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1. 方程:①$x^2 - \frac{1}{3x}=1$,②$2x^2 -5y +4=0$,③$7x^2 +1=0$,④$\frac{y^2}{2}=0$,⑤$ax^2 +bx +c=0$,⑥$(x+1)(x-1)=x^2 -x$中,属于一元二次方程的是 (
A.①②
B.②⑤
C.③④
D.③⑥
C
)A.①②
B.②⑤
C.③④
D.③⑥
答案
1.C
2. 母题 教材P₁₉习题T₁ 关于x的方程$(m - \sqrt{3})x^{m^2 -1} - x + 2 = 0$是一元二次方程，则m的值为
$-\sqrt{3}$
。答案
2.$-\sqrt{3}$
点易错 注意一元二次方程中二次项系数不为0。
点易错 注意一元二次方程中二次项系数不为0。
3.把方程$x(x+1)=5(x-2)$化成一般形式$ax^2+bx+c=0$，则$a+b+c$的值为（
A.－3
B.7
C.－5
D.1
B
）A.－3
B.7
C.－5
D.1
答案
3.B
4. 关于$ x $的一元二次方程$ (4 - a)x^2 + a^2x = 16x + 1 $化为一般形式后不含一次项，则$ a $的值为（
A.0
B.$ \pm 4 $
C.4
D.$ -4 $
D
）A.0
B.$ \pm 4 $
C.4
D.$ -4 $
答案
4.D
5. 新考法 表格信息法 下表是代数式 $ax^2 + bx$ 的值的情况，根据表格数据，可知方程 $ax^2 + bx -6=0$ 的根是（
A.$x_1=0,x_2=1$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=4$
C
）A.$x_1=0,x_2=1$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=4$
答案
5.C
6. 新考法·整体代入法 北京四中期中 若m是关于x的方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个解，则代数式$6m - 3m^2 + 2$的值是
$-1$
。答案
6.$-1$
解题支架：把x=m代入方程→$m^2-2m-1=0$→变形得$m^2-2m=1$，将所求式变形→$6m-3m^2+2=-3(m^2-2m)+2$，整体代入求值。7. 上海闵行区期中 新视角·结论开放题 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是-3，写出一个符合要求的方程：
$2x^2 - 3x + 1 = 0$(答案不唯一)
。答案
7.$2x^2 - 3x + 1 = 0$(答案不唯一)
8. 母题教材P₁₉习题T₃ 根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式.
(1)深度求索(DeepSeek)是一家专注人工智能领域的中国科技公司,致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术.据统计,该软件首日在某平台的下载量为48万次,第二天、第三天下载量连续增长,第三天为150万次.求下载量的日平均增长率x；
(2)某学校为落实活动育人的教育理念,计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园,供学生使用.如图,为了方便打理菜园,计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路,阴影部分为种菜区域,已知种菜区域的面积为504平方米,求小路的宽x.
(1)深度求索(DeepSeek)是一家专注人工智能领域的中国科技公司,致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术.据统计,该软件首日在某平台的下载量为48万次,第二天、第三天下载量连续增长,第三天为150万次.求下载量的日平均增长率x；
(2)某学校为落实活动育人的教育理念,计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园,供学生使用.如图,为了方便打理菜园,计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路,阴影部分为种菜区域,已知种菜区域的面积为504平方米,求小路的宽x.
答案
8.【解】(1)$48(1+x)^2=150$,化为一般形式为$48x^2+96x-102=0$.
(2)$30×20-(30x+20x-x^2)=504$,化为一般形式为$x^2-50x+96=0$.
(2)$30×20-(30x+20x-x^2)=504$,化为一般形式为$x^2-50x+96=0$.
9. 天津和平区模拟 新趋势·学科内综合 一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$3x^2 -2x +8=0$，则一次函数$y=\frac{a}{b}x +c$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
9.D 【点拨】$\because$一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$ax^2+(b-2a)x+(c+a-b)=0$,$\therefore$由题意得$\begin{cases}a=3,\\b-2a=-2,\\c+a-b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=4,\\c=9.\end{cases}$$\therefore \frac{a}{b}=\frac{3}{4}＞0$,$c=9＞0$.$\therefore$一次函数$y=\frac{a}{b}x +c$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选 D.
10. 关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$，$b$，$c$满足$a-b+c=0$和$4a+2b+c=0$，则该方程的根是
$x_1=-1,x_2=2$
。答案
10.$x_1=-1,x_2=2$
11. 已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中$a,b,c$分别是$△ ABC$三边的长，若$x=-1$是方程的一个根，则$△ ABC$是
等腰
三角形。答案
11.等腰 【点拨】把$x=-1$代入$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$,得$a+c+(-2b)+a-c=0$,$\therefore a=b$,$\therefore △ ABC$为等腰三角形.
