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7.如图,在由正三角形构成的网格图中,A,B,C三点均在格点上,则$\sin∠ BAC$的值为（）
A.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{7}$
A.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{7}$
答案
A
解析
【分析】
要求$\sin∠BAC$的值，根据正弦的定义，需要在包含$∠BAC$的直角三角形中，计算该角的对边与斜边的比值。我们可以先设每个小正三角形的边长为1，先求出$△ ABC$的各边长，再利用面积法求出点$B$到$AC$的垂线段长度（即$∠BAC$的对边），最后结合正弦定义计算即可。
【解析】
解：设每个小正三角形的边长为1。
1. 计算$△ ABC$各边长度：
观察网格可得$AB=4$，由勾股定理，$AC$的水平距离为2，竖直距离为小正三角形的高$\sqrt{3}$，因此$AC=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$，同理$BC=\sqrt{7}$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
$△ ABC$为等腰三角形，底边$AB$上的高$h_1=\sqrt{AC^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-2^2}=\sqrt{3}$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h_1=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 求点$B$到$AC$的垂线段长$BD$：
过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$，则$BD$是$Rt△ ABD$中$∠BAC$的对边。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入数据得：
$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}× BD$，解得$BD=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。
4. 计算$\sin∠BAC$：
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠BAC=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合网格特征求出三角形各边长，通过面积法转换求出对应高，再利用正弦定义得到结果，考查了网格分析能力和基础几何公式的综合应用。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠BAC$的值，根据正弦的定义，需要在包含$∠BAC$的直角三角形中，计算该角的对边与斜边的比值。我们可以先设每个小正三角形的边长为1，先求出$△ ABC$的各边长，再利用面积法求出点$B$到$AC$的垂线段长度（即$∠BAC$的对边），最后结合正弦定义计算即可。
【解析】
解：设每个小正三角形的边长为1。
1. 计算$△ ABC$各边长度：
观察网格可得$AB=4$，由勾股定理，$AC$的水平距离为2，竖直距离为小正三角形的高$\sqrt{3}$，因此$AC=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$，同理$BC=\sqrt{7}$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
$△ ABC$为等腰三角形，底边$AB$上的高$h_1=\sqrt{AC^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-2^2}=\sqrt{3}$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h_1=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 求点$B$到$AC$的垂线段长$BD$：
过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$，则$BD$是$Rt△ ABD$中$∠BAC$的对边。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入数据得：
$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}× BD$，解得$BD=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。
4. 计算$\sin∠BAC$：
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠BAC=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合网格特征求出三角形各边长，通过面积法转换求出对应高，再利用正弦定义得到结果，考查了网格分析能力和基础几何公式的综合应用。
【难度系数】
0.6
8.如图,点$D(0,3)$,$O(0,0)$,$C(4,0)$在$\odot A$上,BD是$\odot A$的一条弦,则$\sin∠ OBD$的值为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要计算$\sin∠ OBD$的值，直接对$∠ OBD$构造直角三角形难度较大，可利用圆周角定理进行角的转化：首先连接$CD$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ OBD=∠ OCD$，而$△ OCD$是直角三角形，已知$OD$、$OC$的长度，先通过勾股定理求出斜边$CD$的长度，再根据正弦的定义计算$\sin∠ OCD$，即可得到$\sin∠ OBD$的值。
【解析】
1. 连接$CD$，由点坐标可知：$OD=3$，$OC=4$，$∠ COD=90°$，即$△ COD$是直角三角形。
2. 根据勾股定理计算斜边$CD$的长度：
$CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
3. 根据圆周角定理，同弧$OD$所对的圆周角相等，因此$∠ OBD=∠ OCD$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ OCD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OD}{CD}=\frac{3}{5}$
因此$\sin∠ OBD=\sin∠ OCD=\frac{3}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角正弦定义
【点评】
本题解题核心是利用圆周角定理将非直角三角形中的角转化为直角三角形内的角，结合勾股定理和三角函数定义求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要计算$\sin∠ OBD$的值，直接对$∠ OBD$构造直角三角形难度较大，可利用圆周角定理进行角的转化：首先连接$CD$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ OBD=∠ OCD$，而$△ OCD$是直角三角形，已知$OD$、$OC$的长度，先通过勾股定理求出斜边$CD$的长度，再根据正弦的定义计算$\sin∠ OCD$，即可得到$\sin∠ OBD$的值。
【解析】
1. 连接$CD$，由点坐标可知：$OD=3$，$OC=4$，$∠ COD=90°$，即$△ COD$是直角三角形。
2. 根据勾股定理计算斜边$CD$的长度：
$CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
3. 根据圆周角定理，同弧$OD$所对的圆周角相等，因此$∠ OBD=∠ OCD$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ OCD=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OD}{CD}=\frac{3}{5}$
因此$\sin∠ OBD=\sin∠ OCD=\frac{3}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角正弦定义
【点评】
本题解题核心是利用圆周角定理将非直角三角形中的角转化为直角三角形内的角，结合勾股定理和三角函数定义求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中,将一块直角三角板按如图所示放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$,$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象上,则$\sin∠ ABO$的值为()
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先构造直角三角形结合反比例函数性质求解：首先过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，由∠AOB=90°可证△AOM∽△OBN；再利用反比例函数k的几何意义得到两个三角形的面积比，进而得到OA与OB的比值；最后在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长度，结合正弦的定义（对边比斜边）计算$\sin∠ABO$即可。
【解析】
解：过点A作$AM⊥x$轴于点M，过点B作$BN⊥x$轴于点N，
∴$∠ AMO=∠ BNO=90°$，
∴$∠ OAM+∠ AOM=90°$，
∵$∠ AOB=90°$，
∴$∠ AOM+∠ BON=90°$，
∴$∠ OAM=∠ BON$，
∴$△ AOM ∽ △ OBN$。
∵点A在$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$上，点B在$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$上，
∴$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2}×|-1|=\dfrac{1}{2}$，$S_{△ OBN}=\dfrac{1}{2}×|4|=2$，
∴$\dfrac{S_{△ AOM}}{S_{△ OBN}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\dfrac{OA}{OB}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
设$OA=a$，则$OB=2a$，在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
根据正弦的定义，$\sin∠ ABO=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac{a}{\sqrt{5}a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常考题，将反比例函数k的几何意义、相似三角形的性质、锐角三角函数定义结合考查，解题的关键是构造相似三角形得到OA与OB的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先构造直角三角形结合反比例函数性质求解：首先过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，由∠AOB=90°可证△AOM∽△OBN；再利用反比例函数k的几何意义得到两个三角形的面积比，进而得到OA与OB的比值；最后在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长度，结合正弦的定义（对边比斜边）计算$\sin∠ABO$即可。
【解析】
解：过点A作$AM⊥x$轴于点M，过点B作$BN⊥x$轴于点N，
∴$∠ AMO=∠ BNO=90°$，
∴$∠ OAM+∠ AOM=90°$，
∵$∠ AOB=90°$，
∴$∠ AOM+∠ BON=90°$，
∴$∠ OAM=∠ BON$，
∴$△ AOM ∽ △ OBN$。
∵点A在$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$上，点B在$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$上，
∴$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2}×|-1|=\dfrac{1}{2}$，$S_{△ OBN}=\dfrac{1}{2}×|4|=2$，
∴$\dfrac{S_{△ AOM}}{S_{△ OBN}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\dfrac{OA}{OB}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
设$OA=a$，则$OB=2a$，在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
根据正弦的定义，$\sin∠ ABO=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac{a}{\sqrt{5}a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常考题，将反比例函数k的几何意义、相似三角形的性质、锐角三角函数定义结合考查，解题的关键是构造相似三角形得到OA与OB的数量关系。
【难度系数】
0.6
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ B$为锐角,$AB=3\sqrt{2}$,$AC=5$,$\sin C=\dfrac{3}{5}$,求$BC$的长.
答案
解：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\because AC=5$，
$\therefore AD = AC · \sin C = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$。
$\therefore BC = BD + DC = 3 + 4 = 7$。
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\because AC=5$，
$\therefore AD = AC · \sin C = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$。
$\therefore BC = BD + DC = 3 + 4 = 7$。
解析
【分析】
要求BC的长度，我们可以通过作高将斜三角形△ABC转化为两个直角三角形求解：首先过点A作AD⊥BC于D，把BC拆分为BD和DC两段。先在Rt△ADC中，利用正弦的定义求出高AD的长度，再用勾股定理求出DC的长度；接着在Rt△ABD中，已知AB和AD的长度，用勾股定理求出BD的长度；最后将BD和DC相加即可得到BC的长度，题目给出∠B为锐角，说明高AD在△ABC内部，无需考虑高在三角形外的情况。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由正弦的定义可知$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\because AC=5$，
$\therefore AD = AC · \sin C = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$。
$\therefore BC = BD + DC = 3 + 4 = 7$。
【答案】
$7$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于解斜三角形的基础题型，核心思路是作高构造直角三角形，将未知边拆分为两个直角三角形的边分别求解，体现了转化的数学思想，解题时要注意题目给出的角为锐角的限制条件，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
要求BC的长度，我们可以通过作高将斜三角形△ABC转化为两个直角三角形求解：首先过点A作AD⊥BC于D，把BC拆分为BD和DC两段。先在Rt△ADC中，利用正弦的定义求出高AD的长度，再用勾股定理求出DC的长度；接着在Rt△ABD中，已知AB和AD的长度，用勾股定理求出BD的长度；最后将BD和DC相加即可得到BC的长度，题目给出∠B为锐角，说明高AD在△ABC内部，无需考虑高在三角形外的情况。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由正弦的定义可知$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\because AC=5$，
$\therefore AD = AC · \sin C = 5 × \frac{3}{5} = 3$，
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$。
$\therefore BC = BD + DC = 3 + 4 = 7$。
【答案】
$7$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于解斜三角形的基础题型，核心思路是作高构造直角三角形，将未知边拆分为两个直角三角形的边分别求解，体现了转化的数学思想，解题时要注意题目给出的角为锐角的限制条件，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=2$，求$\sin∠ ACD$和$\sin∠ BCD$。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=\sqrt{5+4}=3$
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ A=90°$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$
同理可得：$∠ BCD=∠ A$
$\sin∠ ACD=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=\sqrt{5+4}=3$
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ A=90°$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$
同理可得：$∠ BCD=∠ A$
$\sin∠ ACD=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要求$\sin∠ACD$和$\sin∠BCD$，若直接在$△ ACD$、$△ BCD$中计算需先求解各边长度，过程较繁琐。观察图形可知，$∠ACD$和$∠B$都是$∠A$的余角，根据同角的余角相等可得$∠ACD=∠B$，同理可得$∠BCD=∠A$，因此可将求未知角的正弦值转化为求$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠B$、$∠A$的正弦值。首先用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再根据正弦的定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=\sqrt{5+4}=3$
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ A=90°$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（同角的余角相等）
同理可得：$∠ BCD=∠ A$
根据正弦的定义，在$\mathrm{Rt}△ABC$中：
$\sin∠ ACD=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\sin∠ACD=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\sin∠BCD=\frac{2}{3}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，正弦的定义
【点评】
本题运用等角转化的思想，将待求的未知角的三角函数值转化为已知直角三角形内角的三角函数值，避免了复杂的边长计算，是解直角三角形相关问题的常用技巧，掌握角的转化方法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ACD$和$\sin∠BCD$，若直接在$△ ACD$、$△ BCD$中计算需先求解各边长度，过程较繁琐。观察图形可知，$∠ACD$和$∠B$都是$∠A$的余角，根据同角的余角相等可得$∠ACD=∠B$，同理可得$∠BCD=∠A$，因此可将求未知角的正弦值转化为求$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠B$、$∠A$的正弦值。首先用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再根据正弦的定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=\sqrt{5+4}=3$
$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ A=90°$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$（同角的余角相等）
同理可得：$∠ BCD=∠ A$
根据正弦的定义，在$\mathrm{Rt}△ABC$中：
$\sin∠ ACD=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\sin∠ BCD=\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\sin∠ACD=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\sin∠BCD=\frac{2}{3}$
【知识点】
勾股定理，同角的余角相等，正弦的定义
【点评】
本题运用等角转化的思想，将待求的未知角的三角函数值转化为已知直角三角形内角的三角函数值，避免了复杂的边长计算，是解直角三角形相关问题的常用技巧，掌握角的转化方法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12.如图,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)若AB=16,sin A=$\dfrac{1}{3}$,求⊙O的面积.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)若AB=16,sin A=$\dfrac{1}{3}$,求⊙O的面积.
答案
(1) 证明：连接OC
∵ OA=OB，C是边AB的中点
∴ OC⊥AB
又∵ 以O为圆心的圆过点C，即OC是⊙O的半径
∴ AB与⊙O相切。
(2) 解：∵ C是边AB的中点，AB=16
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 8
在Rt△ACO中，$\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}$
∴ OA = 3OC
由勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$
将OA=3OC，AC=8代入得：
$(3OC)^2 = OC^2 + 8^2$
$9OC^2 = OC^2 + 64$
$8OC^2 = 64$
$OC^2 = 8$
∴ ⊙O的面积为 $S = π · OC^2 = 8π$。
∵ OA=OB，C是边AB的中点
∴ OC⊥AB
又∵ 以O为圆心的圆过点C，即OC是⊙O的半径
∴ AB与⊙O相切。
(2) 解：∵ C是边AB的中点，AB=16
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 8
在Rt△ACO中，$\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}$
∴ OA = 3OC
由勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$
将OA=3OC，AC=8代入得：
$(3OC)^2 = OC^2 + 8^2$
$9OC^2 = OC^2 + 64$
$8OC^2 = 64$
$OC^2 = 8$
∴ ⊙O的面积为 $S = π · OC^2 = 8π$。
解析
【分析】
(1) 要证明AB与⊙O相切，根据切线的判定定理，需证明AB垂直于过点C的半径OC。已知△OAB是等腰三角形，C是AB中点，可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到OC⊥AB，再结合OC是⊙O的半径即可得证。
(2) 先根据中点的性质求出AC的长度，在Rt△ACO中，结合sinA的值得出OA与OC的数量关系，再利用勾股定理列方程求出OC²的值，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC
∵ OA=OB，C是边AB的中点
∴ OC⊥AB
又
∵ 以O为圆心的圆过点C，即OC是⊙O的半径
∴ AB与⊙O相切。
(2) 解：
∵ C是边AB的中点，AB=16
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 8
在Rt△ACO中，$\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}$
∴ OA = 3OC
由勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$
将OA=3OC，AC=8代入得：
$(3OC)^2 = OC^2 + 8^2$
$9OC^2 = OC^2 + 64$
$8OC^2 = 64$
$OC^2 = 8$
∴ ⊙O的面积为 $S = π · OC^2 = 8π$。
【答案】
(1) AB与⊙O相切，证明成立；
(2) $\boldsymbol{8π}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题关键是正确连接辅助线OC，结合等腰三角形性质得到垂直关系，再利用三角函数和勾股定理计算相关量，计算圆面积时可直接使用OC²的值，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB与⊙O相切，根据切线的判定定理，需证明AB垂直于过点C的半径OC。已知△OAB是等腰三角形，C是AB中点，可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到OC⊥AB，再结合OC是⊙O的半径即可得证。
(2) 先根据中点的性质求出AC的长度，在Rt△ACO中，结合sinA的值得出OA与OC的数量关系，再利用勾股定理列方程求出OC²的值，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC
∵ OA=OB，C是边AB的中点
∴ OC⊥AB
又
∵ 以O为圆心的圆过点C，即OC是⊙O的半径
∴ AB与⊙O相切。
(2) 解：
∵ C是边AB的中点，AB=16
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 8
在Rt△ACO中，$\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}$
∴ OA = 3OC
由勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$
将OA=3OC，AC=8代入得：
$(3OC)^2 = OC^2 + 8^2$
$9OC^2 = OC^2 + 64$
$8OC^2 = 64$
$OC^2 = 8$
∴ ⊙O的面积为 $S = π · OC^2 = 8π$。
【答案】
(1) AB与⊙O相切，证明成立；
(2) $\boldsymbol{8π}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题关键是正确连接辅助线OC，结合等腰三角形性质得到垂直关系，再利用三角函数和勾股定理计算相关量，计算圆面积时可直接使用OC²的值，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AC$为直径作$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$FE ⊥ AB$,垂足为$E$,交$AC$的延长线于点$F$.
(1)求证:$EF$与$\odot O$相切;
(2)若$AE=6$,$\sin∠ CFD=\dfrac{3}{5}$,求$EB$的长.
(1)求证:$EF$与$\odot O$相切;
(2)若$AE=6$,$\sin∠ CFD=\dfrac{3}{5}$,求$EB$的长.
答案
(1) 证明：
连接$OD$，
$\because OD=OC$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ B$，
$\therefore OD// AB$。
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore OD⊥ FE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
---
(2) 解：
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{3}{5}$，
$\because AE=6$，
$\therefore \dfrac{6}{AF}=\dfrac{3}{5}$，解得$AF=10$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OA=r$，$OF=AF-OA=10-r$。
由(1)知$OD⊥ EF$，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{r}{10-r}=\dfrac{3}{5}$，
解得$r=\dfrac{15}{4}$。
$\therefore AC=2r=\dfrac{15}{2}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AB=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore EB=AB-AE=\dfrac{15}{2}-6=\dfrac{3}{2}$。
答：$EB$的长为$\dfrac{3}{2}$。
连接$OD$，
$\because OD=OC$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ B$，
$\therefore OD// AB$。
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore OD⊥ FE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
---
(2) 解：
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{3}{5}$，
$\because AE=6$，
$\therefore \dfrac{6}{AF}=\dfrac{3}{5}$，解得$AF=10$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OA=r$，$OF=AF-OA=10-r$。
由(1)知$OD⊥ EF$，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{r}{10-r}=\dfrac{3}{5}$，
解得$r=\dfrac{15}{4}$。
$\therefore AC=2r=\dfrac{15}{2}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AB=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore EB=AB-AE=\dfrac{15}{2}-6=\dfrac{3}{2}$。
答：$EB$的长为$\dfrac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明EF是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明EF垂直于⊙O的半径，因此优先连接OD。利用等腰△ODC和等腰△ABC的底角相等，可推导出∠ODC=∠B，进而得到OD//AB，结合FE⊥AB的条件即可得到OD⊥EF，满足切线的判定条件。
(2) 求EB的长，已知AE=6，且AB=AC，因此只需先求出AB的长度即可。首先在Rt△AEF中，利用∠CFD的正弦值和AE的长度求出AF的长；再设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，同样利用∠CFD的正弦值列关于r的方程，解出r后得到AC（即AB）的长度，最后用AB减去AE即可得到EB的长。
【解析】
(1) 证明：
连接$OD$，
$\because OD=OC$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ B$，
$\therefore OD// AB$。
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore OD⊥ FE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
(2) 解：
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{3}{5}$，
$\because AE=6$，
$\therefore \dfrac{6}{AF}=\dfrac{3}{5}$，解得$AF=10$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OA=r$，$OF=AF-OA=10-r$。
由(1)知$OD⊥ EF$，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{r}{10-r}=\dfrac{3}{5}$，
解得$r=\dfrac{15}{4}$。
$\therefore AC=2r=\dfrac{15}{2}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AB=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore EB=AB-AE=\dfrac{15}{2}-6=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) EF与$\odot O$相切，证明成立；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于圆与三角函数结合的常规综合题，解题的关键是掌握切线证明的常用辅助线作法“连半径，证垂直”，同时能灵活运用同一个角的三角函数值在不同直角三角形中的关系，结合方程思想求解边长，对学生的逻辑推理能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明EF是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明EF垂直于⊙O的半径，因此优先连接OD。利用等腰△ODC和等腰△ABC的底角相等，可推导出∠ODC=∠B，进而得到OD//AB，结合FE⊥AB的条件即可得到OD⊥EF，满足切线的判定条件。
(2) 求EB的长，已知AE=6，且AB=AC，因此只需先求出AB的长度即可。首先在Rt△AEF中，利用∠CFD的正弦值和AE的长度求出AF的长；再设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，同样利用∠CFD的正弦值列关于r的方程，解出r后得到AC（即AB）的长度，最后用AB减去AE即可得到EB的长。
【解析】
(1) 证明：
连接$OD$，
$\because OD=OC$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ B$，
$\therefore OD// AB$。
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore OD⊥ FE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
(2) 解：
$\because FE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{3}{5}$，
$\because AE=6$，
$\therefore \dfrac{6}{AF}=\dfrac{3}{5}$，解得$AF=10$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OA=r$，$OF=AF-OA=10-r$。
由(1)知$OD⊥ EF$，在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$\sin∠ CFD=\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \dfrac{r}{10-r}=\dfrac{3}{5}$，
解得$r=\dfrac{15}{4}$。
$\therefore AC=2r=\dfrac{15}{2}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AB=\dfrac{15}{2}$，
$\therefore EB=AB-AE=\dfrac{15}{2}-6=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) EF与$\odot O$相切，证明成立；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于圆与三角函数结合的常规综合题，解题的关键是掌握切线证明的常用辅助线作法“连半径，证垂直”，同时能灵活运用同一个角的三角函数值在不同直角三角形中的关系，结合方程思想求解边长，对学生的逻辑推理能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
