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1. 中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜,根据有关资料显示,如图1,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式是 (
A.$y=\frac{1}{625}x^2 -100$
B.$y=-\frac{1}{625}x^2 -100$
C.$y=\frac{1}{625}x^2$
D.$y=-\frac{1}{625}x^2$
A
)A.$y=\frac{1}{625}x^2 -100$
B.$y=-\frac{1}{625}x^2 -100$
C.$y=\frac{1}{625}x^2$
D.$y=-\frac{1}{625}x^2$
答案
1.A
2. 如图
是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图
，已知其底部宽度AB为80米，离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为40米，则“门”的内侧的高度MN是
是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图，已知其底部宽度AB为80米，离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为40米，则“门”的内侧的高度MN是200
米.答案
2. 200 解析:以底部所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图
,∴ A(-40,0),B(40,0),
C(-20,150),D(20,150),
设内侧抛物线的解析式为y=a(x+40)·(x-40).
将D(20,150)的坐标代入,得150=(20+40)×(20-40)a,解得a=-$\frac{1}{8}$,
∴ 内侧抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+200$,
当x=0时,y=200,
∴ MN=200米.
3. 如图,某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成.矩形的长是12米,宽是3米,隧道的最大高度为6米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求出这条抛物线的函数解析式.
(2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米,宽为4米,那么这辆货车能否安全通过？
(1)求出这条抛物线的函数解析式.
(2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米,宽为4米,那么这辆货车能否安全通过？
答案
3. 解:(1)根据矩形的长为12米,宽为3米,可得M(12,0),N(0,3).
根据抛物线的对称性,可知P的横坐标为6,
结合隧道最大高度为6米,得P(6,6).
由顶点P(6,6),设这条抛物线的函数解析式为y=a(x-6)²+6.
将点N(0,3)的坐标代入y=a(x-6)²+6中,得a=-$\frac{1}{12}$,
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$,
整理成一般式为$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$.
(2)过隧道时,为了确保通过,货车应该沿着隧道的正中间行驶,
根据(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=6.
∵ 车的宽为4米,
∴ 货车最左侧边缘的点的横坐标为6-$\frac{4}{2}$=4.
当x=4时,$y=-\frac{1}{12}×4^2+4+3=\frac{17}{3}$.
∵ $\frac{17}{3}$＞5,
∴ 这辆货车能安全通过.
根据抛物线的对称性,可知P的横坐标为6,
结合隧道最大高度为6米,得P(6,6).
由顶点P(6,6),设这条抛物线的函数解析式为y=a(x-6)²+6.
将点N(0,3)的坐标代入y=a(x-6)²+6中,得a=-$\frac{1}{12}$,
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$,
整理成一般式为$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$.
(2)过隧道时,为了确保通过,货车应该沿着隧道的正中间行驶,
根据(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=6.
∵ 车的宽为4米,
∴ 货车最左侧边缘的点的横坐标为6-$\frac{4}{2}$=4.
当x=4时,$y=-\frac{1}{12}×4^2+4+3=\frac{17}{3}$.
∵ $\frac{17}{3}$＞5,
∴ 这辆货车能安全通过.
4. [跨学科·物理]根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是$h=-5t^2 +20t$,当飞行时间t为
2
s时,小球达到最高点.答案
4. 2
5. 如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线$y=-0.2x^2+x+2.25$运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m,则他距篮筐中心的水平距离OH是
4
m. 答案
5. 4
6. 足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线. 当球飞行的水平距离为6米时,球达到最高点,此时球离地面3米. 现以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)已知球门OB高2.44米,通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(3)已知点C为OB上一点,OC=2.25米,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,当球员带球向正后方移动n米再射门时,足球恰好经过OC区域(含点O和C),求n的取值范围.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)已知球门OB高2.44米,通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(3)已知点C为OB上一点,OC=2.25米,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,当球员带球向正后方移动n米再射门时,足球恰好经过OC区域(含点O和C),求n的取值范围.
答案
6. 解:(1)
∵ 8-6=2,
∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)²+3,
把点A(8,0)代入,得36a+3=0,
解得a=-$\frac{1}{12}$,
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当x=0时,$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$＞2.44,
∴ 球不能射进球门.
(3)设球员带球向正后方移动n米,则移动后的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把点C(0,2.25)代入,得2.25=$-\frac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得n=-5(舍去)或n=1,
把点O(0,0)代入,得0=$-\frac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得n=-8(舍去)或n=4.
∵ 足球恰好经过OC区域,
∴ 1≤n≤4.
∵ 8-6=2,
∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)²+3,
把点A(8,0)代入,得36a+3=0,
解得a=-$\frac{1}{12}$,
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$.
(2)当x=0时,$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$＞2.44,
∴ 球不能射进球门.
(3)设球员带球向正后方移动n米,则移动后的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把点C(0,2.25)代入,得2.25=$-\frac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得n=-5(舍去)或n=1,
把点O(0,0)代入,得0=$-\frac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得n=-8(舍去)或n=4.
∵ 足球恰好经过OC区域,
∴ 1≤n≤4.
