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生活中的优化问题
现实生活中，我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题.从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值的问题常常被称为优化问题.排队购餐是校园生活中常见的场景，数学小组针对“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”展开探究，旨在为学校提供既能缩短学生排队时间，又能节省开支的优化方案.
任务一:收集数据
1.食堂平均每个窗口每分钟可以服务多少学生.
2.食堂用餐人数$y$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)的对应数据.
任务二:构建模型
1.通过计算找到食堂用餐人数$y$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)近似符合哪个函数模型.
2.通过计算找到排队人数$w$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)近似符合哪个函数模型.
任务三:合理化建议
同时满足以下两个要求:(1)排队学生在食堂开放窗口10分钟(含10分钟)后减少；(2)尽量少安排窗口，以节省开支.
任务四:成果展示
1.小组在班级内汇报研究报告的主要内容，并对实施过程、研究结果进行交流和评价.
2.通过交流和反思，进一步修改完善本组的研究报告，形成本小组最终的研究报告.
附:研究报告参考
报告主题
年级班组 报告时间:
现实生活中，我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题.从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大（小）值的问题常常被称为优化问题.排队购餐是校园生活中常见的场景，数学小组针对“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”展开探究，旨在为学校提供既能缩短学生排队时间，又能节省开支的优化方案.
任务一:收集数据
1.食堂平均每个窗口每分钟可以服务多少学生.
2.食堂用餐人数$y$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)的对应数据.
任务二:构建模型
1.通过计算找到食堂用餐人数$y$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)近似符合哪个函数模型.
2.通过计算找到排队人数$w$(单位:人)与开放窗口时间$x$(单位:分钟)近似符合哪个函数模型.
任务三:合理化建议
同时满足以下两个要求:(1)排队学生在食堂开放窗口10分钟(含10分钟)后减少；(2)尽量少安排窗口，以节省开支.
任务四:成果展示
1.小组在班级内汇报研究报告的主要内容，并对实施过程、研究结果进行交流和评价.
2.通过交流和反思，进一步修改完善本组的研究报告，形成本小组最终的研究报告.
附:研究报告参考
报告主题
年级班组 报告时间:
答案
开放性试题答案略.
解析
【分析】
这是一道结合校园生活实际的综合实践类优化问题，解题思路可按照任务要求逐步推进：首先要先完成数据采集，获得基础的窗口服务效率、不同开放时间对应的就餐人数数据；再利用九年级所学的函数相关知识，通过散点图观察、待定系数法拟合的方式，找到就餐人数、排队人数对应的函数模型；最后根据“10分钟后排队人数减少、窗口数最少”的两个要求，结合函数的增减性求解符合要求的最小窗口数，即可得到优化方案。
【解析】
1. 数据收集阶段：可连续统计多日食堂用餐高峰时段的数据，①记录每个窗口每分钟完成打餐的学生人数，取平均值得到单个窗口每分钟服务人数k；②记录开放窗口x分钟时，累计进入食堂的总用餐人数y，收集多组(x,y)对应数据。
2. 模型构建阶段：将收集到的(x,y)数据绘制成散点图，观察散点分布特征，判断符合学过的一次函数/二次函数模型，用待定系数法拟合得到y关于x的函数解析式；排队人数w=累计就餐人数y-已服务人数，其中已服务人数=窗口数n×单个窗口每分钟服务人数k×开放时间x，代入y的解析式即可得到w关于x的函数模型。
3. 方案求解阶段：根据要求开放10分钟后排队人数减少，即x≥10时w随x的增大而减小：
若w为一次函数w=mx+b，则要求斜率m＜0，代入表达式解出n的取值范围，取最小正整数即为最少窗口数；
若w为二次函数，结合开口方向，要求对称轴在x=10左侧，解出n的取值范围，取最小正整数即为最少窗口数。
4. 最后按照要求整理形成研究报告即可。
【答案】
开放性试题，答案略。
【知识点】
函数模型拟合，优化问题求解，数据收集处理
【点评】
本题紧密结合校园生活实际，将数学知识与生活应用相结合，既考查了数据收集、函数建模的能力，也引导学生用所学知识解决实际问题，兼具实践性和应用性。
【难度系数】
0.6
这是一道结合校园生活实际的综合实践类优化问题，解题思路可按照任务要求逐步推进：首先要先完成数据采集，获得基础的窗口服务效率、不同开放时间对应的就餐人数数据；再利用九年级所学的函数相关知识，通过散点图观察、待定系数法拟合的方式，找到就餐人数、排队人数对应的函数模型；最后根据“10分钟后排队人数减少、窗口数最少”的两个要求，结合函数的增减性求解符合要求的最小窗口数，即可得到优化方案。
【解析】
1. 数据收集阶段：可连续统计多日食堂用餐高峰时段的数据，①记录每个窗口每分钟完成打餐的学生人数，取平均值得到单个窗口每分钟服务人数k；②记录开放窗口x分钟时，累计进入食堂的总用餐人数y，收集多组(x,y)对应数据。
2. 模型构建阶段：将收集到的(x,y)数据绘制成散点图，观察散点分布特征，判断符合学过的一次函数/二次函数模型，用待定系数法拟合得到y关于x的函数解析式；排队人数w=累计就餐人数y-已服务人数，其中已服务人数=窗口数n×单个窗口每分钟服务人数k×开放时间x，代入y的解析式即可得到w关于x的函数模型。
3. 方案求解阶段：根据要求开放10分钟后排队人数减少，即x≥10时w随x的增大而减小：
若w为一次函数w=mx+b，则要求斜率m＜0，代入表达式解出n的取值范围，取最小正整数即为最少窗口数；
若w为二次函数，结合开口方向，要求对称轴在x=10左侧，解出n的取值范围，取最小正整数即为最少窗口数。
4. 最后按照要求整理形成研究报告即可。
【答案】
开放性试题，答案略。
【知识点】
函数模型拟合，优化问题求解，数据收集处理
【点评】
本题紧密结合校园生活实际，将数学知识与生活应用相结合，既考查了数据收集、函数建模的能力，也引导学生用所学知识解决实际问题，兼具实践性和应用性。
【难度系数】
0.6
