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1.某企业2024年的利润为50万元，如果以后每年的年利润比上一年的年利润都增长$x\%$，那么2026年的年利润将达到万元.
答案
解：
2025年的年利润为 $50(1+x\%)$ 万元，
2026年的年利润在2025年的基础上增长$x\%$，可得：
$50(1+x\%)·(1+x\%) = 50(1+x\%)^2$
答：2026年的年利润将达到$\boldsymbol{50(1+x\%)^2}$万元。
2025年的年利润为 $50(1+x\%)$ 万元，
2026年的年利润在2025年的基础上增长$x\%$，可得：
$50(1+x\%)·(1+x\%) = 50(1+x\%)^2$
答：2026年的年利润将达到$\boldsymbol{50(1+x\%)^2}$万元。
解析
【分析】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是牢记“增长后量=增长前量×(1+增长率)”的公式。首先以2024年的利润为初始基数，先计算出2025年的年利润；再以2025年的利润为新的增长基数，乘以(1+x%)，即可推导得出2026年的年利润。
【解析】
2025年的年利润以2024年的50万元为基数增长$x\%$，可得2025年利润为 $50(1+x\%)$ 万元；
2026年的年利润在2025年的利润基础上再增长$x\%$，列式计算如下：
$50(1+x\%)·(1+x\%) = 50(1+x\%)^2$（万元）
【答案】
$\boldsymbol{50(1+x\%)^2}$
【知识点】
增长率问题、列代数式
【点评】
本题是增长率问题的入门题型，解题的关键是明确每一次增长对应的基数，掌握连续增长的计算规律，是后续解决更复杂的增长率实际应用题的基础。
【难度系数】
0.85
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是牢记“增长后量=增长前量×(1+增长率)”的公式。首先以2024年的利润为初始基数，先计算出2025年的年利润；再以2025年的利润为新的增长基数，乘以(1+x%)，即可推导得出2026年的年利润。
【解析】
2025年的年利润以2024年的50万元为基数增长$x\%$，可得2025年利润为 $50(1+x\%)$ 万元；
2026年的年利润在2025年的利润基础上再增长$x\%$，列式计算如下：
$50(1+x\%)·(1+x\%) = 50(1+x\%)^2$（万元）
【答案】
$\boldsymbol{50(1+x\%)^2}$
【知识点】
增长率问题、列代数式
【点评】
本题是增长率问题的入门题型，解题的关键是明确每一次增长对应的基数，掌握连续增长的计算规律，是后续解决更复杂的增长率实际应用题的基础。
【难度系数】
0.85
2.在某云平台的一次网络安全事件中,最初有5台服务器感染了病毒.经过两轮感染后,共有245台服务器感染了病毒,则每轮感染中平均每台服务器感染台服务器.
答案
解：设每轮感染中平均每台服务器感染x台服务器。
根据题意，得
$5(1+x)^2 = 245$
两边同时除以5，得
$(1+x)^2 = 49$
直接开平方，得
$1+x = 7$ 或 $1+x = -7$
解得$x_1=6$，$x_2=-8$（不符合实际意义，舍去）
答：每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器。
根据题意，得
$5(1+x)^2 = 245$
两边同时除以5，得
$(1+x)^2 = 49$
直接开平方，得
$1+x = 7$ 或 $1+x = -7$
解得$x_1=6$，$x_2=-8$（不符合实际意义，舍去）
答：每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器。
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确传播模型的数量规律：初始感染数量为a台，每轮平均每台感染x台，第一轮感染后总感染数量为a(1+x)台；第二轮是第一轮感染后的所有服务器都参与传播，因此第二轮结束后总感染数量为$a(1+x)^2$台。再结合题目给出的初始5台、两轮后共245台的条件，代入模型列方程求解，最后注意感染台数不能为负数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设每轮感染中平均每台服务器感染$ x $台服务器。
根据题意列等量关系方程：
$ 5(1+x)^2 = 245 $
两边同时除以5，得：
$ (1+x)^2 = 49 $
直接开平方，得：
$ 1+x = 7 $ 或 $ 1+x = -7 $
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-8 $
因为每轮感染台数不能为负数，$x_2=-8$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、方程根的检验
【点评】
本题是传播类应用题的常考基础题型，解题核心是准确把握每轮传播后总感染数量的变化规律，不要混淆总感染数和新增感染数，同时解出方程后要结合实际场景检验根的合理性，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确传播模型的数量规律：初始感染数量为a台，每轮平均每台感染x台，第一轮感染后总感染数量为a(1+x)台；第二轮是第一轮感染后的所有服务器都参与传播，因此第二轮结束后总感染数量为$a(1+x)^2$台。再结合题目给出的初始5台、两轮后共245台的条件，代入模型列方程求解，最后注意感染台数不能为负数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设每轮感染中平均每台服务器感染$ x $台服务器。
根据题意列等量关系方程：
$ 5(1+x)^2 = 245 $
两边同时除以5，得：
$ (1+x)^2 = 49 $
直接开平方，得：
$ 1+x = 7 $ 或 $ 1+x = -7 $
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-8 $
因为每轮感染台数不能为负数，$x_2=-8$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、方程根的检验
【点评】
本题是传播类应用题的常考基础题型，解题核心是准确把握每轮传播后总感染数量的变化规律，不要混淆总感染数和新增感染数，同时解出方程后要结合实际场景检验根的合理性，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
3.化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学.第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会名同学.
答案
解：设1人每次能手把手教会x名同学。
根据题意，得：
$1 + x + x(x + 1) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
经检验，$x_2=-8$不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=6$
答：1人每次能手把手教会6名同学。
根据题意，得：
$1 + x + x(x + 1) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
经检验，$x_2=-8$不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=6$
答：1人每次能手把手教会6名同学。
解析
【分析】
这是典型的传播类应用问题，我们可以按轮次梳理人数关系解题：首先初始只有1名课代表会做实验，设1人每次教会x名同学。第一轮传播后，会做实验的总人数为初始1人加新学会的x人，共$(1+x)$人；第二轮传播时，每一名会做实验的人都教会x名新同学，因此第二轮新学会的人数为$x(1+x)$，两轮结束后全班49人都会做，将两轮总人数相加等于49即可列方程求解，最后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【解析】
设1人每次能手把手教会x名同学。
根据题意列方程：
$1 + x + x(x + 1) = 49$
整理得：
$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
经检验，$x_2=-8$不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，实际问题验根
【点评】
本题是传播类一元二次方程应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后的人数变化规律，求出方程的解后要结合实际场景判断根的合理性，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类应用问题，我们可以按轮次梳理人数关系解题：首先初始只有1名课代表会做实验，设1人每次教会x名同学。第一轮传播后，会做实验的总人数为初始1人加新学会的x人，共$(1+x)$人；第二轮传播时，每一名会做实验的人都教会x名新同学，因此第二轮新学会的人数为$x(1+x)$，两轮结束后全班49人都会做，将两轮总人数相加等于49即可列方程求解，最后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【解析】
设1人每次能手把手教会x名同学。
根据题意列方程：
$1 + x + x(x + 1) = 49$
整理得：
$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
经检验，$x_2=-8$不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，实际问题验根
【点评】
本题是传播类一元二次方程应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后的人数变化规律，求出方程的解后要结合实际场景判断根的合理性，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是121，求每个支干长出多少个小分支.设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为.
答案
解：
主干的数量为1，支干的数量为x，所有支干长出的小分支总数量为$x^2$，
根据主干、支干和小分支的总数是121，可列方程为：
$1 + x + x^2 = 121$
主干的数量为1，支干的数量为x，所有支干长出的小分支总数量为$x^2$，
根据主干、支干和小分支的总数是121，可列方程为：
$1 + x + x^2 = 121$
解析
【分析】
解题时先分别梳理主干、支干、小分支的数量，再根据三者总数为121建立等量关系。首先主干数量固定为1；设每个支干长出x个小分支，可知主干长出的支干总数量为x；每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘每个支干长出的小分支数，最后将三类的数量相加等于总数量121即可列出方程。
【解析】
首先确定各部分的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 主干长出的支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
已知主干、支干和小分支的总数是121，将三者数量相加可得方程：
$1 + x + x^2 = 121$
【答案】
$1 + x + x^2 = 121$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 列代数式
【点评】
本题属于分支类基础应用题，解题的核心是准确梳理不同层级的数量关系，再结合总量列等式，只要理清各部分数量就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先分别梳理主干、支干、小分支的数量，再根据三者总数为121建立等量关系。首先主干数量固定为1；设每个支干长出x个小分支，可知主干长出的支干总数量为x；每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘每个支干长出的小分支数，最后将三类的数量相加等于总数量121即可列出方程。
【解析】
首先确定各部分的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 主干长出的支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
已知主干、支干和小分支的总数是121，将三者数量相加可得方程：
$1 + x + x^2 = 121$
【答案】
$1 + x + x^2 = 121$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 列代数式
【点评】
本题属于分支类基础应用题，解题的核心是准确梳理不同层级的数量关系，再结合总量列等式，只要理清各部分数量就不易出错。
【难度系数】
0.8
5.某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长()
A.20%
B.25%
C.30%
D.15%
A.20%
B.25%
C.30%
D.15%
答案
B
解析
【分析】
本题属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率的等量关系。首先设每年平均增长率为x，根据“初始量×(1+平均增长率)^增长年数=最终量”的公式建立一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
解：设每年平均增长率为x。
根据题意可列方程：
$\boldsymbol{144(1+x)^2 = 225}$
两边同时除以144，得：
$(1+x)^2 = \frac{225}{144}$
开平方得：
$1+x = \pm 1.25$
由于增长率x为正数，因此$1+x＞0$，舍去负根$1+x=-1.25$，仅取正根：
$1+x = 1.25$
解得$x=0.25=25\%$
因此每年平均增长25%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础题型，解题关键是熟练掌握增长率的计算公式，求解方程后需结合实际意义对根进行取舍，排除不符合题意的负根。
【难度系数】
0.8
本题属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率的等量关系。首先设每年平均增长率为x，根据“初始量×(1+平均增长率)^增长年数=最终量”的公式建立一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的根，即可得到答案。
【解析】
解：设每年平均增长率为x。
根据题意可列方程：
$\boldsymbol{144(1+x)^2 = 225}$
两边同时除以144，得：
$(1+x)^2 = \frac{225}{144}$
开平方得：
$1+x = \pm 1.25$
由于增长率x为正数，因此$1+x＞0$，舍去负根$1+x=-1.25$，仅取正根：
$1+x = 1.25$
解得$x=0.25=25\%$
因此每年平均增长25%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础题型，解题关键是熟练掌握增长率的计算公式，求解方程后需结合实际意义对根进行取舍，排除不符合题意的负根。
【难度系数】
0.8
6.有$ x $支球队参加篮球比赛，每两队之间都有一场比赛，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确比赛赛制为单循环，即每两队之间仅进行1场比赛。首先思考每支球队的参赛场次：共有x支球队，每支球队需要和除自身外的其余(x-1)支球队各赛1场，此时若直接用x乘(x-1)计算总场次，会发现每场比赛被对阵的两支球队各统计了1次，存在重复计数，因此需要将计算结果除以2得到实际总比赛场数，再结合题目给出的总场数45场即可列出对应方程。
【解析】
已知共有x支球队参赛，赛制为每两队之间赛1场：
1. 每支球队的参赛场次为$(x-1)$场，所有球队统计的参赛总次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每场比赛被两支球队各统计1次，重复计算了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 结合题目给出的共比赛45场，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，因此A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
单循环比赛计数，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题核心是理清单循环赛制的计数逻辑，避免因忽略重复计数选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确比赛赛制为单循环，即每两队之间仅进行1场比赛。首先思考每支球队的参赛场次：共有x支球队，每支球队需要和除自身外的其余(x-1)支球队各赛1场，此时若直接用x乘(x-1)计算总场次，会发现每场比赛被对阵的两支球队各统计了1次，存在重复计数，因此需要将计算结果除以2得到实际总比赛场数，再结合题目给出的总场数45场即可列出对应方程。
【解析】
已知共有x支球队参赛，赛制为每两队之间赛1场：
1. 每支球队的参赛场次为$(x-1)$场，所有球队统计的参赛总次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每场比赛被两支球队各统计1次，重复计算了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 结合题目给出的共比赛45场，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，因此A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
单循环比赛计数，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题核心是理清单循环赛制的计数逻辑，避免因忽略重复计数选错答案。
【难度系数】
0.8
7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是在学习知识和技艺后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为$x$，根据“两天不练丢一半”，可列方程()
A.$(1-x)^2=50\%$
B.$(1+x)^2=50\%$
C.$1-2x=50\%$
D.$(1-x)(1+x)=50\%$
A.$(1-x)^2=50\%$
B.$(1+x)^2=50\%$
C.$1-2x=50\%$
D.$(1-x)(1+x)=50\%$
答案
A
解析
【分析】
我们可以把学习后最初记住的总量看作单位“1”，每天遗忘的百分比为x，那么每天结束时留存的记忆量就是前一天的$(1-x)$。要列两天后的记忆量方程，首先明确变化率问题中，每次变化都是在上一次的结果基础上进行的，不是直接在初始量上叠加变化。“两天不练丢一半”意思是两天后剩下的记忆量是初始的50%，我们只需按留存比例逐步计算两天后的剩余量，令其等于50%即可列出方程。
【解析】
设初始记忆总量为单位“1”：
第一天遗忘x后，剩余记忆量为 $1×(1-x)=1-x$；
第二天在第一天剩余量的基础上再遗忘x，所以第二天结束后剩余记忆量为 $(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余记忆量为初始的50%，因此可列方程：$(1-x)^2=50\%$。
【答案】
A
【知识点】
平均降低率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均变化率类应用题，解题核心是明确每次变化的基数是上一阶段的量，而非初始总量，避免误选表示线性变化的选项。
【难度系数】
0.7
我们可以把学习后最初记住的总量看作单位“1”，每天遗忘的百分比为x，那么每天结束时留存的记忆量就是前一天的$(1-x)$。要列两天后的记忆量方程，首先明确变化率问题中，每次变化都是在上一次的结果基础上进行的，不是直接在初始量上叠加变化。“两天不练丢一半”意思是两天后剩下的记忆量是初始的50%，我们只需按留存比例逐步计算两天后的剩余量，令其等于50%即可列出方程。
【解析】
设初始记忆总量为单位“1”：
第一天遗忘x后，剩余记忆量为 $1×(1-x)=1-x$；
第二天在第一天剩余量的基础上再遗忘x，所以第二天结束后剩余记忆量为 $(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余记忆量为初始的50%，因此可列方程：$(1-x)^2=50\%$。
【答案】
A
【知识点】
平均降低率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均变化率类应用题，解题核心是明确每次变化的基数是上一阶段的量，而非初始总量，避免误选表示线性变化的选项。
【难度系数】
0.7
8.国家推进了医疗卫生体制改革，药品价格大幅下降.某药品经过两次降价，每瓶零售价由10元降到4.9元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
答案
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意列方程得：
$10(1-x)^2 = 4.9$
方程两边同除以10，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
直接开平方，得：
$1-x = \pm0.7$
解得：
$x_1=0.3$，$x_2=1.7$
因为降价百分率不能大于1，所以$x_2=1.7$不符合实际意义，舍去，
$x=0.3=30\%$。
答：每次降价的百分率为30%。
根据题意列方程得：
$10(1-x)^2 = 4.9$
方程两边同除以10，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
直接开平方，得：
$1-x = \pm0.7$
解得：
$x_1=0.3$，$x_2=1.7$
因为降价百分率不能大于1，所以$x_2=1.7$不符合实际意义，舍去，
$x=0.3=30\%$。
答：每次降价的百分率为30%。
解析
【分析】
这是典型的连续降价百分率问题，解题思路如下：1. 先设每次降价的百分率为x，明确降价计算规则：每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)；2. 第一次降价后价格为10(1-x)元，第二次在第一次降价后的价格基础上再降价，因此第二次降价后价格为$10(1-x)^2$元，结合最终售价为4.9元即可列方程；3. 求解方程后要结合实际验根，降价百分率需满足0＜x＜1，不符合的根要舍去，最后将有效解转化为百分数即可。
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意列方程得：
$10(1-x)^2 = 4.9$
方程两边同除以10，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
直接开平方，得：
$1-x = \pm0.7$
解得：
$x_1=0.3$，$x_2=1.7$
因为降价百分率不能大于1，所以$x_2=1.7$不符合实际意义，舍去，
$x=0.3=30\%$。
答：每次降价的百分率为30%。
【答案】
每次降价的百分率为30%
【知识点】
一元二次方程应用、降价率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题是百分率类应用的基础题型，核心是掌握连续两次价格变动的等量关系，解题时要注意对一元二次方程的解进行实际意义的检验，排除不符合生活常识的根。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续降价百分率问题，解题思路如下：1. 先设每次降价的百分率为x，明确降价计算规则：每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)；2. 第一次降价后价格为10(1-x)元，第二次在第一次降价后的价格基础上再降价，因此第二次降价后价格为$10(1-x)^2$元，结合最终售价为4.9元即可列方程；3. 求解方程后要结合实际验根，降价百分率需满足0＜x＜1，不符合的根要舍去，最后将有效解转化为百分数即可。
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意列方程得：
$10(1-x)^2 = 4.9$
方程两边同除以10，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
直接开平方，得：
$1-x = \pm0.7$
解得：
$x_1=0.3$，$x_2=1.7$
因为降价百分率不能大于1，所以$x_2=1.7$不符合实际意义，舍去，
$x=0.3=30\%$。
答：每次降价的百分率为30%。
【答案】
每次降价的百分率为30%
【知识点】
一元二次方程应用、降价率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题是百分率类应用的基础题型，核心是掌握连续两次价格变动的等量关系，解题时要注意对一元二次方程的解进行实际意义的检验，排除不符合生活常识的根。
【难度系数】
0.8
