[典例1]已知二次三项式$x^2 -4x +m$有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式及m的值.

解：设另一个因式为$(x+a)$，由题意得：
$x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)$
将等式右边展开，得：
$(x+3)(x+a)=x^2 + (a+3)x + 3a$
对比等式左右两边的系数，可得：
$\begin{cases}a+3=-4\\m=3a\end{cases}$
解得：$a=-7$，$m=-21$。
答：另一个因式是$(x-7)$，$m$的值为$-21$。

【分析】
二次三项式分解因式的结果是两个一次因式的乘积，已知其中一个因式是一次式$(x+3)$，且原二次三项式的二次项系数为1，因此另一个因式也为一次式且x的系数为1，可设为$(x+a)$。由于因式分解和整式乘法是互逆运算，原二次三项式与两个一次因式的乘积相等，将乘积展开后，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可列方程组求出a和m的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，由题意得：
$x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)$
将等式右边展开，得：
$(x+3)(x+a)=x^2 + (a+3)x + 3a$
对比等式左右两边的系数，可得：
$\begin{cases}a+3=-4\\m=3a\end{cases}$
解得：$a=-7$，$m=-21$。
因此另一个因式为$x+a=x-7$。
【答案】
另一个因式是$(x-7)$，$m$的值为$-21$。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的关系
2. 多项式相等条件
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题是因式分解的常规题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是理解因式分解与整式乘法的互逆性，掌握多项式相等时对应项系数相等的规律，熟练后可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7

专题二 提公因式法
提公因式法是因式分解运算的主要方法,确定多项式的公因式,并能准确提取公因式是解题关键.
[典例2]分解因式:
$6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3.$

解：
原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
$=3(x-y)^2(2x - x + y)$
$=3(x-y)^2(x+y)$

【分析】
解题时先观察多项式的两项，发现因式的底数分别为$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，首先利用幂的符号性质统一底数：奇数次幂的$(y-x)^3=-(x-y)^3$，偶数次幂的$(y-x)^2=(x-y)^2$无需变号。统一底数后确定公因式：系数6和3的最大公约数是3，相同因式$(x-y)$的最低次幂是2次，因此公因式为$3(x-y)^2$。提取公因式后，对剩余的整式去括号、合并同类项，保证分解彻底即可。
【解析】
解：利用幂的符号规律统一底数，得：
原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
提取公因式$3(x-y)^2$：
$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
去括号化简括号内的式子：
$=3(x-y)^2(2x - x + y)$
合并同类项：
$=3(x-y)^2(x+y)$
【答案】
$3(x-y)^2(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解、幂的符号转换、合并同类项
【点评】
本题是提公因式法分解因式的典型题型，易错点是处理互为相反数的幂时符号转换错误，提取公因式后需将剩余部分化简到最简，确保因式分解彻底。
【难度系数】
0.7