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分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个
分式的分子与分母乘(或除以)同一个
不等于0
的整式，分式的值不变.用式子表示为$\frac{A}{B}=\frac{A · C}{B · C},\frac{A}{B}=\frac{A ÷ C}{B ÷ C}$，其中A，B，C$(C≠0)$是整式.答案
不等于0
解析
【分析】
解题时可从分式有意义的条件入手思考：分式有意义的前提是分母不为0。若分子、分母同时乘或除以的整式为0，会导致变形后的分式分母为0，分式无意义，无法保证分式的值不变，因此需要对乘（或除以）的整式添加取值限制，即该整式不能等于0。
【解析】
根据分式的基本性质的完整内容：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。其中要求整式不等于0是为了避免变形后分式分母为0失去意义，因此横线处应填“不等于0”。
【答案】
不等于0
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是对分式基本性质概念的直接考查，属于基础识记类题目，需要准确记忆性质中的限制条件，避免忽略整式不为0的要求。
【难度系数】
0.9
解题时可从分式有意义的条件入手思考：分式有意义的前提是分母不为0。若分子、分母同时乘或除以的整式为0，会导致变形后的分式分母为0，分式无意义，无法保证分式的值不变，因此需要对乘（或除以）的整式添加取值限制，即该整式不能等于0。
【解析】
根据分式的基本性质的完整内容：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。其中要求整式不等于0是为了避免变形后分式分母为0失去意义，因此横线处应填“不等于0”。
【答案】
不等于0
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是对分式基本性质概念的直接考查，属于基础识记类题目，需要准确记忆性质中的限制条件，避免忽略整式不为0的要求。
【难度系数】
0.9
[典例]填空：
(1)$\frac{a - b}{ab} = \frac{( \quad )}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{( \quad )}$；
(3)$\frac{x - y}{x + y} = \frac{( \quad )}{(x + y)^2}$；
(4)$\frac{m - n}{m + n} = \frac{( \quad )}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$。
典例解析
(1)$\frac{a - b}{ab} = \frac{( \quad )}{a^2b}$；
(2)$\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{( \quad )}$；
(3)$\frac{x - y}{x + y} = \frac{( \quad )}{(x + y)^2}$；
(4)$\frac{m - n}{m + n} = \frac{( \quad )}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$。
典例解析
答案
解：
(1) 根据分式的基本性质，给$\frac{a-b}{ab}$的分子、分母同乘$a$，可得分子为$a(a-b)=a^2-ab$，故括号内填$a^2-ab$；
(2) 根据分式的基本性质，给$\frac{x^2+xy}{x^2}$的分子、分母同除以$x$（$x≠0$），可得分母为$x^2÷ x=x$，故括号内填$x$；
(3) 根据分式的基本性质，给$\frac{x-y}{x+y}$的分子、分母同乘$(x+y)$，可得分子为$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，故括号内填$x^2-y^2$；
(4) 已知$m≠ n$，则$m-n≠0$，根据分式的基本性质，给$\frac{m-n}{m+n}$的分子、分母同乘$(m-n)$，可得分子为$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，故括号内填$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）。
(1) 根据分式的基本性质，给$\frac{a-b}{ab}$的分子、分母同乘$a$，可得分子为$a(a-b)=a^2-ab$，故括号内填$a^2-ab$；
(2) 根据分式的基本性质，给$\frac{x^2+xy}{x^2}$的分子、分母同除以$x$（$x≠0$），可得分母为$x^2÷ x=x$，故括号内填$x$；
(3) 根据分式的基本性质，给$\frac{x-y}{x+y}$的分子、分母同乘$(x+y)$，可得分子为$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，故括号内填$x^2-y^2$；
(4) 已知$m≠ n$，则$m-n≠0$，根据分式的基本性质，给$\frac{m-n}{m+n}$的分子、分母同乘$(m-n)$，可得分子为$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，故括号内填$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）。
解析
【分析】
这组题目考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先观察分式中已知的分子或分母相较于原式的变化，确定是同时乘（或除以）了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质，将对应的分母或分子做完全相同的乘除运算，即可得到括号内的结果，注意变形时乘除的整式不能为0，保证分式有意义。
【解析】
(1) 观察分母从$ab$变为$a^2b$，是给原分母乘了$a$，根据分式的基本性质，分子也需乘$a$：$(a-b)× a=a^2-ab$，故括号内填$a^2-ab$；
(2) 观察分子从$x^2+xy=x(x+y)$变为$x+y$，是给原分子除以了不为0的$x$，根据分式的基本性质，分母也需除以$x$：$x^2÷ x=x$，故括号内填$x$；
(3) 观察分母从$x+y$变为$(x+y)^2$，是给原分母乘了$(x+y)$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(x+y)$：$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，故括号内填$x^2-y^2$；
(4) 观察分母从$m+n$变为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠ n$即$m-n≠0$，是给原分母乘了$(m-n)$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(m-n)$：$(m-n)(m-n)=m^2-2mn+n^2$，故括号内填$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）。
【答案】
(1)$a^2-ab$；(2)$x$；(3)$x^2-y^2$；(4)$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）
【知识点】
分式的基本性质，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是熟练掌握分式的基本性质，解题关键是先确定已知部分的变形规则，再对对应部分做相同运算，同时要注意变形的前提是乘除的整式不为0，确保分式始终有意义。
【难度系数】
0.8
这组题目考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先观察分式中已知的分子或分母相较于原式的变化，确定是同时乘（或除以）了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质，将对应的分母或分子做完全相同的乘除运算，即可得到括号内的结果，注意变形时乘除的整式不能为0，保证分式有意义。
【解析】
(1) 观察分母从$ab$变为$a^2b$，是给原分母乘了$a$，根据分式的基本性质，分子也需乘$a$：$(a-b)× a=a^2-ab$，故括号内填$a^2-ab$；
(2) 观察分子从$x^2+xy=x(x+y)$变为$x+y$，是给原分子除以了不为0的$x$，根据分式的基本性质，分母也需除以$x$：$x^2÷ x=x$，故括号内填$x$；
(3) 观察分母从$x+y$变为$(x+y)^2$，是给原分母乘了$(x+y)$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(x+y)$：$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，故括号内填$x^2-y^2$；
(4) 观察分母从$m+n$变为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠ n$即$m-n≠0$，是给原分母乘了$(m-n)$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(m-n)$：$(m-n)(m-n)=m^2-2mn+n^2$，故括号内填$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）。
【答案】
(1)$a^2-ab$；(2)$x$；(3)$x^2-y^2$；(4)$m^2-2mn+n^2$（或$(m-n)^2$）
【知识点】
分式的基本性质，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是熟练掌握分式的基本性质，解题关键是先确定已知部分的变形规则，再对对应部分做相同运算，同时要注意变形的前提是乘除的整式不为0，确保分式始终有意义。
【难度系数】
0.8
典例
答案 (1)$a^2 - ab$ (2)$x$
(3)$x^2 - y^2$ (4)$(m - n)^2$
解析 (1)将分子也乘$a$，得$a^2 - ab$
温馨提示 (1)分式的分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算；
(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式.
[举一反三]填空：
(1)$\frac{2x}{x - y} = \frac{(\quad)}{(x - y)(x + y)}(x ≠ -y)$；
(2)$\frac{y + 2}{y^2 - 4} = \frac{1}{(\quad)}$.
(2) 分子除以$x$ $\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{(\quad)}$ 将分母也除以$x$，得$x$
(3) 将分子也乘$(x + y)$，得$x^2 - y^2$ $\frac{x - y}{x + y} = \frac{(\quad)}{(x + y)^2}$ 分母乘$(x + y)$
(4) 将分子也乘$(m - n)$，得$(m - n)^2$ $\frac{m - n}{m + n} = \frac{(\quad)}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$ 分母乘$(m - n)$
答案 (1)$a^2 - ab$ (2)$x$
(3)$x^2 - y^2$ (4)$(m - n)^2$
解析 (1)将分子也乘$a$，得$a^2 - ab$
温馨提示 (1)分式的分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算；
(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式.
[举一反三]填空：
(1)$\frac{2x}{x - y} = \frac{(\quad)}{(x - y)(x + y)}(x ≠ -y)$；
(2)$\frac{y + 2}{y^2 - 4} = \frac{1}{(\quad)}$.
(2) 分子除以$x$ $\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{(\quad)}$ 将分母也除以$x$，得$x$
(3) 将分子也乘$(x + y)$，得$x^2 - y^2$ $\frac{x - y}{x + y} = \frac{(\quad)}{(x + y)^2}$ 分母乘$(x + y)$
(4) 将分子也乘$(m - n)$，得$(m - n)^2$ $\frac{m - n}{m + n} = \frac{(\quad)}{m^2 - n^2}(m ≠ n)$ 分母乘$(m - n)$
答案
(1) $2x^2+2xy$ (2) $y-2$
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：①先观察已知分式的分子或分母发生了什么乘除变化；②根据“分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，给对应的分母或分子做相同的运算；③运算时注意题目给出的限制条件，保证乘除的整式不为0，最后化简得到结果即可。
第(1)题：分母从$(x-y)$变为$(x-y)(x+y)$，是乘了$(x+y)$，且题目给出$x≠-y$，即$x+y≠0$，符合分式基本性质的要求，因此分子$2x$也要乘$(x+y)$计算。
第(2)题：分子从$(y+2)$变为$1$，是除以了$(y+2)$，首先将分母$y^2-4$用平方差公式因式分解，再给分母除以$(y+2)$即可得到结果，注意原式有意义时$y+2≠0$，满足运算要求。
【解析】
(1) 观察分母的变化：$(x-y) · (x+y) = (x-y)(x+y)$，已知$x≠-y$，则$x+y≠0$，根据分式的基本性质，分子也要乘$(x+y)$：
$2x · (x+y) = 2x^2 + 2xy$，故括号内应填$2x^2 + 2xy$。
(2) 先对分母因式分解：$y^2 - 4 = (y+2)(y-2)$，观察分子的变化：$(y+2) ÷ (y+2) = 1$，原式有意义则$y+2≠0$，根据分式的基本性质，分母也要除以$(y+2)$：
$(y+2)(y-2) ÷ (y+2) = y-2$，故括号内应填$y-2$。
【答案】
(1)$2x^2 + 2xy$ (2)$y-2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，解题关键是准确判断分子或分母的变化规律，运算时要注意保证乘除的整式不为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：①先观察已知分式的分子或分母发生了什么乘除变化；②根据“分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，给对应的分母或分子做相同的运算；③运算时注意题目给出的限制条件，保证乘除的整式不为0，最后化简得到结果即可。
第(1)题：分母从$(x-y)$变为$(x-y)(x+y)$，是乘了$(x+y)$，且题目给出$x≠-y$，即$x+y≠0$，符合分式基本性质的要求，因此分子$2x$也要乘$(x+y)$计算。
第(2)题：分子从$(y+2)$变为$1$，是除以了$(y+2)$，首先将分母$y^2-4$用平方差公式因式分解，再给分母除以$(y+2)$即可得到结果，注意原式有意义时$y+2≠0$，满足运算要求。
【解析】
(1) 观察分母的变化：$(x-y) · (x+y) = (x-y)(x+y)$，已知$x≠-y$，则$x+y≠0$，根据分式的基本性质，分子也要乘$(x+y)$：
$2x · (x+y) = 2x^2 + 2xy$，故括号内应填$2x^2 + 2xy$。
(2) 先对分母因式分解：$y^2 - 4 = (y+2)(y-2)$，观察分子的变化：$(y+2) ÷ (y+2) = 1$，原式有意义则$y+2≠0$，根据分式的基本性质，分母也要除以$(y+2)$：
$(y+2)(y-2) ÷ (y+2) = y-2$，故括号内应填$y-2$。
【答案】
(1)$2x^2 + 2xy$ (2)$y-2$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题型，解题关键是准确判断分子或分母的变化规律，运算时要注意保证乘除的整式不为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.8
