登录
9. 如图15.2-7，在平面直角坐标系中，已知点$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$。
（1）在平面直角坐标系中画出$△ ABC$；
（2）在平面直角坐标系中画出$△ A_1B_1C_1$，使$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于$y$轴对称，并写出$△ A_1B_1C_1$各顶点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中画出$△ A_2B_2C_2$，使$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$关于$x$轴对称，并写出$△ A_2B_2C_2$各顶点的坐标。
图15.2-7
（1）在平面直角坐标系中画出$△ ABC$；
（2）在平面直角坐标系中画出$△ A_1B_1C_1$，使$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于$y$轴对称，并写出$△ A_1B_1C_1$各顶点的坐标；
（3）在平面直角坐标系中画出$△ A_2B_2C_2$，使$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$关于$x$轴对称，并写出$△ A_2B_2C_2$各顶点的坐标。
图15.2-7
答案
9. 解：(1) $△ ABC$如图所示
.(2) $△ A_1B_1C_1$如图所示，点$A_1(0, 1)$，$B_1(-2, 0)$，$C_1(-4, 3)$.
(3) $△ A_2B_2C_2$如图所示，点$A_2(0, -1)$，$B_2(2, 0)$，$C_2(4, -3)$.
解析
【分析】
（1）要画出$△ ABC$，只需要先根据三个顶点的坐标在坐标系中找到对应位置，再顺次连接三个点即可。
（2）关于$y$轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，先根据这个规律求出$A$、$B$、$C$三点关于$y$轴的对称点坐标，再描点、顺次连线就能得到$△ A_1B_1C_1$。
（3）关于$x$轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先根据这个规律求出$A$、$B$、$C$三点关于$x$轴的对称点坐标，再描点、顺次连线就能得到$△ A_2B_2C_2$。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中，分别定位坐标为$(0,1)$的点$A$、坐标为$(2,0)$的点$B$、坐标为$(4,3)$的点$C$，依次连接$AB$、$BC$、$CA$，即可得到$△ ABC$。
（2）根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，计算对称点坐标：
点$A(0,1)$在$y$轴上，对称点$A_1$坐标为$(0,1)$；
点$B(2,0)$的对称点$B_1$横坐标为$-2$，纵坐标不变，即$B_1(-2,0)$；
点$C(4,3)$的对称点$C_1$横坐标为$-4$，纵坐标不变，即$C_1(-4,3)$。
描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点后顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（3）根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算对称点坐标：
点$A(0,1)$的对称点$A_2$纵坐标为$-1$，横坐标不变，即$A_2(0,-1)$；
点$B(2,0)$在$x$轴上，对称点$B_2$坐标为$(2,0)$；
点$C(4,3)$的对称点$C_2$纵坐标为$-3$，横坐标不变，即$C_2(4,-3)$。
描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点后顺次连接，得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图所示。
(2) $△ A_1B_1C_1$如图所示，点$A_1(0, 1)$，$B_1(-2, 0)$，$C_1(-4, 3)$。
(3) $△ A_2B_2C_2$如图所示，点$A_2(0, -1)$，$B_2(2, 0)$，$C_2(4, -3)$。
【知识点】
坐标系描点、关于$y$轴对称的坐标规律、关于$x$轴对称的坐标规律
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查用坐标表示轴对称的相关知识，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，按规律计算坐标、描点连线即可完成解题。
【难度系数】
0.85
（1）要画出$△ ABC$，只需要先根据三个顶点的坐标在坐标系中找到对应位置，再顺次连接三个点即可。
（2）关于$y$轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，先根据这个规律求出$A$、$B$、$C$三点关于$y$轴的对称点坐标，再描点、顺次连线就能得到$△ A_1B_1C_1$。
（3）关于$x$轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，先根据这个规律求出$A$、$B$、$C$三点关于$x$轴的对称点坐标，再描点、顺次连线就能得到$△ A_2B_2C_2$。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中，分别定位坐标为$(0,1)$的点$A$、坐标为$(2,0)$的点$B$、坐标为$(4,3)$的点$C$，依次连接$AB$、$BC$、$CA$，即可得到$△ ABC$。
（2）根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，计算对称点坐标：
点$A(0,1)$在$y$轴上，对称点$A_1$坐标为$(0,1)$；
点$B(2,0)$的对称点$B_1$横坐标为$-2$，纵坐标不变，即$B_1(-2,0)$；
点$C(4,3)$的对称点$C_1$横坐标为$-4$，纵坐标不变，即$C_1(-4,3)$。
描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点后顺次连接，得到$△ A_1B_1C_1$。
（3）根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算对称点坐标：
点$A(0,1)$的对称点$A_2$纵坐标为$-1$，横坐标不变，即$A_2(0,-1)$；
点$B(2,0)$在$x$轴上，对称点$B_2$坐标为$(2,0)$；
点$C(4,3)$的对称点$C_2$纵坐标为$-3$，横坐标不变，即$C_2(4,-3)$。
描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点后顺次连接，得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图所示
。(2) $△ A_1B_1C_1$如图所示，点$A_1(0, 1)$，$B_1(-2, 0)$，$C_1(-4, 3)$。
(3) $△ A_2B_2C_2$如图所示，点$A_2(0, -1)$，$B_2(2, 0)$，$C_2(4, -3)$。
【知识点】
坐标系描点、关于$y$轴对称的坐标规律、关于$x$轴对称的坐标规律
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查用坐标表示轴对称的相关知识，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，按规律计算坐标、描点连线即可完成解题。
【难度系数】
0.85
10. 已知$P(a+1, b-2)$，$Q(4, 3)$两点.
（1）若$P$，$Q$两点关于$x$轴对称，求$a+b$的值；
（2）若点$P$到$y$轴的距离是3，且$PQ// x$轴，求$a+b$的值.
（1）若$P$，$Q$两点关于$x$轴对称，求$a+b$的值；
（2）若点$P$到$y$轴的距离是3，且$PQ// x$轴，求$a+b$的值.
答案
10. 解: (1) $\because P$, $Q$两点关于$x$轴对称,
$\therefore a+1=4$, $b-2=-3$.
$\therefore a=3$, $b=-1$.
$\therefore a+b=3-1=2$.
(2) $\because$点$P$到$y$轴的距离是3,
$\therefore$点$P$的横坐标为3或$-3$.
$\therefore a+1=3$ 或 $a+1=-3$,
即$a=2$ 或 $a=-4$.
又 $PQ// x$ 轴, $Q\ (4,\ 3)$,
$\therefore$点$P$的纵坐标为3.
$\therefore b-2=3. \ \therefore b=5$.
当$a=2$, $b=5$时, $a+b=7$.
当$a=-4$, $b=5$时, $a+b=1$.
$\therefore a+1=4$, $b-2=-3$.
$\therefore a=3$, $b=-1$.
$\therefore a+b=3-1=2$.
(2) $\because$点$P$到$y$轴的距离是3,
$\therefore$点$P$的横坐标为3或$-3$.
$\therefore a+1=3$ 或 $a+1=-3$,
即$a=2$ 或 $a=-4$.
又 $PQ// x$ 轴, $Q\ (4,\ 3)$,
$\therefore$点$P$的纵坐标为3.
$\therefore b-2=3. \ \therefore b=5$.
当$a=2$, $b=5$时, $a+b=7$.
当$a=-4$, $b=5$时, $a+b=1$.
解析
【分析】
（1）解决第一问需运用关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列关于a、b的方程，求解后代入a+b计算即可。
（2）解决第二问首先根据“点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值”求出a的两个可能取值；再根据“平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等”列方程求出b的值；最后将a的两个取值分别与b代入a+b计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because P$, $Q$两点关于$x$轴对称,
$\therefore$ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即$a+1=4$, $b-2=-3$,
解得$a=3$, $b=-1$,
$\therefore a+b=3-1=2$.
(2) $\because$点$P$到$y$轴的距离是3,
$\therefore$ 点P横坐标的绝对值为3，即$|a+1|=3$,
$\therefore a+1=3$ 或 $a+1=-3$,
即$a=2$ 或 $a=-4$.
又 $PQ// x$ 轴, $Q\ (4,\ 3)$, 平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,
$\therefore b-2=3$, 解得$b=5$.
当$a=2$, $b=5$时, $a+b=2+5=7$.
当$a=-4$, $b=5$时, $a+b=-4+5=1$.
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{1}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；点到坐标轴的距离；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心考查不同位置关系下点的坐标规律，解题时要注意点到y轴的距离对应横坐标的绝对值，存在两种取值情况，避免漏解，熟练掌握对应坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需运用关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列关于a、b的方程，求解后代入a+b计算即可。
（2）解决第二问首先根据“点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值”求出a的两个可能取值；再根据“平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等”列方程求出b的值；最后将a的两个取值分别与b代入a+b计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because P$, $Q$两点关于$x$轴对称,
$\therefore$ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即$a+1=4$, $b-2=-3$,
解得$a=3$, $b=-1$,
$\therefore a+b=3-1=2$.
(2) $\because$点$P$到$y$轴的距离是3,
$\therefore$ 点P横坐标的绝对值为3，即$|a+1|=3$,
$\therefore a+1=3$ 或 $a+1=-3$,
即$a=2$ 或 $a=-4$.
又 $PQ// x$ 轴, $Q\ (4,\ 3)$, 平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,
$\therefore b-2=3$, 解得$b=5$.
当$a=2$, $b=5$时, $a+b=2+5=7$.
当$a=-4$, $b=5$时, $a+b=-4+5=1$.
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{1}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；点到坐标轴的距离；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心考查不同位置关系下点的坐标规律，解题时要注意点到y轴的距离对应横坐标的绝对值，存在两种取值情况，避免漏解，熟练掌握对应坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系中有点$A(a,1)$，$B(2,b)$。
（1）当$A$，$B$两点关于直线$y=-1$对称时，求$△ AOB$的面积；
（2）当线段$AB// x$轴，且$AB=4$时，求$a-b$的值。
（1）当$A$，$B$两点关于直线$y=-1$对称时，求$△ AOB$的面积；
（2）当线段$AB// x$轴，且$AB=4$时，求$a-b$的值。
答案
11. 解: (1) 由题意, 得 $a=2$, $b=-3$,
则 $A(2, 1)$, $B(2, -3)$.
设 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$,
则 $OD=2$, $AB=4$.
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OD=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$.
(2) $\because AB// x$ 轴,
$\therefore$ 点 $A$, $B$ 的纵坐标相同.
$\therefore b=1. \ \therefore B(2, 1)$.
$\because AB=4$, $\therefore |a-2|=4$.
解得 $a=-2$ 或 $a=6$.
当 $a=-2$, $b=1$ 时, $a-b=-3$.
当 $a=6$, $b=1$ 时, $a-b=5$.
则 $A(2, 1)$, $B(2, -3)$.
设 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$,
则 $OD=2$, $AB=4$.
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB · OD=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$.
(2) $\because AB// x$ 轴,
$\therefore$ 点 $A$, $B$ 的纵坐标相同.
$\therefore b=1. \ \therefore B(2, 1)$.
$\because AB=4$, $\therefore |a-2|=4$.
解得 $a=-2$ 或 $a=6$.
当 $a=-2$, $b=1$ 时, $a-b=-3$.
当 $a=6$, $b=1$ 时, $a-b=5$.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据两点关于直线$y=-1$对称的坐标特征，横坐标相等，纵坐标的中点在对称轴$y=-1$上，求出$a$、$b$的值，得到$A$、$B$两点坐标；观察可知$AB$垂直于$x$轴，可将$AB$作为三角形的底，原点到直线$AB$的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
（2）解题思路：首先根据线段平行于$x$轴的坐标特征，两点纵坐标相等，求出$b$的值；再根据$AB$的长度为4，即两点横坐标差的绝对值为4，列绝对值方程求出$a$的两个取值，最后分别代入计算$a-b$的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）$\because A$、$B$两点关于直线$y=-1$对称
$\therefore$两点横坐标相等，纵坐标的平均数为$-1$，即$a=2$，$\frac{1+b}{2}=-1$，解得$b=-3$
$\therefore A(2,1)$，$B(2,-3)$
设$AB$与$x$轴交于点$D$，则$D$点坐标为$(2,0)$，$OD=2$，$AB$的长度为$1-(-3)=4$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OD=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$
（2）$\because$线段$AB // x$轴
$\therefore A$、$B$两点纵坐标相等，即$b=1$，此时$B$点坐标为$(2,1)$
$\because AB=4$
$\therefore$两点横坐标差的绝对值为4，即$|a-2|=4$
解得$a=2+4=6$或$a=2-4=-2$
当$a=-2$，$b=1$时，$a-b=-2-1=-3$
当$a=6$，$b=1$时，$a-b=6-1=5$
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{-3}$或$\boxed{5}$
【知识点】
关于直线对称的坐标特征，平行于x轴的线段坐标性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质的应用，解题时需准确掌握对称、平行线段对应的坐标规律，第二问涉及绝对值运算，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）解题思路：首先根据两点关于直线$y=-1$对称的坐标特征，横坐标相等，纵坐标的中点在对称轴$y=-1$上，求出$a$、$b$的值，得到$A$、$B$两点坐标；观察可知$AB$垂直于$x$轴，可将$AB$作为三角形的底，原点到直线$AB$的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
（2）解题思路：首先根据线段平行于$x$轴的坐标特征，两点纵坐标相等，求出$b$的值；再根据$AB$的长度为4，即两点横坐标差的绝对值为4，列绝对值方程求出$a$的两个取值，最后分别代入计算$a-b$的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）$\because A$、$B$两点关于直线$y=-1$对称
$\therefore$两点横坐标相等，纵坐标的平均数为$-1$，即$a=2$，$\frac{1+b}{2}=-1$，解得$b=-3$
$\therefore A(2,1)$，$B(2,-3)$
设$AB$与$x$轴交于点$D$，则$D$点坐标为$(2,0)$，$OD=2$，$AB$的长度为$1-(-3)=4$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OD=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$
（2）$\because$线段$AB // x$轴
$\therefore A$、$B$两点纵坐标相等，即$b=1$，此时$B$点坐标为$(2,1)$
$\because AB=4$
$\therefore$两点横坐标差的绝对值为4，即$|a-2|=4$
解得$a=2+4=6$或$a=2-4=-2$
当$a=-2$，$b=1$时，$a-b=-2-1=-3$
当$a=6$，$b=1$时，$a-b=6-1=5$
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{-3}$或$\boxed{5}$
【知识点】
关于直线对称的坐标特征，平行于x轴的线段坐标性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质的应用，解题时需准确掌握对称、平行线段对应的坐标规律，第二问涉及绝对值运算，要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
