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1.下列说法错误的是(
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
B
).A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需要逐一结合圆中弦、等弧、等圆的定义判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。解题时首先要回忆各个概念的完整定义，尤其注意概念中的限制条件，避免因遗漏条件出现判断失误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，圆内任意非直径的弦长度都小于直径，因此直径是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意。
B选项：等弧的定义是能够完全重合的两条弧，仅长度相等不足以判定两条弧是等弧，例如半径不同的两个圆中，即使弧的长度计算值相等，也无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意。
C选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径相等，半径相等的两个圆是等圆，该说法正确，不符合题意。
D选项：半径相等的两个半圆，对应的圆心角均为$180°$，半径也相等，能够完全重合，因此是等弧，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念；等弧的判定；等圆的判定
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，易错点是容易忽略等弧“能够完全重合”的前提，误将长度相等的弧判定为等弧。学习相关概念时要准确掌握其完整内涵，牢记限制条件，避免概念理解片面。
【难度系数】
0.7
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需要逐一结合圆中弦、等弧、等圆的定义判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。解题时首先要回忆各个概念的完整定义，尤其注意概念中的限制条件，避免因遗漏条件出现判断失误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，圆内任意非直径的弦长度都小于直径，因此直径是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意。
B选项：等弧的定义是能够完全重合的两条弧，仅长度相等不足以判定两条弧是等弧，例如半径不同的两个圆中，即使弧的长度计算值相等，也无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意。
C选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径相等，半径相等的两个圆是等圆，该说法正确，不符合题意。
D选项：半径相等的两个半圆，对应的圆心角均为$180°$，半径也相等，能够完全重合，因此是等弧，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念；等弧的判定；等圆的判定
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，易错点是容易忽略等弧“能够完全重合”的前提，误将长度相等的弧判定为等弧。学习相关概念时要准确掌握其完整内涵，牢记限制条件，避免概念理解片面。
【难度系数】
0.7
2.三角形的外心是(
A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
C
).A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查三角形外心的定义，解题时需先回忆三角形各类特殊交点对应的线段类型，逐一辨析每个选项对应的点的属性，再匹配外心的定义即可选出正确答案。外心是三角形外接圆的圆心，核心特征是到三个顶点的距离相等，结合线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可推导外心是三边垂直平分线的交点，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 三边上的高线的交点是三角形的垂心，不符合外心的定义，排除；
B. 三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合外心定义，排除；
C. 三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意；
D. 三个内角平分线的交点是三角形的内心，是内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，不符合外心定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心定义，三角形特殊交点辨析，垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形各类特殊交点的定义区分，只要熟记各特殊点对应的线段交点特征就能快速得分，是三角形相关性质的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外心的定义，解题时需先回忆三角形各类特殊交点对应的线段类型，逐一辨析每个选项对应的点的属性，再匹配外心的定义即可选出正确答案。外心是三角形外接圆的圆心，核心特征是到三个顶点的距离相等，结合线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可推导外心是三边垂直平分线的交点，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 三边上的高线的交点是三角形的垂心，不符合外心的定义，排除；
B. 三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合外心定义，排除；
C. 三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意；
D. 三个内角平分线的交点是三角形的内心，是内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，不符合外心定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心定义，三角形特殊交点辨析，垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形各类特殊交点的定义区分，只要熟记各特殊点对应的线段交点特征就能快速得分，是三角形相关性质的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
3.如图,已知在$\odot O$中,BC是直径,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$,则下列结论不一定成立的是(
A.$∠ AOB=∠ COD$
B.$OA=OB=AB$
C.$AB=CD$
D.O到AB,CD的距离相等
B
).A.$∠ AOB=∠ COD$
B.$OA=OB=AB$
C.$AB=CD$
D.O到AB,CD的距离相等
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先回忆同圆中弧、圆心角、弦、弦心距的对应关系：同圆或等圆中，若一组量相等，则其余对应的三组量也相等。我们可以结合这个性质逐个分析选项，判断每个结论是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 对于选项A：已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，该结论一定成立；
2. 对于选项C：根据同圆中等弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，该结论一定成立；
3. 对于选项D：由$AB=CD$，且$OA=OB=OC=OD$（都是圆的半径），可得$△ AOB≌△ DOC$（SSS），因此两个三角形对应边上的高相等，即圆心$O$到$AB$、$CD$的距离相等，该结论一定成立；
4. 对于选项B：$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，但仅当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$是等边三角形，才有$OA=OB=AB$，题目未给出$∠ AOB=60°$的条件，因此该结论不一定成立。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系、弦心距的性质、等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，核心考查同圆中弧、弦、圆心角、弦心距的等量转换规律，解题时需注意不要默认由两条半径和一条弦组成的三角形为等边三角形，需结合题目给定的条件判断。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆同圆中弧、圆心角、弦、弦心距的对应关系：同圆或等圆中，若一组量相等，则其余对应的三组量也相等。我们可以结合这个性质逐个分析选项，判断每个结论是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 对于选项A：已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，该结论一定成立；
2. 对于选项C：根据同圆中等弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，该结论一定成立；
3. 对于选项D：由$AB=CD$，且$OA=OB=OC=OD$（都是圆的半径），可得$△ AOB≌△ DOC$（SSS），因此两个三角形对应边上的高相等，即圆心$O$到$AB$、$CD$的距离相等，该结论一定成立；
4. 对于选项B：$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，但仅当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$是等边三角形，才有$OA=OB=AB$，题目未给出$∠ AOB=60°$的条件，因此该结论不一定成立。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系、弦心距的性质、等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，核心考查同圆中弧、弦、圆心角、弦心距的等量转换规律，解题时需注意不要默认由两条半径和一条弦组成的三角形为等边三角形，需结合题目给定的条件判断。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ BOC=110°$，$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数为
$40°$
。答案
4.$40°$
解析
【分析】
解题时先从平角性质入手：AB是⊙O的直径，因此∠AOB为180°，已知∠BOC的度数，可先求出∠AOC的度数；再结合AD//OC的条件，利用平行线内错角相等的性质得到∠OAD的度数；最后根据圆的半径相等可知△OAD为等腰三角形，两底角相等，结合三角形内角和即可求出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，即$∠ AOC + ∠ BOC=180°$。
已知$∠ BOC=110°$，因此$∠ AOC=180° - 110°=70°$。
2. 因为$AD// OC$，根据两直线平行、内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
3. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$是等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180° - ∠ OAD - ∠ ODA=180° -70° -70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，综合考查了基础几何图形的角度计算性质，解题的关键是先推导得到∠AOC的度数，再结合平行线、等腰三角形的性质逐步计算所求角度，整体推导逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先从平角性质入手：AB是⊙O的直径，因此∠AOB为180°，已知∠BOC的度数，可先求出∠AOC的度数；再结合AD//OC的条件，利用平行线内错角相等的性质得到∠OAD的度数；最后根据圆的半径相等可知△OAD为等腰三角形，两底角相等，结合三角形内角和即可求出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，即$∠ AOC + ∠ BOC=180°$。
已知$∠ BOC=110°$，因此$∠ AOC=180° - 110°=70°$。
2. 因为$AD// OC$，根据两直线平行、内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
3. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$是等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180° - ∠ OAD - ∠ ODA=180° -70° -70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，综合考查了基础几何图形的角度计算性质，解题的关键是先推导得到∠AOC的度数，再结合平行线、等腰三角形的性质逐步计算所求角度，整体推导逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
5.在矩形ABCD中，AB=8，AD=6.以点A为圆心，r为半径作$\odot A$，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是
$6＜r＜10$
。答案
5.$6＜r＜10$
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；点到圆心的距离大于半径时，点在圆外。我们需要先求出点A到D、点A到C的距离，再结合题目给出的点D在圆内、点C在圆外的条件，即可确定半径r的取值范围。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD=AB=8，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵点D在⊙A内，
∴r＞AD，即r＞6，
∵点C在⊙A外，
∴r＜AC，即r＜10，
综上，半径r的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
$6＜r＜10$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础类题型，核心是结合几何图形性质计算关键点到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系列不等式求解，掌握点和圆位置关系的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；点到圆心的距离大于半径时，点在圆外。我们需要先求出点A到D、点A到C的距离，再结合题目给出的点D在圆内、点C在圆外的条件，即可确定半径r的取值范围。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD=AB=8，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵点D在⊙A内，
∴r＞AD，即r＞6，
∵点C在⊙A外，
∴r＜AC，即r＜10，
综上，半径r的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
$6＜r＜10$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础类题型，核心是结合几何图形性质计算关键点到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系列不等式求解，掌握点和圆位置关系的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知圆弧上三点A,B,C.
(1)画出该弧所在圆的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该弧所在圆的半径.
(1)画出该弧所在圆的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该弧所在圆的半径.
答案
6.(1)分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心.
(2)连接OA,OB,BC,BC交OA于点D.
$\because AB=AC,\therefore OA$垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm},\therefore BD=8\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=6\ \mathrm{cm}$,设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中,$OD=(R-6)\ \mathrm{cm},\therefore R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\dfrac{25}{3}$，
圆片的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$.
(2)连接OA,OB,BC,BC交OA于点D.
$\because AB=AC,\therefore OA$垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm},\therefore BD=8\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=6\ \mathrm{cm}$,设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中,$OD=(R-6)\ \mathrm{cm},\therefore R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\dfrac{25}{3}$，
圆片的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要确定圆弧所在圆的圆心，依据圆的性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需作出圆弧上任意两条弦的垂直平分线，二者的交点就是圆心。
(2) 求圆的半径时，先结合等腰三角形的性质和垂径定理，得到半径OA垂直平分BC，先在小直角三角形中算出AD的长度，再设半径为R，用R表示出OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径。
【解析】
(1) 分别作弦AB和弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心。
(2) 连接OA、OB、BC，设BC与OA交于点D。
$\because AB=AC$，$\therefore$ 弧AB=弧AC，根据垂径定理可得OA垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$，
设该圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OB=R\ \mathrm{cm}$，$OD=OA-AD=(R-6)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得$R^2=8^2+(R-6)^2$，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心；
(2) 该弧所在圆的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题关键是熟练掌握垂径定理，能结合等腰三角形的性质构造直角三角形，学会用方程思想求解几何中的未知量。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定圆弧所在圆的圆心，依据圆的性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需作出圆弧上任意两条弦的垂直平分线，二者的交点就是圆心。
(2) 求圆的半径时，先结合等腰三角形的性质和垂径定理，得到半径OA垂直平分BC，先在小直角三角形中算出AD的长度，再设半径为R，用R表示出OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径。
【解析】
(1) 分别作弦AB和弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心。
(2) 连接OA、OB、BC，设BC与OA交于点D。
$\because AB=AC$，$\therefore$ 弧AB=弧AC，根据垂径定理可得OA垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$，
设该圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OB=R\ \mathrm{cm}$，$OD=OA-AD=(R-6)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得：$OB^2=BD^2+OD^2$，
代入得$R^2=8^2+(R-6)^2$，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心；
(2) 该弧所在圆的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题关键是熟练掌握垂径定理，能结合等腰三角形的性质构造直角三角形，学会用方程思想求解几何中的未知量。
【难度系数】
0.7
