据此筛选即可。
4. 第(4)问找同时属于三个集合的数：只需找三个集合都包含的公共元素即可。
【解析】
(1) 先梳理各区域对应元素：
① 同时属于A、B、C的数：2.1，填在三个圆的公共重叠区；
② 仅属于B和C的公共元素：-4.2，填在B、C交叠且不与A重叠的区域；
③ 仅属于A和C的公共元素：218，填在A、C交叠且不与B重叠的区域；
④ 仅属于A和B的公共元素：-1，填在A、B交叠且不与C重叠的区域；
⑤ A独有的元素：3.1、-4，填在A的不重叠区域；
⑥ B独有的元素：$10、-\frac{1}{8}$，填在B的不重叠区域；
⑦ C独有的元素：8，填在C的不重叠区域。
填入后即得对应图示。
(2) 逐一排查三个集合中的负数：A中的-1、-4，B中的-4.2、$-\frac{1}{8}$，所有负数为$-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$。
(3) 筛选正分数：大于0的分数（含有限小数），3.1、2.1都是正的有限小数，属于正分数，其余正数都是正整数，不符合要求，故正分数为3.1,2.1。
(4) 对比三个集合的元素，发现2.1同时出现在A、B、C三个集合中，因此有同时属于三个集合的数，是2.1。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $-1,-4,-4.2,-\frac{1}{8}$
(3) $3.1,2.1$
(4) 有，$2.1$
【知识点】
有理数的分类；集合的交集；韦恩图的应用
【点评】
本题结合韦恩图考查有理数的相关基础概念，解题的核心是准确把握负数、正分数的定义，同时明确集合公共元素的判断方法，难度较低，侧重对基础概念的辨析考查。
【难度系数】
0.8
15 在某班举行的“数学晚会”上，A，B，C，D，E五名同学的手上各拿着一张卡片，卡片上分别写着$2,-\frac{1}{2},0,-3,\frac{1}{6}$. 主持人按照卡片上的这些数的特征，将这五名同学分成两组或者三组来表演节目（每组人数不限）. 如果让你来分，那么你会如何分组呢？
答案
15. 答案不唯一，如按正数、非正数分成两组，分别是$2,\frac{1}{6}$和$-\frac{1}{2},0,-3$
解析
【分析】
这是一道关于有理数分类的开放性题目，解题时首先要确定统一的分类标准，有理数常见的分类标准有：按正负性分为正数、0、负数；按数的类型分为整数、分数等。只要选定合理的分类标准，将5个数按照标准不重复、不遗漏地分到各组即可，分组方式不唯一，我们可以选择最基础的正负性分类，比如按正数和非正数分为两组来解答。
【解析】
首先明确分类标准：按数的正负性分为正数、非正数两类。
根据定义，大于0的数是正数，逐个判断给出的数：
$2＞0$，$\frac{1}{6}＞0$，因此$2$、$\frac{1}{6}$属于正数组；
小于等于0的数是非正数，逐个判断：$-\frac{1}{2}＜0$，$0=0$，$-3＜0$，因此$-\frac{1}{2}$、$0$、$-3$属于非正数组。
除此之外也可选择其他分类标准，比如按整数、分数分为两组，或按正数、负数、0分为三组，只要分类标准统一、分组不重不漏均符合要求。
【答案】
答案不唯一，如按正数、非正数分成两组，分别是$2,\frac{1}{6}$和$-\frac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类，正负数的识别
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对有理数分类规则的理解，只要分类标准统一，分组时做到不重复、不遗漏，都是合理答案，有助于锻炼多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.9
这是一道关于有理数分类的开放性题目，解题时首先要确定统一的分类标准，有理数常见的分类标准有：按正负性分为正数、0、负数；按数的类型分为整数、分数等。只要选定合理的分类标准，将5个数按照标准不重复、不遗漏地分到各组即可，分组方式不唯一，我们可以选择最基础的正负性分类，比如按正数和非正数分为两组来解答。
【解析】
首先明确分类标准：按数的正负性分为正数、非正数两类。
根据定义，大于0的数是正数，逐个判断给出的数：
$2＞0$，$\frac{1}{6}＞0$，因此$2$、$\frac{1}{6}$属于正数组；
小于等于0的数是非正数，逐个判断：$-\frac{1}{2}＜0$，$0=0$，$-3＜0$，因此$-\frac{1}{2}$、$0$、$-3$属于非正数组。
除此之外也可选择其他分类标准，比如按整数、分数分为两组，或按正数、负数、0分为三组，只要分类标准统一、分组不重不漏均符合要求。
【答案】
答案不唯一，如按正数、非正数分成两组，分别是$2,\frac{1}{6}$和$-\frac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类，正负数的识别
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对有理数分类规则的理解，只要分类标准统一，分组时做到不重复、不遗漏，都是合理答案，有助于锻炼多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.9
16 将一串有理数按如图所示的规律排列，解答下列问题：
（1）在A位置上的数是正数还是负数？
（2）A，B，C，D中哪些位置上的数是负数？
（3）第2026个数是正数还是负数？对应A，B，C，D中的哪个位置？
（1）在A位置上的数是正数还是负数？
（2）A，B，C，D中哪些位置上的数是负数？
（3）第2026个数是正数还是负数？对应A，B，C，D中的哪个位置？
答案
16. (1) 在A位置上的数是正数
(2) 在B和D位置上的数是负数
(3) 因为$2026÷4=506······2$，所以第2026个数是正数，对应C位置
(2) 在B和D位置上的数是负数
(3) 因为$2026÷4=506······2$，所以第2026个数是正数，对应C位置
解析
【分析】
解决本题首先观察排列的数字特征：①数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数为负、偶数为正；②位置每4个数为一个循环周期，先对应已知数与A、B、C、D的位置关系：A对应4、8…（4的倍数），B对应-5、-9…（除以4余1），C对应2、6…（除以4余2），D对应-3、-7…（除以4余3）。再根据规律依次解答三个问题，第三问通过带余除法判断2026对应的余数，即可确定符号和位置。
【解析】
（1）观察A位置的数：4、8…均为正数，因此A位置上的数是正数。
（2）逐一对比四个位置的数的符号：A位置是正数，B位置是-5、-9…为负数，C位置是2、6…为正数，D位置是-3、-7…为负数，因此B和D位置上的数是负数。
（3）数的符号规律：第n个数，若n是偶数则为正数，n是奇数则为负数；位置周期为4，n除以4的余数对应位置：余数为0对应A，余数为1对应B，余数为2对应C，余数为3对应D。
计算得$2026÷4=506······2$，2026是偶数，所以是正数；余数为2，对应C位置。
【答案】
(1) 在A位置上的数是正数
(2) 在B和D位置上的数是负数
(3) 第2026个数是正数，对应C位置
【知识点】
有理数正负判断，规律探究，带余除法应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察已知数的特征归纳出符号规律和位置周期规律，结合除法的余数即可快速求解，能有效锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先观察排列的数字特征：①数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数为负、偶数为正；②位置每4个数为一个循环周期，先对应已知数与A、B、C、D的位置关系：A对应4、8…（4的倍数），B对应-5、-9…（除以4余1），C对应2、6…（除以4余2），D对应-3、-7…（除以4余3）。再根据规律依次解答三个问题，第三问通过带余除法判断2026对应的余数，即可确定符号和位置。
【解析】
（1）观察A位置的数：4、8…均为正数，因此A位置上的数是正数。
（2）逐一对比四个位置的数的符号：A位置是正数，B位置是-5、-9…为负数，C位置是2、6…为正数，D位置是-3、-7…为负数，因此B和D位置上的数是负数。
（3）数的符号规律：第n个数，若n是偶数则为正数，n是奇数则为负数；位置周期为4，n除以4的余数对应位置：余数为0对应A，余数为1对应B，余数为2对应C，余数为3对应D。
计算得$2026÷4=506······2$，2026是偶数，所以是正数；余数为2，对应C位置。
【答案】
(1) 在A位置上的数是正数
(2) 在B和D位置上的数是负数
(3) 第2026个数是正数，对应C位置
【知识点】
有理数正负判断，规律探究，带余除法应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察已知数的特征归纳出符号规律和位置周期规律，结合除法的余数即可快速求解，能有效锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
