登录
1. (2025·广西)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=7$，$AC=3$，则$\sin B=$ ()
A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
答案
B
解析
【分析】
本题要求直角三角形中锐角的正弦值，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。接下来确定所求角∠B的对边和斜边：已知∠C=90°，因此斜边为AB，∠B的对边为AC，题目已直接给出两条边的长度，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$
其中∠B的对边为$AC=3$，斜边为$AB=7$，代入得：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{7}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数中正弦定义的理解与应用，解题时需准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
本题要求直角三角形中锐角的正弦值，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边长度与斜边长度的比值。接下来确定所求角∠B的对边和斜边：已知∠C=90°，因此斜边为AB，∠B的对边为AC，题目已直接给出两条边的长度，代入比值计算即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin B = \frac{∠B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$
其中∠B的对边为$AC=3$，斜边为$AB=7$，代入得：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{7}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数中正弦定义的理解与应用，解题时需准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$，则下列结论正确的是（）
A.$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A=\dfrac{1}{2}$
C.$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B=\sqrt{3}$
A.$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\tan A=\dfrac{1}{2}$
C.$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan B=\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步，先利用勾股定理计算出未知直角边$AC$的长度；第二步，牢记锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{角α的对边}{斜边}$，$\cosα=\frac{角α的邻边}{斜边}$，$\tanα=\frac{角α的对边}{角α的邻边}$，分别计算每个选项对应的三角函数值，和选项给出的数值对比即可选出正确答案。
【解析】
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$
$\therefore$由勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
逐个分析选项：
A. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，A错误；
B. $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
C. $\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，C错误；
D. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查锐角三角函数的定义应用，解题的关键是先明确直角三角形各边对应所求锐角的对边、邻边关系，结合勾股定理计算出未知边长后再求值判断，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的判断类题目，解题思路清晰可分为两步：第一步，先利用勾股定理计算出未知直角边$AC$的长度；第二步，牢记锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{角α的对边}{斜边}$，$\cosα=\frac{角α的邻边}{斜边}$，$\tanα=\frac{角α的对边}{角α的邻边}$，分别计算每个选项对应的三角函数值，和选项给出的数值对比即可选出正确答案。
【解析】
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AB=2$
$\therefore$由勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
逐个分析选项：
A. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，A错误；
B. $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
C. $\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{2}$，C错误；
D. $\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查锐角三角函数的定义应用，解题的关键是先明确直角三角形各边对应所求锐角的对边、邻边关系，结合勾股定理计算出未知边长后再求值判断，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. (2024·淄博)如图1,在综合与实践活动课上,小强先测得教学楼在水平地面上的影长 BC 为 35 m,又在点 C 处测得该楼的顶端 A 的仰角是 29°,则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是 ()
A.3 5 × tan 2 9 =
B.3 5 ÷ tan 2 9 =
C.3 5 × sin 2 9 =
D.3 5 × cos 2 9 =
A.3 5 × tan 2 9 =
B.3 5 ÷ tan 2 9 =
C.3 5 × sin 2 9 =
D.3 5 × cos 2 9 =
答案
A
解析
【分析】
这是一道结合仰角测量场景的解直角三角形基础题，解题思路如下：①先确定图形结构：教学楼垂直水平地面，因此教学楼、地面影长、观测点到楼顶的连线构成直角三角形；②梳理边角关系：已知仰角的度数、仰角的邻边（影长），待求仰角的对边（教学楼高度），根据正切函数的定义可推导出高度的计算式；③根据计算式匹配对应的计算器按键顺序即可得到正确选项。
【解析】
由题意可知教学楼$AB⊥$地面$BC$，因此$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ACB=29°$，影长$BC=35\mathrm{m}$，根据锐角三角函数的定义：
$\tan∠ ACB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{BC}$
变形得教学楼高度$AB=BC×\tan29°=35×\tan29°$，
因此计算器按键顺序为：依次按$\boxed{3}\boxed{5}\boxed{×}\boxed{\tan}\boxed{2}\boxed{9}\boxed{=}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形的应用，计算器操作
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角函数的基础应用，解题核心是准确判断直角三角形中已知角对应的对边、邻边，选对三角函数关系，属于三角函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一道结合仰角测量场景的解直角三角形基础题，解题思路如下：①先确定图形结构：教学楼垂直水平地面，因此教学楼、地面影长、观测点到楼顶的连线构成直角三角形；②梳理边角关系：已知仰角的度数、仰角的邻边（影长），待求仰角的对边（教学楼高度），根据正切函数的定义可推导出高度的计算式；③根据计算式匹配对应的计算器按键顺序即可得到正确选项。
【解析】
由题意可知教学楼$AB⊥$地面$BC$，因此$△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ACB=29°$，影长$BC=35\mathrm{m}$，根据锐角三角函数的定义：
$\tan∠ ACB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AB}{BC}$
变形得教学楼高度$AB=BC×\tan29°=35×\tan29°$，
因此计算器按键顺序为：依次按$\boxed{3}\boxed{5}\boxed{×}\boxed{\tan}\boxed{2}\boxed{9}\boxed{=}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形的应用，计算器操作
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角函数的基础应用，解题核心是准确判断直角三角形中已知角对应的对边、邻边，选对三角函数关系，属于三角函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图2，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$AC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{3}$，设$∠ BCD=α$，则$\cosα$的值为（）
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{2}$
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图形中角的关系：在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠A和∠BCD都与∠B互余，根据同角的余角相等可得∠BCD=∠A，因此求cosα可转化为求cosA；再根据余弦的定义，在Rt△ABC中cosA等于∠A的邻边AC与斜边AB的比值，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∵CD⊥AB，即∠CDB=90°，
∴∠BCD + ∠B = 90°，
∴∠BCD = ∠A = α，
在Rt△ABC中，根据余弦的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
将$AC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{3}$代入得：
$\cosα = \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数的定义；分母有理化
【点评】
本题是直角三角形边角关系的基础题型，解题的核心是利用余角的性质实现角度的等价转化，避免了重复计算边长的繁琐，能够很好地考查学生对基础性质和三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形中角的关系：在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠A和∠BCD都与∠B互余，根据同角的余角相等可得∠BCD=∠A，因此求cosα可转化为求cosA；再根据余弦的定义，在Rt△ABC中cosA等于∠A的邻边AC与斜边AB的比值，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∵CD⊥AB，即∠CDB=90°，
∴∠BCD + ∠B = 90°，
∴∠BCD = ∠A = α，
在Rt△ABC中，根据余弦的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
将$AC=2\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{3}$代入得：
$\cosα = \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数的定义；分母有理化
【点评】
本题是直角三角形边角关系的基础题型，解题的核心是利用余角的性质实现角度的等价转化，避免了重复计算边长的繁琐，能够很好地考查学生对基础性质和三角函数定义的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5. 图3①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图3②所示的四边形OABC。若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为 ()
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.1
D.2
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.1
D.2
答案
B
解析
【分析】
要计算点B到OC的距离，可按以下思路逐步推导：首先在Rt△OAB中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出OB的长度；接着在Rt△OBC中，用勾股定理求出斜边OC的长度；最后点B到OC的距离就是△OBC中OC边上的高，利用三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）建立等式，即可求出该距离。
【解析】
1. 在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$∠ AOB=30°$，$AB=1$，
根据含30°角的直角三角形的性质，可得：
$OB=2AB=2×1=2$。
2. 在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$OB=2$，$BC=1$，
由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 设点B到OC的距离为$h$，$△ OBC$的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× BC=\frac{1}{2}× OC× h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，
化简解得：$h=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关性质，解题关键是灵活运用等面积法建立等量关系求解点到直线的距离，是直角三角形相关知识的典型应用题型，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算点B到OC的距离，可按以下思路逐步推导：首先在Rt△OAB中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出OB的长度；接着在Rt△OBC中，用勾股定理求出斜边OC的长度；最后点B到OC的距离就是△OBC中OC边上的高，利用三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）建立等式，即可求出该距离。
【解析】
1. 在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$∠ AOB=30°$，$AB=1$，
根据含30°角的直角三角形的性质，可得：
$OB=2AB=2×1=2$。
2. 在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$OB=2$，$BC=1$，
由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 设点B到OC的距离为$h$，$△ OBC$的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× BC=\frac{1}{2}× OC× h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，
化简解得：$h=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关性质，解题关键是灵活运用等面积法建立等量关系求解点到直线的距离，是直角三角形相关知识的典型应用题型，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
