1.一般地,对于方程$x^2 = p$,
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个的实数根;
(2)当$p=0$时,方程有两个的实数根;
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程.
2.根据的意义,把一元二次方程“降次”,转化为两个.

1.(1) 不相等，$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
1.(2) 相等，$x_1=x_2=0$
1.(3) 无实数根
2. 平方根，一元一次方程

【分析】
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的核心原理，解题时结合平方根的性质分析即可。首先回忆平方根的相关性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，对应p的三种取值就能得出方程$x^2=p$的根的情况；其次明确直接开平方法的本质是利用平方根的意义实现降次，把二次方程转化为更低次的方程求解。
【解析】
1. 针对方程$x^2=p$分情况讨论：
(1) 当$p＞0$时，根据平方根的意义，正数有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根，分别为$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，0的平方根仅有0一个，因此方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=0$；
(3) 当$p＜0$时，任意实数的平方均为非负数，不存在实数$x$使得$x^2$为负数，因此方程无实数根。
2. 直接开平方法的依据是平方根的意义，通过开平方操作把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程后即可求解。
【答案】
1.(1) 不相等，$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
1.(2) 相等，$x_1=x_2=0$
1.(3) 无实数根
2. 平方根，一元一次方程
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法；一元二次方程降次
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础概念题，侧重考查对平方根性质的掌握和直接开平方法原理的理解，是学习一元二次方程解法的入门内容，相关结论需熟练掌握，为后续复杂方程的求解打好基础。
【难度系数】
0.9

·练习1 方程$(x+3)^2=4$的根是().

A.$x_1=-1,x_2=-5$
B.$x_1=1,x_2=-5$
C.$x_1=x_2=-1$
D.$x_1=-1,x_2=5$

练习1 A

【分析】
本题可采用直接开平方法求解，首先观察方程结构，左边是含x的一次式的完全平方形式，右边为非负常数4，符合直接开平方法的适用条件。解题时先对等式两边开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，最后匹配对应选项。
【解析】
对原方程$(x+3)^2=4$两边直接开平方，可得：
$x+3=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况求解：
① 当$x+3=2$时，移项得$x=2-3=-1$；
② 当$x+3=-2$时，移项得$x=-2-3=-5$。
因此原方程的根为$x_1=-1$，$x_2=-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是准确识别方程的结构特征，选择合适的求解方法，开平方时注意不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.9

•练习2 如果$x=2$是关于$x$的一元二次方程$x^2=c$的一个根，那么该方程的另一个根是。

练习2 $x=-2$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将已知根$x=2$代入方程$x^2=c$，即可求出常数$c$的值；第二步，将$c$代入原方程，用直接开平方法求解方程，即可得到另一个根。也可结合方程无一次项的结构特点，直接判断两根互为相反数，快速得到结果。
【解析】
$\because x=2$是方程$x^2=c$的一个根，
$\therefore$将$x=2$代入方程得：$2^2 = c$，
解得$c=4$，
$\therefore$原方程为$x^2=4$，
对该方程直接开平方得：$x=\pm2$，
$\therefore$方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-2$，
即方程的另一个根是$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程根的概念的理解和直接开平方法的运用，掌握根的代入求值方法、熟练进行开平方运算是解题的关键，也可根据方程结构特点快速判断两根互为相反数，简化计算过程。
【难度系数】
0.9

1.方程$x^2=16$的解是（）.

A.$x=\pm4$
B.$x=4$
C.$x=-4$
D.$x=16$

1. A

【分析】
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题时首先回忆直接开平方法的适用形式：对于形如$x^2=a$（$a≥0$）的一元二次方程，可直接对等式两边开平方求解，要注意正数的平方根有两个，互为相反数，不能漏解。本题中方程正好符合$x^2=a$的形式，且$a=16≥0$，满足开平方的条件，计算16的平方根即可得到方程的解。
【解析】
对于方程$x^2=16$，根据直接开平方法的运算规则，等式两边同时开平方可得：
$x=\pm\sqrt{16}$
化简$\sqrt{16}=4$，因此$x=\pm4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题核心是牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免出现只保留正根的漏解错误。
【难度系数】
0.9

2.解下列一元二次方程可以直接开平方的是().

A.$x^2 + 6x = 0$
B.$(x - 5)^2 = 16$
C.$x^2 + 5x - 6 = 0$
D.$(x - 2)x + 3x - 8 = 0$

2. B

【分析】
解题时首先要明确直接开平方法的适用条件：只有当一元二次方程可以表示为“含未知数的完全平方式等于非负常数”（即形如$(ax+b)^2=c$，其中$a≠0$，$c≥0$）的形式时，才可以使用直接开平方法求解。接下来我们逐一判断四个选项的方程是否符合该特征即可得出答案。
【解析】
我们根据直接开平方法的适用条件逐个分析选项：
选项A：方程为$x^2+6x=0$，左边不是完全平方式，不符合直接开平方的要求，排除；
选项B：方程为$(x-5)^2=16$，左边是含$x$的完全平方式，右边$16＞0$是非负常数，符合直接开平方的条件，可以直接开方得到$x-5=\pm4$求解，符合要求；
选项C：方程为$x^2+5x-6=0$，是一元二次方程的一般形式，左边为二次三项式，不是完全平方式，不能直接开平方，排除；
选项D：先将方程整理得$x^2+x-8=0$，同样是一般形式，无法直接开平方，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法的适用条件
2. 完全平方式的识别
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是考查直接开平方法的适用范围，只要牢记可直接开平方的一元二次方程的结构特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

3.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）.

A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$

3. B

【分析】
题目要求找出有两个相等实数根的方程，观察四个选项均为$(x-2)^2 = 常数$的形式，属于可直接用开平方法求解的一元二次方程。解题时可结合平方的非负性判断根的情况：任意实数的平方都大于等于0，因此当等式右边的常数小于0时，方程无实根；当右边常数等于0时，方程可化为$x-2=0$，对应两个相等的实根；当右边常数大于0时，开平方后会得到两个互为相反数的结果，对应两个不等的实根，按照这个规律逐一验证选项即可。
【解析】
对于形如$(x-a)^2 = b$的一元二次方程，结合平方的非负性逐一分析选项：
1. 选项A：$(x-2)^2=-1$，右边$-1＜0$，方程无实数根，不符合要求；
2. 选项B：$(x-2)^2=0$，右边为0，开平方得$x-2=0$，解得$x_1=x_2=2$，即有两个相等的实数根，符合要求；
3. 选项C：$(x-2)^2=1$，右边$1＞0$，开平方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=3,x_2=1$，有两个不等的实数根，不符合要求；
4. 选项D：$(x-2)^2=2$，右边$2＞0$，开平方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$，有两个不等的实数根，不符合要求。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法下一元二次方程根的情况判断，熟练掌握平方的性质和开平方运算规则就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9

4.若关于$x$的一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，则$c$的值可以为________（写出一个即可）。

1（答案不唯一）

【分析】
首先观察方程结构，等号左侧是完全平方式$(x+3)^2$，右侧是常数$c$，可结合直接开平方法的适用条件思考：我们知道任意实数的平方都是非负数，因此要使方程有实数根，右侧的$c$必须和左侧平方的取值范围匹配，即$c$要大于等于0，满足这个条件的数值都符合要求，任选其一即可。
【解析】
根据平方的性质可知，对任意实数$x$，都有$(x+3)^2 ≥ 0$。
要使一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，需满足等号右侧的$c$不小于0，即$c ≥ 0$。
因此取任意一个非负数值都符合要求，例如$c=1$。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解方程的前提条件，解题核心是掌握平方数的取值特征，易得分。
【难度系数】
0.9

5.若关于$x$的方程$(x+5)^2 = m - 1$有实数根，则$m$的取值范围是。

5. $m≥1$

【分析】
本题可根据平方的非负性结合直接开平方法的适用条件求解：首先明确任意实数的平方都是非负数，方程左边是完全平方式，取值恒大于等于0，因此要使方程有实数根，等号右侧的表达式也必须大于等于0，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 对于任意实数x，都有$(x+5)^2 ≥ 0$，且方程$(x+5)^2 = m - 1$有实数根
∴ $m - 1 ≥ 0$
解这个不等式，移项得：$m ≥ 1$
【答案】
$m≥1$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方非负性的应用，只要掌握直接开平方法解方程的前提条件，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

6.解下列方程：
(1)$x^2 -1=8$；
(2)$3x^2 -48=0$；
(3)$(x-2)^2 -4=0$；
(4)$2(x-1)^2 -16=0$；
(5)$y^2 -4y +4=9$。

6.(1) $x_1=3,x_2=-3$
6.(2) $x_1=4,x_2=-4$
6.(3) $x_1=0,x_2=4$
6.(4) $x_1=1-2\sqrt{2},x_2=1+2\sqrt{2}$
6.(5) $y_1=5,y_2=-1$

【分析】
这组题目均适合用直接开平方法求解，解题通用思路为：①先通过移项、系数化为1、因式分解等操作，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，形如$a^2=b$（$b≥0$）；②对等式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程；③分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根。
【解析】
(1) 移项得 $x^2=8+1$，即 $x^2=9$，
两边开平方得 $x=\pm\sqrt{9}=\pm3$，
∴ $x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 移项得 $3x^2=48$，
系数化为1得 $x^2=16$，
两边开平方得 $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
∴ $x_1=4$，$x_2=-4$。
(3) 移项得 $(x-2)^2=4$，
两边开平方得 $x-2=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即 $x-2=2$ 或 $x-2=-2$，
解得 $x_1=4$，$x_2=0$。
(4) 移项得 $2(x-1)^2=16$，
系数化为1得 $(x-1)^2=8$，
两边开平方得 $x-1=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$，
即 $x-1=2\sqrt{2}$ 或 $x-1=-2\sqrt{2}$，
解得 $x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_1=1-2\sqrt{2}$。
(5) 左边利用完全平方公式因式分解得 $(y-2)^2=9$，
两边开平方得 $y-2=\pm\sqrt{9}=\pm3$，
即 $y-2=3$ 或 $y-2=-3$，
解得 $y_1=5$，$y_2=-1$。
【答案】
6.(1) $x_1=3,x_2=-3$
6.(2) $x_1=4,x_2=-4$
6.(3) $x_1=0,x_2=4$
6.(4) $x_1=1-2\sqrt{2},x_2=1+2\sqrt{2}$
6.(5) $y_1=5,y_2=-1$
【知识点】
直接开平方法、完全平方公式、平方根运算
【点评】
这是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，熟练掌握“将方程整理为完全平方式等于非负常数”的变形技巧是解题关键，能为后续学习更复杂的一元二次方程解法打好基础。
【难度系数】
0.8