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【例1】如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}$，$∠ COB=40°$，则$∠ COD$的度数是（
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
【规律方法】
利用弧、弦、圆心角间的关系进行计算时，关键是找等量关系，先找出题目中“弧相等”或“弦相等”的条件，转化为圆心角或弦的等量关系，再结合勾股定理、角度之间的关系求解。
D
）A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
【规律方法】
利用弧、弦、圆心角间的关系进行计算时，关键是找等量关系，先找出题目中“弧相等”或“弦相等”的条件，转化为圆心角或弦的等量关系，再结合勾股定理、角度之间的关系求解。
答案
例1. D
|变式训练|
1.如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，过点C作$CD ⊥ AB$于点G，交$\odot O$于点D。若$BE=8$，$BG=3$，则$\odot O$的半径是（
A.4
B.5.5
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{3}$
1.如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，过点C作$CD ⊥ AB$于点G，交$\odot O$于点D。若$BE=8$，$BG=3$，则$\odot O$的半径是（
C
）A.4
B.5.5
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{3}$
答案
1. C
【例2】如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，$CD⊥ OA$于点$D$，$CE⊥ OB$于点$E.$
求证:$OD=OE.$
证明:
【规律方法】
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等,它们所对应的其余各组量分别相等,利用圆的这些特点可实现弧、弦、圆心角之间等量关系的相互转化,从而解决问题.
求证:$OD=OE.$
证明:
【规律方法】
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等,它们所对应的其余各组量分别相等,利用圆的这些特点可实现弧、弦、圆心角之间等量关系的相互转化,从而解决问题.
答案
证明:连接 OC(图略).
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
所以$∠ AOC=∠ BOC$.
因为$CD⊥ OA,CE⊥ OB$,
所以$∠ CDO=∠ CEO=90°$.
在$△ CDO$与$△ CEO$中,
$\begin{cases}∠ DOC=∠ EOC,\\∠ CDO=∠ CEO,\\OC=OC,\end{cases}$
所以$△ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$,
所以$OD=OE$.
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
所以$∠ AOC=∠ BOC$.
因为$CD⊥ OA,CE⊥ OB$,
所以$∠ CDO=∠ CEO=90°$.
在$△ CDO$与$△ CEO$中,
$\begin{cases}∠ DOC=∠ EOC,\\∠ CDO=∠ CEO,\\OC=OC,\end{cases}$
所以$△ CDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$,
所以$OD=OE$.
2.如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$OE=OF$，连接OA，OB.求证：
(1)$AE=BF$.
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
(1)$AE=BF$.
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
答案
(1) 如图，过点O作$OM⊥ AB$于点M.
因为$OA=OB,OE=OF$,
所以$AM=BM,EM=FM$,
所以$AM-EM=BM-FM$,
所以$AE=BF$.
(2) 因为$OM⊥ AB,OA=OB,OE=OF$,
所以$∠ AOM=∠ BOM,∠ EOM=∠ FOM$,
所以$∠ AOM-∠ EOM=∠ BOM-∠ FOM$,
所以$∠ AOC=∠ BOD$,
所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
