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1. 运用乘法公式计算$(m - 2)^2$的结果是(
A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
C
).A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题思路如下：第一步，先识别算式$(m-2)^2$属于两数差的平方形式，对应完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；第二步，确定公式中$a$对应$m$，$b$对应$2$；第三步，将$a$、$b$代入公式展开计算，再和选项对比选出正确答案即可，注意不要混淆完全平方公式和平方差公式，避免漏掉中间的交叉项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
在$(m-2)^2$中，$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2 + 2^2=m^2-4m+4$，
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式的掌握程度，解题时需准确记忆公式形式，区分完全平方公式与平方差公式的差异，避免出现符号错误或漏算中间项的问题。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方差公式的应用，解题思路如下：第一步，先识别算式$(m-2)^2$属于两数差的平方形式，对应完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；第二步，确定公式中$a$对应$m$，$b$对应$2$；第三步，将$a$、$b$代入公式展开计算，再和选项对比选出正确答案即可，注意不要混淆完全平方公式和平方差公式，避免漏掉中间的交叉项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
在$(m-2)^2$中，$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2 + 2^2=m^2-4m+4$，
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式的掌握程度，解题时需准确记忆公式形式，区分完全平方公式与平方差公式的差异，避免出现符号错误或漏算中间项的问题。
【难度系数】
0.9
2. 运算结果是$x^4y^2 - 2x^2y +1$的是(
A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
C
).A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
答案
2. C
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题有两种常用思路：①逆用完全平方公式：先观察目标多项式的结构，它是三项式，符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的完全平方式特征，先将首尾两项转化为平方形式，再匹配中间项的符号和系数，即可得到对应的完全平方形式；②正向验证法：将四个选项分别按照完全平方公式展开，把展开结果和题干给出的多项式逐一对比，匹配一致的即为正确选项，正向展开出错率更低，更适合刚学习完全平方公式的同学使用。
【解析】
方法一：逆用完全平方公式
完全平方差公式为：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
将题干多项式$x^4y^2 - 2x^2y + 1$变形可得：
首项$x^4y^2 = (x^2y)^2$，尾项$1 = 1^2$，中间项$-2x^2y = -2 × 1 × x^2y$，完全符合完全平方差公式的结构，其中$a = x^2y$，$b=1$
因此$x^4y^2 - 2x^2y +1 = (x^2y - 1)^2 = (-1 + x^2y)^2$，对应选项C。
方法二：逐一展开选项验证
根据完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$分别计算各选项：
A选项：$(-1 + x^2y^2)^2 = x^4y^4 - 2x^2y^2 +1$，与题干结果不符，排除；
B选项：$(1 + x^2y^2)^2 = x^4y^4 + 2x^2y^2 +1$，与题干结果不符，排除；
C选项：$(-1 + x^2y)^2 = x^4y^2 - 2x^2y +1$，与题干结果完全一致，符合要求；
D选项：$(-1 - x^2y)^2 = x^4y^2 + 2x^2y +1$，与题干结果不符，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，解题时要注意区分完全平方和、差公式的中间项符号，同时留意各项字母的次数，避免因看错幂的次数或符号选错选项，正向展开验证的方法准确率更高，基础薄弱的同学可以优先选择该方法。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，解题有两种常用思路：①逆用完全平方公式：先观察目标多项式的结构，它是三项式，符合“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的完全平方式特征，先将首尾两项转化为平方形式，再匹配中间项的符号和系数，即可得到对应的完全平方形式；②正向验证法：将四个选项分别按照完全平方公式展开，把展开结果和题干给出的多项式逐一对比，匹配一致的即为正确选项，正向展开出错率更低，更适合刚学习完全平方公式的同学使用。
【解析】
方法一：逆用完全平方公式
完全平方差公式为：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
将题干多项式$x^4y^2 - 2x^2y + 1$变形可得：
首项$x^4y^2 = (x^2y)^2$，尾项$1 = 1^2$，中间项$-2x^2y = -2 × 1 × x^2y$，完全符合完全平方差公式的结构，其中$a = x^2y$，$b=1$
因此$x^4y^2 - 2x^2y +1 = (x^2y - 1)^2 = (-1 + x^2y)^2$，对应选项C。
方法二：逐一展开选项验证
根据完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$分别计算各选项：
A选项：$(-1 + x^2y^2)^2 = x^4y^4 - 2x^2y^2 +1$，与题干结果不符，排除；
B选项：$(1 + x^2y^2)^2 = x^4y^4 + 2x^2y^2 +1$，与题干结果不符，排除；
C选项：$(-1 + x^2y)^2 = x^4y^2 - 2x^2y +1$，与题干结果完全一致，符合要求；
D选项：$(-1 - x^2y)^2 = x^4y^2 + 2x^2y +1$，与题干结果不符，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，解题时要注意区分完全平方和、差公式的中间项符号，同时留意各项字母的次数，避免因看错幂的次数或符号选错选项，正向展开验证的方法准确率更高，基础薄弱的同学可以优先选择该方法。
【难度系数】
0.8
3. 将四个全等的小长方形如图摆放，恰好形成一个大正方形和中间的一个小正方形，则下列等式中，能准确描述其中所蕴含的几何关系的是(
A.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
B.$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
C.$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2$
D.$(a + 2b)(a - b) = a^2 + ab - 2b^2$
B
).A.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
B.$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
C.$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2$
D.$(a + 2b)(a - b) = a^2 + ab - 2b^2$
答案
3. B
解析
【分析】
解决本题可采用面积法分析：首先观察图形结构，4个全等的小长方形拼成大正方形后，中间形成小正方形。我们可以通过两种方式表示中间小正方形的面积：一是直接用小正方形的边长计算面积，二是用大正方形面积减去4个小长方形的总面积，两个面积相等即可推导出对应的代数等式。
【解析】
由图形标注可知，小长方形的长为$a$，宽为$b$：
1. 大正方形的边长为小长方形的长与宽之和，即$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 4个全等小长方形的总面积为$4× a× b=4ab$；
3. 中间小正方形的边长为小长方形的长与宽之差，即$a-b$，因此小正方形的面积为$(a-b)^2$；
4. 根据面积关系：小正方形面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的总面积，代入得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，面积法，正方形面积计算
【点评】
本题是完全平方公式几何意义的典型考题，通过数形结合的方式，将代数公式与几何图形面积关系结合，考查学生对公式的理解和应用能力，以及数形结合思想的掌握。
【难度系数】
0.7
解决本题可采用面积法分析：首先观察图形结构，4个全等的小长方形拼成大正方形后，中间形成小正方形。我们可以通过两种方式表示中间小正方形的面积：一是直接用小正方形的边长计算面积，二是用大正方形面积减去4个小长方形的总面积，两个面积相等即可推导出对应的代数等式。
【解析】
由图形标注可知，小长方形的长为$a$，宽为$b$：
1. 大正方形的边长为小长方形的长与宽之和，即$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 4个全等小长方形的总面积为$4× a× b=4ab$；
3. 中间小正方形的边长为小长方形的长与宽之差，即$a-b$，因此小正方形的面积为$(a-b)^2$；
4. 根据面积关系：小正方形面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的总面积，代入得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，面积法，正方形面积计算
【点评】
本题是完全平方公式几何意义的典型考题，通过数形结合的方式，将代数公式与几何图形面积关系结合，考查学生对公式的理解和应用能力，以及数形结合思想的掌握。
【难度系数】
0.7
4. 将$102^2$变形正确的是(
A.$102^2=100^2+2^2$
B.$102^2=100^2-2×100×2+2^2$
C.$102^2=100^2+4×100+2^2$
D.$102^2=100^2+100×2+2^2$
C
).A.$102^2=100^2+2^2$
B.$102^2=100^2-2×100×2+2^2$
C.$102^2=100^2+4×100+2^2$
D.$102^2=100^2+100×2+2^2$
答案
4. C
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步，将底数102拆分为整百数加个位数的形式，也就是100+2，方便套用完全平方公式计算；第二步，回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把$a=100$、$b=2$代入公式展开；第三步，把展开后的结果和四个选项逐一对比，选出匹配的正确选项。
【解析】
首先将102改写为$100+2$，因此$102^2=(100+2)^2$。
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=100$，$b=2$可得：
$(100+2)^2=100^2 + 2×100×2 + 2^2 = 100^2 + 4×100 + 2^2$
将展开结果与选项对比，只有C选项符合计算结果。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是正确拆分底数，熟记完全平方公式的展开形式，要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免漏乘中间项的系数导致出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步，将底数102拆分为整百数加个位数的形式，也就是100+2，方便套用完全平方公式计算；第二步，回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，把$a=100$、$b=2$代入公式展开；第三步，把展开后的结果和四个选项逐一对比，选出匹配的正确选项。
【解析】
首先将102改写为$100+2$，因此$102^2=(100+2)^2$。
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=100$，$b=2$可得：
$(100+2)^2=100^2 + 2×100×2 + 2^2 = 100^2 + 4×100 + 2^2$
将展开结果与选项对比，只有C选项符合计算结果。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是正确拆分底数，熟记完全平方公式的展开形式，要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免漏乘中间项的系数导致出错。
【难度系数】
0.8
5.若$(x+k)^2=x^2-6x+9$,则$k$的值是
-3
.答案
5. -3
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察等式右侧的二次三项式$x^2-6x+9$，符合完全平方式的特点，我们可以先将右侧转化为完全平方的形式，再和左侧的$(x+k)^2$对比底数，即可求出参数$k$的值。
【解析】
根据完全平方差公式对等式右侧变形：
$x^2-6x+9=x^2-2· x·3 + 3^2=(x-3)^2$
将变形结果代入原等式，可得：
$(x+k)^2=(x-3)^2$
由于等式对任意$x$均成立，因此两个完全平方的底数对应相等，即$k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别完全平方式并完成因式分解，通过对应项相等求解未知参数，属于基础类习题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。观察等式右侧的二次三项式$x^2-6x+9$，符合完全平方式的特点，我们可以先将右侧转化为完全平方的形式，再和左侧的$(x+k)^2$对比底数，即可求出参数$k$的值。
【解析】
根据完全平方差公式对等式右侧变形：
$x^2-6x+9=x^2-2· x·3 + 3^2=(x-3)^2$
将变形结果代入原等式，可得：
$(x+k)^2=(x-3)^2$
由于等式对任意$x$均成立，因此两个完全平方的底数对应相等，即$k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查完全平方公式的基础应用，解题关键是准确识别完全平方式并完成因式分解，通过对应项相等求解未知参数，属于基础类习题。
【难度系数】
0.8
6. 运用完全平方公式计算：
(1)$(5a + 4b)^2$； (2)$(3x - 2y)^2$；
(3)$199^2$； (4)$9.98^2$。
(1)$(5a + 4b)^2$； (2)$(3x - 2y)^2$；
(3)$199^2$； (4)$9.98^2$。
答案
6. 解 (1)原式=$(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$.
(2)原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$.
(3)$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40\ 000-400+1=39\ 601$.
(4)原式=$(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$.
(2)原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$.
(3)$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40\ 000-400+1=39\ 601$.
(4)原式=$(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$.
解析
【分析】
解决本题首先要熟练掌握完全平方公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，解题时先判断对应“和的平方”还是“差的平方”，找准公式里的a、b分别对应的代数式或数值再代入计算即可。其中(1)(2)为整式的完全平方计算，直接确定a、b后代入公式展开化简；(3)(4)为有理数的简便计算，先把接近整十、整百的数拆成“整十/整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式计算，比直接计算更简便准确。
【解析】
(1) $(5a+4b)^2$属于和的完全平方，对应公式中$a=5a$，$b=4b$，代入得：
原式=$(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$
(2) $(3x-2y)^2$属于差的完全平方，对应公式中$a=3x$，$b=2y$，代入得：
原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
(3) 把199改写为$200-1$，套用差的完全平方公式计算：
$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601$
(4) 把9.98改写为$10-0.02$，套用差的完全平方公式计算：
原式=$(10-0.02)^2=10^2-2×10×0.02+0.02^2=100-0.4+0.0004=99.6004$
【答案】
(1)$25a^2+40ab+16b^2$；(2)$9x^2-12xy+4y^2$；(3)$39601$；(4)$99.6004$
【知识点】
完全平方公式，简便运算，整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，既考查对公式结构特征的识记和直接套用能力，也考查灵活运用公式简化计算的能力，解题时需注意避免漏写2ab项、符号出错或系数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要熟练掌握完全平方公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，解题时先判断对应“和的平方”还是“差的平方”，找准公式里的a、b分别对应的代数式或数值再代入计算即可。其中(1)(2)为整式的完全平方计算，直接确定a、b后代入公式展开化简；(3)(4)为有理数的简便计算，先把接近整十、整百的数拆成“整十/整百数±较小数”的形式，再套用完全平方公式计算，比直接计算更简便准确。
【解析】
(1) $(5a+4b)^2$属于和的完全平方，对应公式中$a=5a$，$b=4b$，代入得：
原式=$(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$
(2) $(3x-2y)^2$属于差的完全平方，对应公式中$a=3x$，$b=2y$，代入得：
原式=$(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
(3) 把199改写为$200-1$，套用差的完全平方公式计算：
$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601$
(4) 把9.98改写为$10-0.02$，套用差的完全平方公式计算：
原式=$(10-0.02)^2=10^2-2×10×0.02+0.02^2=100-0.4+0.0004=99.6004$
【答案】
(1)$25a^2+40ab+16b^2$；(2)$9x^2-12xy+4y^2$；(3)$39601$；(4)$99.6004$
【知识点】
完全平方公式，简便运算，整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，既考查对公式结构特征的识记和直接套用能力，也考查灵活运用公式简化计算的能力，解题时需注意避免漏写2ab项、符号出错或系数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
7. 计算下列各题：
(1) $(a - 2b)^2 - (2a + b)(b - 2a) - 4a(a - b)$；
(2) $(2x + 3y)^2 - (4x - 9y)(4x + 9y) + (3x - 2y)^2$。
(1) $(a - 2b)^2 - (2a + b)(b - 2a) - 4a(a - b)$；
(2) $(2x + 3y)^2 - (4x - 9y)(4x + 9y) + (3x - 2y)^2$。
答案
7. 解 (1)原式=$a^2-4ab+4b^2-b^2+4a^2-4a^2+4ab=a^2+3b^2$.
(2)原式=$4x^2+12xy+9y^2-16x^2+81y^2+9x^2-12xy+4y^2=-3x^2+94y^2$.
(2)原式=$4x^2+12xy+9y^2-16x^2+81y^2+9x^2-12xy+4y^2=-3x^2+94y^2$.
解析
【分析】
这两道题均属于整式混合运算题，解题思路如下：首先观察每一项的结构，识别对应的运算规则：①遇到$(m\pm n)^2$形式的式子，使用完全平方公式展开；②遇到$(m+n)(m-n)$形式的式子，使用平方差公式展开；③遇到单项式乘多项式的形式，使用乘法分配律展开；所有项展开后，再合并同类项即可得到结果，运算过程中需重点注意符号变化，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号。
【解析】
(1) 分别展开各项再合并同类项：
首先用完全平方公式展开$(a-2b)^2$得$a^2 - 4ab + 4b^2$；
再将$(2a+b)(b-2a)$变形为$(b+2a)(b-2a)$，用平方差公式计算后去括号得$-(b^2 - 4a^2) = -b^2 + 4a^2$；
用乘法分配律展开$-4a(a-b)$得$-4a^2 + 4ab$；
最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 4a^2 - 4a^2 + 4ab\\&=a^2 + 3b^2\end{aligned}$
(2) 分别展开各项再合并同类项：
用完全平方公式展开得$(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$，$(3x-2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$；
用平方差公式计算$(4x-9y)(4x+9y)$后去括号得$-(16x^2 - 81y^2) = -16x^2 + 81y^2$；
最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - 16x^2 + 81y^2 + 9x^2 - 12xy + 4y^2\\&=-3x^2 + 94y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 + 3b^2$；(2) $-3x^2 + 94y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对乘法公式的识别与应用能力，解题的关键是准确匹配对应公式展开各项，运算时注意符号规则，避免因符号错误失分，熟练掌握乘法公式能大幅提升整式运算的效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这两道题均属于整式混合运算题，解题思路如下：首先观察每一项的结构，识别对应的运算规则：①遇到$(m\pm n)^2$形式的式子，使用完全平方公式展开；②遇到$(m+n)(m-n)$形式的式子，使用平方差公式展开；③遇到单项式乘多项式的形式，使用乘法分配律展开；所有项展开后，再合并同类项即可得到结果，运算过程中需重点注意符号变化，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号。
【解析】
(1) 分别展开各项再合并同类项：
首先用完全平方公式展开$(a-2b)^2$得$a^2 - 4ab + 4b^2$；
再将$(2a+b)(b-2a)$变形为$(b+2a)(b-2a)$，用平方差公式计算后去括号得$-(b^2 - 4a^2) = -b^2 + 4a^2$；
用乘法分配律展开$-4a(a-b)$得$-4a^2 + 4ab$；
最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 4a^2 - 4a^2 + 4ab\\&=a^2 + 3b^2\end{aligned}$
(2) 分别展开各项再合并同类项：
用完全平方公式展开得$(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$，$(3x-2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$；
用平方差公式计算$(4x-9y)(4x+9y)$后去括号得$-(16x^2 - 81y^2) = -16x^2 + 81y^2$；
最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - 16x^2 + 81y^2 + 9x^2 - 12xy + 4y^2\\&=-3x^2 + 94y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 + 3b^2$；(2) $-3x^2 + 94y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对乘法公式的识别与应用能力，解题的关键是准确匹配对应公式展开各项，运算时注意符号规则，避免因符号错误失分，熟练掌握乘法公式能大幅提升整式运算的效率和准确率。
【难度系数】
0.7
8. (1)已知$(x+y)^2=16$，$(x-y)^2=4$，求$xy$的值；
(2)若$(a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$，求$a^2+b^2$和$ab$的值。
(2)若$(a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$，求$a^2+b^2$和$ab$的值。
答案
8. 解 (1)$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4$,
$\therefore x^2+2xy+y^2=16$,①
$x^2-2xy+y^2=4$,②
①$-$②,得$4xy=12$,
解得$xy=3$.
(2)$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=13$,①
$a^2-2ab+b^2=7$,②
①$+$②,得$2a^2+2b^2=20$,
$\therefore a^2+b^2=10$.
①$-$②,得$4ab=6$,$\therefore ab=\dfrac{3}{2}$.
$\therefore x^2+2xy+y^2=16$,①
$x^2-2xy+y^2=4$,②
①$-$②,得$4xy=12$,
解得$xy=3$.
(2)$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=13$,①
$a^2-2ab+b^2=7$,②
①$+$②,得$2a^2+2b^2=20$,
$\therefore a^2+b^2=10$.
①$-$②,得$4ab=6$,$\therefore ab=\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a±b)^2=a²±2ab+b²$，将题目给出的两个完全平方式分别展开，观察展开式的结构：两个展开式都含有相同的平方和项，仅中间交叉项的符号相反。(1)要求$xy$的值，可将两个展开式相减，消去$x²$、$y²$项，即可得到只含$xy$的等式，求解即可；(2)要求$a²+b²$，将两个展开式相加，消去$ab$项即可得到只含$a²+b²$的等式求解，要求$ab$则参照(1)的方法将两式相减求解。
【解析】
(1) $\because (x+y)^2=16$，$(x-y)^2=4$，
根据完全平方公式展开得：
$x^2+2xy+y^2=16$ ①
$x^2-2xy+y^2=4$ ②
①$-$②，得$4xy=12$，
解得$xy=3$。
(2) $\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$，
根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13$ ①
$a^2-2ab+b^2=7$ ②
①$+$②，得$2a^2+2b^2=20$，
$\therefore a^2+b^2=10$。
①$-$②，得$4ab=6$，
$\therefore ab=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $xy=3$；
(2) $a^2+b^2=10$，$ab=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式加减
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是掌握两个完全平方展开式的结构特点，通过作和、作差的消元思想快速得到目标代数式的值，熟练掌握相关变形能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：$(a±b)^2=a²±2ab+b²$，将题目给出的两个完全平方式分别展开，观察展开式的结构：两个展开式都含有相同的平方和项，仅中间交叉项的符号相反。(1)要求$xy$的值，可将两个展开式相减，消去$x²$、$y²$项，即可得到只含$xy$的等式，求解即可；(2)要求$a²+b²$，将两个展开式相加，消去$ab$项即可得到只含$a²+b²$的等式求解，要求$ab$则参照(1)的方法将两式相减求解。
【解析】
(1) $\because (x+y)^2=16$，$(x-y)^2=4$，
根据完全平方公式展开得：
$x^2+2xy+y^2=16$ ①
$x^2-2xy+y^2=4$ ②
①$-$②，得$4xy=12$，
解得$xy=3$。
(2) $\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=7$，
根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13$ ①
$a^2-2ab+b^2=7$ ②
①$+$②，得$2a^2+2b^2=20$，
$\therefore a^2+b^2=10$。
①$-$②，得$4ab=6$，
$\therefore ab=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $xy=3$；
(2) $a^2+b^2=10$，$ab=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式加减
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是掌握两个完全平方展开式的结构特点，通过作和、作差的消元思想快速得到目标代数式的值，熟练掌握相关变形能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
