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9. 下列说法正确的有(
(1)$x=-1$是方程$3x+4=0$的解；
(2)$x=0$是方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的解；
(3)$m=1$是方程$9m-5m=4$的解；
(4)$x=\frac{1}{4}$是方程$3x-2=0$的解。
A. (1)和(2)
B. (1)和(3)
C. (2)和(3)
D. (2)和(4)
C
)。(1)$x=-1$是方程$3x+4=0$的解；
(2)$x=0$是方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的解；
(3)$m=1$是方程$9m-5m=4$的解；
(4)$x=\frac{1}{4}$是方程$3x-2=0$的解。
A. (1)和(2)
B. (1)和(3)
C. (2)和(3)
D. (2)和(4)
答案
9. C
解析
【分析】
要判断一个数值是不是对应方程的解，只需将该数值代入方程的左右两边，若两边计算结果相等，则这个数是方程的解，反之则不是。我们按照这个方法逐一验证4个说法即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个验证每个说法：
(1) 将$x=-1$代入方程$3x+4=0$的左边：$3×(-1)+4=1$，右边为$0$，左边$≠$右边，故$x=-1$不是该方程的解，(1)错误；
(2) 将$x=0$代入方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的左边：$\frac{1}{2}×(0+4)=2$，右边为$2$，左边$=$右边，故$x=0$是该方程的解，(2)正确；
(3) 将$m=1$代入方程$9m-5m=4$的左边：$9×1-5×1=4$，右边为$4$，左边$=$右边，故$m=1$是该方程的解，(3)正确；
(4) 将$x=\frac{1}{4}$代入方程$3x-2=0$的左边：$3×\frac{1}{4}-2=-\frac{5}{4}$，右边为$0$，左边$≠$右边，故$x=\frac{1}{4}$不是该方程的解，(4)错误。
综上，正确的是(2)和(3)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代入法检验方程的解
【点评】
本题是基础题，核心考查方程解的判定方法，只要掌握代入检验的思路，计算时认真仔细，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要判断一个数值是不是对应方程的解，只需将该数值代入方程的左右两边，若两边计算结果相等，则这个数是方程的解，反之则不是。我们按照这个方法逐一验证4个说法即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个验证每个说法：
(1) 将$x=-1$代入方程$3x+4=0$的左边：$3×(-1)+4=1$，右边为$0$，左边$≠$右边，故$x=-1$不是该方程的解，(1)错误；
(2) 将$x=0$代入方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的左边：$\frac{1}{2}×(0+4)=2$，右边为$2$，左边$=$右边，故$x=0$是该方程的解，(2)正确；
(3) 将$m=1$代入方程$9m-5m=4$的左边：$9×1-5×1=4$，右边为$4$，左边$=$右边，故$m=1$是该方程的解，(3)正确；
(4) 将$x=\frac{1}{4}$代入方程$3x-2=0$的左边：$3×\frac{1}{4}-2=-\frac{5}{4}$，右边为$0$，左边$≠$右边，故$x=\frac{1}{4}$不是该方程的解，(4)错误。
综上，正确的是(2)和(3)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代入法检验方程的解
【点评】
本题是基础题，核心考查方程解的判定方法，只要掌握代入检验的思路，计算时认真仔细，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
10.已知$x=3$是关于$x$的方程$2x - a = 1$的解，则$a$的值是（
A.$-5$
B.$5$
C.$7$
D.$2$
B
）。A.$-5$
B.$5$
C.$7$
D.$2$
答案
10. B
解析
【分析】
本题考查方程的解的应用，解题思路如下：首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=3是方程的解，那么将x=3代入原方程，原方程就会转化为一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
∵x=3是方程$2x - a = 1$的解
∴将$x=3$代入方程得：
$2×3 - a = 1$
计算得：$6 - a = 1$
移项得：$a = 6 - 1$
解得：$a = 5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的含义，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，通过代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查方程的解的应用，解题思路如下：首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=3是方程的解，那么将x=3代入原方程，原方程就会转化为一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
∵x=3是方程$2x - a = 1$的解
∴将$x=3$代入方程得：
$2×3 - a = 1$
计算得：$6 - a = 1$
移项得：$a = 6 - 1$
解得：$a = 5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的含义，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，通过代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11.请写出一个解为$x=-3$的一元一次方程：
$x+4=1$(答案不唯一)
。答案
11. $x+4=1$(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造解为$x=-3$的一元一次方程，首先要明确两个核心要点：一是一元一次方程需满足“只含1个未知数、未知数次数为1、等号两边为整式”的要求；二是方程的解的定义是把该值代入方程后，等号左右两边相等。我们可以先写出$x=-3$这个最基础的等式，再根据等式的性质，给等式两边同时加、减、乘同一个不为0的数，就能得到符合要求的方程，比如给两边同时加4，即可得到$x+4=1$。
【解析】
首先明确相关定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
第一步：先写出基础等式$\boldsymbol{x=-3}$
第二步：根据等式的性质1，给等式两边同时加4，可得：
$x+4=-3+4$
第三步：化简后得到$\boldsymbol{x+4=1}$
验证：把$x=-3$代入方程左边，得$-3+4=1$，和右边相等，且该方程符合一元一次方程的要求。注：答案不唯一，只要同时满足上述两个条件均可。
【答案】
$x+4=1$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对一元一次方程相关概念的理解与运用，构造方程时只要同时满足“是一元一次方程”“代入$x=-3$后等式成立”两个要求即可，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.9
要构造解为$x=-3$的一元一次方程，首先要明确两个核心要点：一是一元一次方程需满足“只含1个未知数、未知数次数为1、等号两边为整式”的要求；二是方程的解的定义是把该值代入方程后，等号左右两边相等。我们可以先写出$x=-3$这个最基础的等式，再根据等式的性质，给等式两边同时加、减、乘同一个不为0的数，就能得到符合要求的方程，比如给两边同时加4，即可得到$x+4=1$。
【解析】
首先明确相关定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
第一步：先写出基础等式$\boldsymbol{x=-3}$
第二步：根据等式的性质1，给等式两边同时加4，可得：
$x+4=-3+4$
第三步：化简后得到$\boldsymbol{x+4=1}$
验证：把$x=-3$代入方程左边，得$-3+4=1$，和右边相等，且该方程符合一元一次方程的要求。注：答案不唯一，只要同时满足上述两个条件均可。
【答案】
$x+4=1$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对一元一次方程相关概念的理解与运用，构造方程时只要同时满足“是一元一次方程”“代入$x=-3$后等式成立”两个要求即可，解题思路灵活多样。
【难度系数】
0.9
12. 根据条件列出方程：
(1)$2x$与$-3$的和是7；
(2)$2x$的相反数与18的差是20；
(3)某数的2倍比它的$\frac{1}{4}$大7；
(4)小明的妈妈今年44岁，比小明的岁数的3倍还大2岁，设小明今年$x$岁；
(5)代数式$2x+1$和$5x-8$互为相反数。
(1)$2x$与$-3$的和是7；
(2)$2x$的相反数与18的差是20；
(3)某数的2倍比它的$\frac{1}{4}$大7；
(4)小明的妈妈今年44岁，比小明的岁数的3倍还大2岁，设小明今年$x$岁；
(5)代数式$2x+1$和$5x-8$互为相反数。
答案
解:(1)$2x+(-3)=7$。
(2)$-2x-18=20$。
(3)设这个数为$x$,则 $2x-\frac{1}{4}x=7$。
(4)$3x+2=44$。
(5)$2x+1+5x-8=0$。
(2)$-2x-18=20$。
(3)设这个数为$x$,则 $2x-\frac{1}{4}x=7$。
(4)$3x+2=44$。
(5)$2x+1+5x-8=0$。
解析
【分析】
列方程的核心是找准题干中的等量关系，将文字描述转化为数学表达式即可解题：
1. 第(1)问抓住“和是7”的等量关系，即两个相加项2x、-3的运算结果等于7；
2. 第(2)问先明确2x的相反数是-2x，再抓住“差是20”的等量关系，即-2x减去18的结果等于20；
3. 第(3)问先设未知数表示所求数，抓住“2倍比它的$\frac{1}{4}$大7”的等量关系，即大数减小数等于差值7；
4. 第(4)问抓住妈妈年龄和小明年龄的等量关系：小明年龄的3倍加2等于妈妈的年龄44岁；
5. 第(5)问利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，直接令两个代数式相加等于0即可。
【解析】
(1) $2x$与$-3$的和为7，列方程得：$2x+(-3)=7$；
(2) $2x$的相反数为$-2x$，它与18的差是20，列方程得：$-2x-18=20$；
(3) 设这个数为$x$，它的2倍比它的$\frac{1}{4}$大7，列方程得：$2x-\frac{1}{4}x=7$；
(4) 小明今年$x$岁，他年龄的3倍加2等于妈妈的年龄44岁，列方程得：$3x+2=44$；
(5) 互为相反数的两个数之和为0，两个代数式互为相反数，列方程得：$2x+1+5x-8=0$。
【答案】
(1)$2x+(-3)=7$
(2)$-2x-18=20$
(3)设这个数为$x$,则 $2x-\frac{1}{4}x=7$
(4)$3x+2=44$
(5)$2x+1+5x-8=0$
【知识点】
列一元一次方程，相反数的性质，等量关系识别
【点评】
本题是方程入门的基础题型，解题重点是准确将文字中的运算关系转化为数学式子，掌握相反数等基础概念就能顺利完成。
【难度系数】
0.8
列方程的核心是找准题干中的等量关系，将文字描述转化为数学表达式即可解题：
1. 第(1)问抓住“和是7”的等量关系，即两个相加项2x、-3的运算结果等于7；
2. 第(2)问先明确2x的相反数是-2x，再抓住“差是20”的等量关系，即-2x减去18的结果等于20；
3. 第(3)问先设未知数表示所求数，抓住“2倍比它的$\frac{1}{4}$大7”的等量关系，即大数减小数等于差值7；
4. 第(4)问抓住妈妈年龄和小明年龄的等量关系：小明年龄的3倍加2等于妈妈的年龄44岁；
5. 第(5)问利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，直接令两个代数式相加等于0即可。
【解析】
(1) $2x$与$-3$的和为7，列方程得：$2x+(-3)=7$；
(2) $2x$的相反数为$-2x$，它与18的差是20，列方程得：$-2x-18=20$；
(3) 设这个数为$x$，它的2倍比它的$\frac{1}{4}$大7，列方程得：$2x-\frac{1}{4}x=7$；
(4) 小明今年$x$岁，他年龄的3倍加2等于妈妈的年龄44岁，列方程得：$3x+2=44$；
(5) 互为相反数的两个数之和为0，两个代数式互为相反数，列方程得：$2x+1+5x-8=0$。
【答案】
(1)$2x+(-3)=7$
(2)$-2x-18=20$
(3)设这个数为$x$,则 $2x-\frac{1}{4}x=7$
(4)$3x+2=44$
(5)$2x+1+5x-8=0$
【知识点】
列一元一次方程，相反数的性质，等量关系识别
【点评】
本题是方程入门的基础题型，解题重点是准确将文字中的运算关系转化为数学式子，掌握相反数等基础概念就能顺利完成。
【难度系数】
0.8
13.【数学文化】方程是指含有未知数的表示量相等的等式。使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。“方程”一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”。
方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等，还可组成方程组求解多个未知数，其中“元”代表未知数，“次”代表未知数的最高次数。
例如，$2x - 3 = 0$是一元一次方程，$x^2 + 2x -5=0$是
方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等，还可组成方程组求解多个未知数，其中“元”代表未知数，“次”代表未知数的最高次数。
例如，$2x - 3 = 0$是一元一次方程，$x^2 + 2x -5=0$是
一
元二
次方程，$x+y=6$是二
元一
次方程。请试写出方程$x+y=6$的一组解：$x=$1
，$y=$5
。答案
13. 一 二 二 一 1 5（最后两空答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的核心定义：“元”代表方程中未知数的个数，“次”代表方程中未知数的最高次数，我们根据这个定义依次判断两个方程的类型；再根据二元一次方程解的含义，给其中一个未知数赋值，即可求出对应的另一个未知数的值，得到一组解。
【解析】
1. 判断$x^2 + 2x -5=0$的类型：该方程仅含有1个未知数$x$，且未知数$x$的最高次数是2，因此是一元二次方程，前两空依次填“一”“二”。
2. 判断$x+y=6$的类型：该方程含有$x$、$y$共2个未知数，且两个未知数的最高次数都是1，因此是二元一次方程，接下来两空依次填“二”“一”。
3. 求$x+y=6$的一组解：任意给$x$取一个数值，例如令$x=1$，代入方程得$1+y=6$，解得$y=5$，即可得到一组解（答案不唯一，只要满足$x+y=6$即可）。
【答案】
一 二 二 一 1 5（最后两空答案不唯一）
【知识点】
方程的元与次的定义，二元一次方程的解
【点评】
本题结合古代数学文化考查方程的基础概念，属于基础题，解题的关键是读懂题干给出的“元”“次”的定义，灵活运用定义判断方程类型，同时要注意二元一次方程有无数组解，只要使等式成立即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的核心定义：“元”代表方程中未知数的个数，“次”代表方程中未知数的最高次数，我们根据这个定义依次判断两个方程的类型；再根据二元一次方程解的含义，给其中一个未知数赋值，即可求出对应的另一个未知数的值，得到一组解。
【解析】
1. 判断$x^2 + 2x -5=0$的类型：该方程仅含有1个未知数$x$，且未知数$x$的最高次数是2，因此是一元二次方程，前两空依次填“一”“二”。
2. 判断$x+y=6$的类型：该方程含有$x$、$y$共2个未知数，且两个未知数的最高次数都是1，因此是二元一次方程，接下来两空依次填“二”“一”。
3. 求$x+y=6$的一组解：任意给$x$取一个数值，例如令$x=1$，代入方程得$1+y=6$，解得$y=5$，即可得到一组解（答案不唯一，只要满足$x+y=6$即可）。
【答案】
一 二 二 一 1 5（最后两空答案不唯一）
【知识点】
方程的元与次的定义，二元一次方程的解
【点评】
本题结合古代数学文化考查方程的基础概念，属于基础题，解题的关键是读懂题干给出的“元”“次”的定义，灵活运用定义判断方程类型，同时要注意二元一次方程有无数组解，只要使等式成立即可。
【难度系数】
0.9
