7. 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.

7. 0.5

8. 大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果,胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境. 如图1,在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水,浇灌葡萄园,喷出的水流呈抛物线状,且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称,取图1的截面,建立如图2所示的平面直角坐标系,O是坐标原点,
喷水管为OA,喷头A(0,0.8),水流落在山坡l上的点B(-2,m)和C(4,-1)处.

(1)求山坡l和y轴右侧抛物线的表达式.
(2)为了防治虫害,在葡萄树上露出地表1.1 m的位置粘贴防虫胶带,请问在山坡OC段种植的葡萄树,其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险?

8. 解:(1)
∵ 直线BC经过原点,
∴ 设直线BC的表达式为y=kx(k≠0).
∵ C(4,-1)在直线BC上,
∴ -1=4k,解得k=-$\frac{1}{4}$,
∴ 山坡l的表达式为$y=-\frac{1}{4}x$.
∵ B(-2,m)在直线BC上,
∴ m=0.5,即B(-2,0.5).
∵ 两侧水流关于y轴对称,
∴ 右侧抛物线经过点(2,0.5).
设右侧抛物线的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0).
将A(0,0.8),C(4,-1),(2,0.5)的坐标分别代入,
得$\begin{cases} c=0.8, \\ 16a+4b+c=-1, \\ 4a+2b+c=0.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-0.15, \\ b=0.15, \\ c=0.8, \end{cases}$
∴ y轴右侧抛物线的表达式为y=-0.15x²+0.15x+0.8.
(2)设右侧水流与地表的高度差为h m,
则h=-0.15x²+0.15x+0.8-$(-\frac{1}{4}x)$,
∴ h=-0.15x²+0.4x+0.8.
∵ a=-0.15＜0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=$\frac{4}{3}$,
又
∵ 0＜x＜4,
∴ 当x=$\frac{4}{3}$时,$h_{max}=\frac{16}{15}$＜1.1,
∴ 没有被水流喷到的风险.

9. [综合与实践]【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖(图1)都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”.
【建模分析】锅口直径为6 dm,锅深3 dm,锅盖高1 dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图2所示,把锅纵断面的抛物线记为$C_1:y=\frac{1}{3}x^2 -3(-3≤x≤3)$,把锅盖纵断面的抛物线记为$C_2$.

【解决问题】
(1)求抛物线$C_2$的解析式.
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1 dm,求此时水面的直径.(结果保留根号)
(3)如果将一个底面直径为2 dm,高度为3.4 dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖上?请说明理由.

9. 解:(1)设抛物线$C_2$的解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),
由题知$\begin{cases} 9a-3b+c=0, \\ 9a+3b+c=0, \\ c=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{1}{9}, \\ b=0, \\ c=1, \end{cases}$
即抛物线$C_2$的解析式为$y=-\frac{1}{9}x^2+1(-3≤x≤3)$.
(2)
∵ 炒菜时锅的水位高度是1 dm,
∴ 此时y=-3+1=-2.
将y=-2代入$C_1:y=\frac{1}{3}x^2-3(-3≤x≤3)$中,
有$-2=\frac{1}{3}x^2-3$,解得$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$,
∴ 此时水面的直径为$\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$(dm).
(3)锅盖能正常盖上.理由如下:
将底面直径为2 dm,高度为3.4 dm的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内,
当x=1时,$C_1:y=\frac{1}{3}-3=-\frac{8}{3}$,$C_2:y=-\frac{1}{9}+1=\frac{8}{9}$,$\frac{8}{9}-(-\frac{8}{3})=\frac{32}{9}$(dm).
∵ $\frac{32}{9}$＞3.4,
∴ 锅盖能正常盖上.