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1. 下列图象中，以方程$y - 2x - 2 = 0$的解为坐标的点组成的图象是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断方程的解对应的图象，首先可以将二元一次方程转化为一次函数的形式，一次函数的图象就是以该方程的解为坐标的点组成的图象。接下来我们可以通过两点法确定一次函数的图象：分别求出函数与x轴、y轴的交点坐标，再对比四个选项中的图象，找到同时经过这两个交点的图象即可。
【解析】
首先对给定的方程进行变形：
由$y - 2x - 2 = 0$，整理可得一次函数表达式：$y = 2x + 2$。
1. 求函数与y轴的交点：当$x=0$时，代入得$y=2×0 + 2 = 2$，即图象与y轴交于点$(0,2)$；
2. 求函数与x轴的交点：当$y=0$时，代入得$0 = 2x + 2$，解得$x=-1$，即图象与x轴交于点$(-1,0)$。
对比四个选项的图象：
选项A经过$(0,1)$、$(2,0)$，不符合；
选项B经过$(0,-2)$、$(1,0)$，不符合；
选项C经过$(-1,0)$、$(0,2)$，符合要求；
选项D经过$(0,2)$、$(1,0)$，不符合。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数的图象性质；两点法画一次函数图象
【点评】
本题考查二元一次方程和一次函数的对应关系，解题的关键是将方程转化为一次函数形式，通过求坐标轴交点快速判断图象，属于常规基础题型，熟练掌握一次函数图象的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断方程的解对应的图象，首先可以将二元一次方程转化为一次函数的形式，一次函数的图象就是以该方程的解为坐标的点组成的图象。接下来我们可以通过两点法确定一次函数的图象：分别求出函数与x轴、y轴的交点坐标，再对比四个选项中的图象，找到同时经过这两个交点的图象即可。
【解析】
首先对给定的方程进行变形：
由$y - 2x - 2 = 0$，整理可得一次函数表达式：$y = 2x + 2$。
1. 求函数与y轴的交点：当$x=0$时，代入得$y=2×0 + 2 = 2$，即图象与y轴交于点$(0,2)$；
2. 求函数与x轴的交点：当$y=0$时，代入得$0 = 2x + 2$，解得$x=-1$，即图象与x轴交于点$(-1,0)$。
对比四个选项的图象：
选项A经过$(0,1)$、$(2,0)$，不符合；
选项B经过$(0,-2)$、$(1,0)$，不符合；
选项C经过$(-1,0)$、$(0,2)$，符合要求；
选项D经过$(0,2)$、$(1,0)$，不符合。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数的图象性质；两点法画一次函数图象
【点评】
本题考查二元一次方程和一次函数的对应关系，解题的关键是将方程转化为一次函数形式，通过求坐标轴交点快速判断图象，属于常规基础题型，熟练掌握一次函数图象的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 一次函数$y=3x-2$和$y=-2x+3$图象的交点坐标是 （
A.$(1,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(-1,1)$
D.$(-1,-1)$
A
）A.$(1,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(-1,1)$
D.$(-1,-1)$
答案
2. A
解析
【分析】
要求两个一次函数图象的交点坐标，需明确交点的含义：交点同时在两个函数的图象上，即交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式。因此解题思路有两种：一是将两个函数解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是交点坐标；二是将选项逐一代入两个函数解析式验证，同时满足两个解析式的选项即为正确答案。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases} y=3x-2 \\ y=-2x+3 \end{cases}$
将两个方程右边相等消去y得：$3x-2=-2x+3$
移项合并同类项可得：$5x=5$，解得$x=1$
把$x=1$代入$y=3x-2$，得$y=3×1-2=1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$，即交点坐标为$(1,1)$。
方法二：代入验证法
A选项：把$x=1$代入$y=3x-2$得$y=1$，代入$y=-2x+3$也得$y=1$，同时满足两个解析式，符合要求；
B选项：$x=1$代入$y=-2x+3$得$y=1≠-1$，不符合；
C选项：$x=-1$代入$y=3x-2$得$y=-5≠1$，不符合；
D选项：$x=-1$代入两个函数得到的y值均不等于-1，不符合。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数交点的意义；二元一次方程组的求解
【点评】
本题是一次函数相关的基础题型，核心考查一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，两种解题方法都需要熟练掌握，代入验证法在做选择题时可提高解题效率。
【难度系数】
0.9
要求两个一次函数图象的交点坐标，需明确交点的含义：交点同时在两个函数的图象上，即交点的横、纵坐标同时满足两个一次函数的解析式。因此解题思路有两种：一是将两个函数解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是交点坐标；二是将选项逐一代入两个函数解析式验证，同时满足两个解析式的选项即为正确答案。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases} y=3x-2 \\ y=-2x+3 \end{cases}$
将两个方程右边相等消去y得：$3x-2=-2x+3$
移项合并同类项可得：$5x=5$，解得$x=1$
把$x=1$代入$y=3x-2$，得$y=3×1-2=1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$，即交点坐标为$(1,1)$。
方法二：代入验证法
A选项：把$x=1$代入$y=3x-2$得$y=1$，代入$y=-2x+3$也得$y=1$，同时满足两个解析式，符合要求；
B选项：$x=1$代入$y=-2x+3$得$y=1≠-1$，不符合；
C选项：$x=-1$代入$y=3x-2$得$y=-5≠1$，不符合；
D选项：$x=-1$代入两个函数得到的y值均不等于-1，不符合。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数交点的意义；二元一次方程组的求解
【点评】
本题是一次函数相关的基础题型，核心考查一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，两种解题方法都需要熟练掌握，代入验证法在做选择题时可提高解题效率。
【难度系数】
0.9
3. 若一次函数$y=-\frac{1}{2}x -2$与$y=2x -7$的图象交点为$(2,-3)$，则二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = -4, \\2x - y =7\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程的对应关系：任意一个一次函数的表达式都可以变形为二元一次方程的形式，反过来，一个二元一次方程也可以整理为一次函数的形式。而两个一次函数图象的交点坐标，就是同时满足两个函数表达式的x、y的取值，也就是这两个函数对应的二元一次方程组的解。本题中我们先验证给出的方程组是否是已知两个一次函数变形得到的，确认一致后，直接用已知的交点坐标就能得到方程组的解。
【解析】
1. 先将已知的两个一次函数变形为二元一次方程形式：
对$y=-\frac{1}{2}x -2$，两边同乘2得$2y=-x-4$，移项整理可得$x + 2y = -4$；
对$y=2x -7$，移项整理可得$2x - y =7$。
可知题目给出的二元一次方程组，就是这两个一次函数对应的方程组合而成的。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
已知两个一次函数的图象交点为$(2,-3)$，因此该方程组的解就是交点的横、纵坐标值。
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，直接利用已知条件即可得到答案，无需重新解方程组，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程的对应关系：任意一个一次函数的表达式都可以变形为二元一次方程的形式，反过来，一个二元一次方程也可以整理为一次函数的形式。而两个一次函数图象的交点坐标，就是同时满足两个函数表达式的x、y的取值，也就是这两个函数对应的二元一次方程组的解。本题中我们先验证给出的方程组是否是已知两个一次函数变形得到的，确认一致后，直接用已知的交点坐标就能得到方程组的解。
【解析】
1. 先将已知的两个一次函数变形为二元一次方程形式：
对$y=-\frac{1}{2}x -2$，两边同乘2得$2y=-x-4$，移项整理可得$x + 2y = -4$；
对$y=2x -7$，移项整理可得$2x - y =7$。
可知题目给出的二元一次方程组，就是这两个一次函数对应的方程组合而成的。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
已知两个一次函数的图象交点为$(2,-3)$，因此该方程组的解就是交点的横、纵坐标值。
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，直接利用已知条件即可得到答案，无需重新解方程组，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.85
4. (1) 在如图所示的平面直角坐标系中, 利用图象法解二元一次方程组$\begin{cases} x+y=4, \\ 2x-y=-1; \end{cases}$
(2) 求第(1)题中图象与$x$轴所围成的三角形的面积.
(2) 求第(1)题中图象与$x$轴所围成的三角形的面积.
答案
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
(2) $\frac{27}{4}$
(2) $\frac{27}{4}$
解析
【分析】
(1) 图象法解二元一次方程组的核心逻辑：二元一次方程组的解对应组内两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时先把两个方程变形为y=kx+b的一次函数形式，画出两个函数图象后，交点的横、纵坐标就是方程组的解。
(2) 求图象与x轴围成的三角形面积，需要先找到两个一次函数和x轴的交点坐标，再结合两函数的交点坐标，确定三角形的底为两个x轴交点的距离，高为两函数交点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将方程组中的两个方程变形为一次函数形式：
对$x+y=4$移项得：$y=-x+4$；
对$2x-y=-1$移项得：$y=2x+1$。
在坐标系中分别画出直线$y=-x+4$和$y=2x+1$，观察可得两直线交点坐标为$(1,3)$，因此该二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 求两个一次函数与x轴的交点（x轴上点的纵坐标为0）：
对$y=-x+4$，令$y=0$，解得$x=4$，即交点为$(4,0)$；
对$y=2x+1$，令$y=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即交点为$(-\frac{1}{2},0)$。
三角形的底为两个x轴交点的距离：$4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$；
三角形的高为两直线交点纵坐标的绝对值：$3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2) $\frac{27}{4}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查图象法解方程组的原理，同时结合了一次函数与坐标轴交点求解、三角形面积计算的知识点，解题的核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数交点的对应关系，计算过程中注意坐标求解的准确性即可。
【难度系数】
0.7
(1) 图象法解二元一次方程组的核心逻辑：二元一次方程组的解对应组内两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时先把两个方程变形为y=kx+b的一次函数形式，画出两个函数图象后，交点的横、纵坐标就是方程组的解。
(2) 求图象与x轴围成的三角形面积，需要先找到两个一次函数和x轴的交点坐标，再结合两函数的交点坐标，确定三角形的底为两个x轴交点的距离，高为两函数交点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将方程组中的两个方程变形为一次函数形式：
对$x+y=4$移项得：$y=-x+4$；
对$2x-y=-1$移项得：$y=2x+1$。
在坐标系中分别画出直线$y=-x+4$和$y=2x+1$，观察可得两直线交点坐标为$(1,3)$，因此该二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 求两个一次函数与x轴的交点（x轴上点的纵坐标为0）：
对$y=-x+4$，令$y=0$，解得$x=4$，即交点为$(4,0)$；
对$y=2x+1$，令$y=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即交点为$(-\frac{1}{2},0)$。
三角形的底为两个x轴交点的距离：$4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$；
三角形的高为两直线交点纵坐标的绝对值：$3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
(2) $\frac{27}{4}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查图象法解方程组的原理，同时结合了一次函数与坐标轴交点求解、三角形面积计算的知识点，解题的核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数交点的对应关系，计算过程中注意坐标求解的准确性即可。
【难度系数】
0.7
1. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出的相应两个一次函数的图象(如图).该二元一次方程组是 （
A.$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=x+2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=3x+1, \\ y=x-5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=-2x+1, \\ y=x-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=-x+3, \\ y=3x-5 \end{cases}$
（第1题）
D
）A.$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=x+2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=3x+1, \\ y=x-5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=-2x+1, \\ y=x-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=-x+3, \\ y=3x-5 \end{cases}$
（第1题）答案
1. D
解析
【分析】
二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，反过来，两个一次函数的解析式联立就是对应的二元一次方程组。解题时先观察图象得到两条直线经过的点，再用待定系数法分别求出两条直线的解析式，联立解析式得到方程组，对照选项即可选出答案。也可结合直线的增减性（k的正负）先排除错误选项，再验证交点坐标提高解题效率。
【解析】
观察图象可知两条直线的交点坐标为$(2,1)$：
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图可知$l_1$过点$(0,3)$和$(2,1)$。
将$(0,3)$代入得$b_1=3$，再将$(2,1)$、$b_1=3$代入得$1=2k_1+3$，解得$k_1=-1$，因此$l_1$的解析式为$y=-x+3$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图可知$l_2$过点$(0,-5)$和$(2,1)$。
将$(0,-5)$代入得$b_2=-5$，再将$(2,1)$、$b_2=-5$代入得$1=2k_2-5$，解得$k_2=3$，因此$l_2$的解析式为$y=3x-5$。
联立两个解析式得到对应的二元一次方程组为$\begin{cases} y=-x+3 \\ y=3x-5 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题核心是理解一次函数和二元一次方程组的对应关系，既可以通过求解析式得到方程组，也可以通过将交点坐标代入选项逐一验证得到答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，反过来，两个一次函数的解析式联立就是对应的二元一次方程组。解题时先观察图象得到两条直线经过的点，再用待定系数法分别求出两条直线的解析式，联立解析式得到方程组，对照选项即可选出答案。也可结合直线的增减性（k的正负）先排除错误选项，再验证交点坐标提高解题效率。
【解析】
观察图象可知两条直线的交点坐标为$(2,1)$：
1. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图可知$l_1$过点$(0,3)$和$(2,1)$。
将$(0,3)$代入得$b_1=3$，再将$(2,1)$、$b_1=3$代入得$1=2k_1+3$，解得$k_1=-1$，因此$l_1$的解析式为$y=-x+3$。
2. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图可知$l_2$过点$(0,-5)$和$(2,1)$。
将$(0,-5)$代入得$b_2=-5$，再将$(2,1)$、$b_2=-5$代入得$1=2k_2-5$，解得$k_2=3$，因此$l_2$的解析式为$y=3x-5$。
联立两个解析式得到对应的二元一次方程组为$\begin{cases} y=-x+3 \\ y=3x-5 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题核心是理解一次函数和二元一次方程组的对应关系，既可以通过求解析式得到方程组，也可以通过将交点坐标代入选项逐一验证得到答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
2. 已知一次函数$y=ax+2$与$y=kx+b$的图象如图所示，且方程组$\begin{cases} y=ax+2, \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \end{cases}$点B的坐标为$(0,-1)$，P是y轴上的一个动点.若$S_{△ ABP}=6$，则点P的坐标为________.
答案
$(0,5)$或$(0,-7)$
解析
【分析】
首先，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，由此可先确定点A的坐标；其次，点P在y轴上，△ABP的边BP在y轴上，因此BP的长度可作为三角形的底，点A到y轴的水平距离就是该底对应的高；接下来结合三角形面积公式求出BP的长度，再根据点B的坐标，分点P在点B上方和下方两种情况计算点P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 方程组$\begin{cases} y=ax+2 \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$，
∴ 两个一次函数图象的交点A的坐标为$(2,1)$。
设点P的坐标为$(0,m)$，
∵ 点B坐标为$(0,-1)$，
∴ 线段BP的长度为$|m - (-1)|=|m+1|$，
△ABP中，边BP对应的高为点A到y轴的距离，即$|2|=2$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ ABP}=6$得：
$\frac{1}{2}×|m+1|×2=6$，
化简得$|m+1|=6$，
∴ $m+1=6$ 或 $m+1=-6$，
解得$m=5$ 或 $m=-7$，
∴ 点P的坐标为$(0,5)$或$(0,-7)$。
【答案】
$(0,5)$或$(0,-7)$
【知识点】
一次函数与方程组的关系，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，解决动点面积问题时要找准三角形的底和高，涉及数轴上两点距离计算时要注意绝对值的应用，考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，由此可先确定点A的坐标；其次，点P在y轴上，△ABP的边BP在y轴上，因此BP的长度可作为三角形的底，点A到y轴的水平距离就是该底对应的高；接下来结合三角形面积公式求出BP的长度，再根据点B的坐标，分点P在点B上方和下方两种情况计算点P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 方程组$\begin{cases} y=ax+2 \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$，
∴ 两个一次函数图象的交点A的坐标为$(2,1)$。
设点P的坐标为$(0,m)$，
∵ 点B坐标为$(0,-1)$，
∴ 线段BP的长度为$|m - (-1)|=|m+1|$，
△ABP中，边BP对应的高为点A到y轴的距离，即$|2|=2$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ ABP}=6$得：
$\frac{1}{2}×|m+1|×2=6$，
化简得$|m+1|=6$，
∴ $m+1=6$ 或 $m+1=-6$，
解得$m=5$ 或 $m=-7$，
∴ 点P的坐标为$(0,5)$或$(0,-7)$。
【答案】
$(0,5)$或$(0,-7)$
【知识点】
一次函数与方程组的关系，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，解决动点面积问题时要找准三角形的底和高，涉及数轴上两点距离计算时要注意绝对值的应用，考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
