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1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图象如图所示，下列说法正确的是(
A.$abc＞0$
B.$a-b+c＞0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小
D
).A.$abc＞0$
B.$a-b+c＞0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
1.D
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断题，首先要从图象中提取关键信息：开口方向、与坐标轴的交点位置、对称轴范围等，再结合二次函数的性质逐个分析选项：
1. 先根据开口方向确定a的符号，结合对称轴位置确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，即可判断A选项；
2. 明确a-b+c是x=-1时的函数值，对照图象x=-1处的y值即可判断B选项；
3. 根据图象与x轴的交点个数判断判别式的符号，即可判断C选项；
4. 先求对称轴的取值范围，结合开口方向判断函数的增减性，即可判断D选项。
【解析】
首先从图象提取已知信息：
① 抛物线开口向下，故$a＜0$；
② 抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；
③ 抛物线与x轴有两个交点，一个在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，另一个在$(3,0)$和$(4,0)$之间，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，对称轴$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，可得$x_0\in(1,2)$。
逐个分析选项：
选项A：对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$，因此$abc=a(\mathrm{负})× b(\mathrm{正})× c(\mathrm{正})＜0$，A错误；
选项B：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，B错误；
选项C：抛物线与x轴有两个交点，故判别式$b^2-4ac＞0$，C错误；
选项D：抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，已知对称轴$x_0\in(1,2)$，因此$x＞2$时，$x$一定在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数判别式，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心是结合图象提取有效信息，再对应二次函数的性质进行判断，需要熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系、增减性、判别式等知识点。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断题，首先要从图象中提取关键信息：开口方向、与坐标轴的交点位置、对称轴范围等，再结合二次函数的性质逐个分析选项：
1. 先根据开口方向确定a的符号，结合对称轴位置确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，即可判断A选项；
2. 明确a-b+c是x=-1时的函数值，对照图象x=-1处的y值即可判断B选项；
3. 根据图象与x轴的交点个数判断判别式的符号，即可判断C选项；
4. 先求对称轴的取值范围，结合开口方向判断函数的增减性，即可判断D选项。
【解析】
首先从图象提取已知信息：
① 抛物线开口向下，故$a＜0$；
② 抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；
③ 抛物线与x轴有两个交点，一个在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，另一个在$(3,0)$和$(4,0)$之间，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，对称轴$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，可得$x_0\in(1,2)$。
逐个分析选项：
选项A：对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$，因此$abc=a(\mathrm{负})× b(\mathrm{正})× c(\mathrm{正})＜0$，A错误；
选项B：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，B错误；
选项C：抛物线与x轴有两个交点，故判别式$b^2-4ac＞0$，C错误；
选项D：抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，已知对称轴$x_0\in(1,2)$，因此$x＞2$时，$x$一定在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数判别式，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心是结合图象提取有效信息，再对应二次函数的性质进行判断，需要熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系、增减性、判别式等知识点。
【难度系数】
0.7
2.二次函数$y=x^2-3x-1$的图象如图所示，下列表述正确的是(
A.抛物线的对称轴为$y$轴
B.当$x＞\frac{5}{4}$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.一元二次方程$x^2-3x-1=0$的两个根均为正数
D.抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{13}{4})$
D
).A.抛物线的对称轴为$y$轴
B.当$x＞\frac{5}{4}$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.一元二次方程$x^2-3x-1=0$的两个根均为正数
D.抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{13}{4})$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先明确二次函数各项系数，再结合二次函数对称轴、增减性、根的性质、顶点坐标的相关知识点，逐一分析各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-3x-1$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得对称轴为$x=\frac{3}{2}$，不是$y$轴（$x=0$），故A错误。
2. 分析选项B：$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即$x＞\frac{3}{2}$时$y$随$x$增大而增大，$\frac{5}{4}=1.25＜\frac{3}{2}=1.5$，故B错误。
3. 分析选项C：对于一元二次方程$x^2-3x-1=0$，由韦达定理可知两根之积为$\frac{c}{a}=-1＜0$，说明两根异号，即一个正根一个负根，故C错误。
4. 分析选项D：顶点纵坐标可代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，代入得$\frac{4×1×(-1)-(-3)^2}{4×1}=\frac{-4-9}{4}=-\frac{13}{4}$，横坐标为$\frac{3}{2}$，即顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{13}{4})$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，抛物线顶点坐标，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础考点，需要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算公式，能结合开口方向判断函数增减性，也可结合图象或韦达定理判断对应一元二次方程根的正负，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先明确二次函数各项系数，再结合二次函数对称轴、增减性、根的性质、顶点坐标的相关知识点，逐一分析各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-3x-1$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得对称轴为$x=\frac{3}{2}$，不是$y$轴（$x=0$），故A错误。
2. 分析选项B：$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即$x＞\frac{3}{2}$时$y$随$x$增大而增大，$\frac{5}{4}=1.25＜\frac{3}{2}=1.5$，故B错误。
3. 分析选项C：对于一元二次方程$x^2-3x-1=0$，由韦达定理可知两根之积为$\frac{c}{a}=-1＜0$，说明两根异号，即一个正根一个负根，故C错误。
4. 分析选项D：顶点纵坐标可代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，代入得$\frac{4×1×(-1)-(-3)^2}{4×1}=\frac{-4-9}{4}=-\frac{13}{4}$，横坐标为$\frac{3}{2}$，即顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{13}{4})$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，抛物线顶点坐标，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础考点，需要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算公式，能结合开口方向判断函数增减性，也可结合图象或韦达定理判断对应一元二次方程根的正负，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3.已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为
$x_1=3,x_2=-1$
。答案
3.$x_1=3,x_2=-1$
解析
【分析】
解题思路：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。抛物线是轴对称图形，与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，因此可以结合已知的一个交点坐标，利用对称轴的性质求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，
∴ 抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=1$对称。
已知抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，
根据对称点的性质：两个对称点的横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即$\frac{3+x_2}{2}=1$，
解得$x_2=2×1 - 3=-1$。
∴ 关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是掌握抛物线与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。抛物线是轴对称图形，与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，因此可以结合已知的一个交点坐标，利用对称轴的性质求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，
∴ 抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=1$对称。
已知抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，
根据对称点的性质：两个对称点的横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即$\frac{3+x_2}{2}=1$，
解得$x_2=2×1 - 3=-1$。
∴ 关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是掌握抛物线与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8
4.抛物线$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=2$，若该抛物线与$x$轴的一个交点为$(5,0)$，则由图象可知，当$y＞0$时，$x$的取值范围是
$-1＜x＜5$
。答案
4.$-1＜x＜5$ 【提示】依据题意,由抛物线的对称轴是直线$x=2$,且与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$,利用对称性可得另一个交点的坐标为$(-1,0)$,结合抛物线$y=ax^2+bx+c$的开口向下,进而可得$y＞0$时,$x$的取值范围是$-1＜x＜5$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数的对称性分析求解。首先明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此可以结合已知的一个交点坐标和对称轴，求出另一个与x轴的交点坐标；再根据抛物线的开口方向，判断y＞0对应的是x轴上方的图像部分，即可得到对应的x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=2$，且抛物线与$x$轴的一个交点为$(5,0)$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称轴的性质可得：$\frac{x+5}{2}=2$，
解得$x=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
由图像可知抛物线开口向下，当$y＞0$时，函数图像位于x轴上方，对应x的取值在两个交点之间，
因此$x$的取值范围是$-1＜x＜5$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，重点考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的对称特征，能够结合图像判断函数值的符号对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是利用二次函数的对称性分析求解。首先明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此可以结合已知的一个交点坐标和对称轴，求出另一个与x轴的交点坐标；再根据抛物线的开口方向，判断y＞0对应的是x轴上方的图像部分，即可得到对应的x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=2$，且抛物线与$x$轴的一个交点为$(5,0)$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称轴的性质可得：$\frac{x+5}{2}=2$，
解得$x=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
由图像可知抛物线开口向下，当$y＞0$时，函数图像位于x轴上方，对应x的取值在两个交点之间，
因此$x$的取值范围是$-1＜x＜5$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，重点考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的对称特征，能够结合图像判断函数值的符号对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.75
5.已知抛物线$y=-x^2+4x+m-1$.
(1)若该抛物线与$x$轴有交点,求实数$m$的取值范围.
(2)当$m=6$时,若该抛物线与$x$轴交于点$A$和点$B$(点$A$在点$B$的左侧).
①求$A,B$两点的坐标;
②若该抛物线的顶点为$D$,且与$y$轴的交点为$C$,试判断$△ BCD$是否是直角三角形,并说明理由.
(1)若该抛物线与$x$轴有交点,求实数$m$的取值范围.
(2)当$m=6$时,若该抛物线与$x$轴交于点$A$和点$B$(点$A$在点$B$的左侧).
①求$A,B$两点的坐标;
②若该抛物线的顶点为$D$,且与$y$轴的交点为$C$,试判断$△ BCD$是否是直角三角形,并说明理由.
答案
5.【解】(1)$\because$该抛物线与$x$轴有交点,
$\therefore -x^2+4x+m-1=0$有实数根.
$\therefore \Delta=4^2-4×(-1)×(m-1)≥0$. 解得$m≥-3$.
(2)当$m=6$时,$y=-x^2+4x+5$.
①令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$.
解得$x_1=-1$,$x_2=5$.
$\because$点$A$在点$B$的左侧,
$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,点$A$的坐标为$(-1,0)$.
②$△ BCD$不是直角三角形. 理由如下:
当$x=0$时,$y=5$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,5)$.
$\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(2,9)$.
$\because BD^2=(5-2)^2+(0-9)^2=90$,$BC^2=(0-5)^2+(5-0)^2=50$,$CD^2=(0-2)^2+(5-9)^2=20$,
$\therefore BC^2+CD^2≠ BD^2$.
$\therefore△ BCD$不是直角三角形.
$\therefore -x^2+4x+m-1=0$有实数根.
$\therefore \Delta=4^2-4×(-1)×(m-1)≥0$. 解得$m≥-3$.
(2)当$m=6$时,$y=-x^2+4x+5$.
①令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$.
解得$x_1=-1$,$x_2=5$.
$\because$点$A$在点$B$的左侧,
$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,点$A$的坐标为$(-1,0)$.
②$△ BCD$不是直角三角形. 理由如下:
当$x=0$时,$y=5$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,5)$.
$\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(2,9)$.
$\because BD^2=(5-2)^2+(0-9)^2=90$,$BC^2=(0-5)^2+(5-0)^2=50$,$CD^2=(0-2)^2+(5-9)^2=20$,
$\therefore BC^2+CD^2≠ BD^2$.
$\therefore△ BCD$不是直角三角形.
解析
【分析】
(1)抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此可通过判别式Δ≥0建立关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
(2)①当m=6时，先写出对应的抛物线解析式，令y=0解一元二次方程，结合点A在点B左侧的条件，即可确定A、B的坐标。
②要判断△BCD是否为直角三角形，先求出C、D两点的坐标，再利用勾股定理分别计算出三边长度的平方，最后用勾股定理的逆定理验证是否存在两边平方和等于第三边的平方即可。
【解析】
(1)
∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程$-x^2+4x+m-1=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = 4^2 - 4×(-1)×(m-1) ≥ 0$，
即$16 + 4(m-1) ≥ 0$，解得$m≥ -3$。
(2)当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-x^2+4x+5$。
①令$y=0$，得$-x^2+4x+5=0$，
因式分解得$-(x+1)(x-5)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∵点A在点B左侧，
∴A点坐标为$(-1,0)$，B点坐标为$(5,0)$。
②△BCD不是直角三角形，理由如下：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=5$，
∴C点坐标为$(0,5)$，
将抛物线解析式化为顶点式：$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，
∴顶点D坐标为$(2,9)$，
由两点间距离公式计算三边平方：
$BD^2=(5-2)^2+(0-9)^2=3^2+(-9)^2=9+81=90$，
$BC^2=(0-5)^2+(5-0)^2=(-5)^2+5^2=25+25=50$，
$CD^2=(0-2)^2+(5-9)^2=(-2)^2+(-4)^2=4+16=20$，
∵$50+20=70≠90$，即$BC^2+CD^2≠BD^2$，且不存在其他两边平方和等于第三边平方的情况，
∴△BCD不是直角三角形。
【答案】
(1)$m≥ -3$；
(2)①$A(-1,0)$，$B(5,0)$；②$△ BCD$不是直角三角形。
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程判别式、勾股定理逆定理
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，将二次函数与一元二次方程、三角形形状判定结合考查，解题的核心是掌握函数图象交点与方程根的对应关系，以及用勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
(1)抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此可通过判别式Δ≥0建立关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
(2)①当m=6时，先写出对应的抛物线解析式，令y=0解一元二次方程，结合点A在点B左侧的条件，即可确定A、B的坐标。
②要判断△BCD是否为直角三角形，先求出C、D两点的坐标，再利用勾股定理分别计算出三边长度的平方，最后用勾股定理的逆定理验证是否存在两边平方和等于第三边的平方即可。
【解析】
(1)
∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程$-x^2+4x+m-1=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = 4^2 - 4×(-1)×(m-1) ≥ 0$，
即$16 + 4(m-1) ≥ 0$，解得$m≥ -3$。
(2)当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-x^2+4x+5$。
①令$y=0$，得$-x^2+4x+5=0$，
因式分解得$-(x+1)(x-5)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
∵点A在点B左侧，
∴A点坐标为$(-1,0)$，B点坐标为$(5,0)$。
②△BCD不是直角三角形，理由如下：
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=5$，
∴C点坐标为$(0,5)$，
将抛物线解析式化为顶点式：$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，
∴顶点D坐标为$(2,9)$，
由两点间距离公式计算三边平方：
$BD^2=(5-2)^2+(0-9)^2=3^2+(-9)^2=9+81=90$，
$BC^2=(0-5)^2+(5-0)^2=(-5)^2+5^2=25+25=50$，
$CD^2=(0-2)^2+(5-9)^2=(-2)^2+(-4)^2=4+16=20$，
∵$50+20=70≠90$，即$BC^2+CD^2≠BD^2$，且不存在其他两边平方和等于第三边平方的情况，
∴△BCD不是直角三角形。
【答案】
(1)$m≥ -3$；
(2)①$A(-1,0)$，$B(5,0)$；②$△ BCD$不是直角三角形。
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程判别式、勾股定理逆定理
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，将二次函数与一元二次方程、三角形形状判定结合考查，解题的核心是掌握函数图象交点与方程根的对应关系，以及用勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
