20. 「2025山东临沂平邑期中」(8分) 已知一个正数$m$的两个平方根分别是$2a-8$和$a-1$，且$\sqrt{2b-1}=5$，$4c-b$的立方根是$-2$。
(1) 求$m$的值。
(2) 求$m+4c$的平方根。

20. 解析 （1）$\because$正数m的两个平方根分别是$2a-8$和$a-1$，$\therefore 2a-8+a-1=0$，解得$a=3$. （2分）$\therefore a-1=2$，$\therefore m=(a-1)^{2}=2^{2}=4$. （4分）
（2）$\because \sqrt{2b-1}=5$，$\therefore 2b-1=5^{2}=25$，解得$b=13$. （5分）$\because 4c-b$的立方根是-2，$\therefore 4c-13=(-2)^{3}=-8$，解得$c=\frac{5}{4}$， （6分）$\therefore m+4c=4+4×\frac{5}{4}=9$，$\therefore m+4c$的平方根为$\pm 3$. （8分）

21. (8分) 如图，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OE$把$∠ BOD$分成两部分。
(1) 图中$∠ AOD$的对顶角为，$∠ BOE$的邻补角为。
(2) 若$OE$平分$∠ BOD$，$∠ DOE:∠ AOD=1:4$，求$∠ EOC$和$∠ BOC$的度数。

21. 解析 （1）$∠ BOC$；$∠ AOE$. （2分）
（2）设$∠ DOE=x°$，则$∠ AOD=4x°$， （3分）$\because OE$平分$∠ BOD$，$\therefore ∠ BOE=∠ DOE=x°$， （4分）$\therefore x°+x°+4x°=180°$，解得$x=30$， （5分）$\therefore ∠ DOE=∠ BOE=30°$，$∠ AOD=4x°=120°$， （6分）$\therefore ∠ BOC=∠ AOD=120°$，$∠ EOC=180°-∠ DOE=150°$. （8分）

22. 「2025湖北襄阳老河口期中」(8分) 某公园有6个景点，如图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长均为1个单位长度），景点$A$的坐标是$(1,0)$，景点$B$位于坐标原点的西北方向。
(1) 根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点$C$的坐标。
(2) 若景点$D$的坐标为$(-2,-2)$，景点$E$的坐标为$(5,-1)$，景点$F$的坐标为$(0,-3)$，请在坐标系中描出点$D$，$E$，$F$。
(3) 如果1个单位长度代表50m，请你用方向和距离描述点$E$相对于点$C$的位置。

22. 解析 （1）建立平面直角坐标系如图. …… （2分）景点C的坐标为$(5,4)$. （3分）

（2）点D，E，F的位置如图. （6分）
（3）$50×[4-(-1)]=250(m)$，故点E在点C的正南方向，距离点C250m处. （8分）

23. 「2025广东茂名高州期中」(8分) 如图，已知点$O$在直线$AB$上，射线$OD$平分$∠ BOC$，过点$O$作$OE⊥ OD$，$G$是射线$OB$上一点，连接$DG$，满足$∠ ODG+∠ DOG=90°$。
(1) 求证：$∠ AOE=∠ ODG$。
(2) 若$∠ ODG=∠ C$，求证：$CD// OE$。

23. 证明 （1）$\because OE⊥ OD$，$\therefore ∠ DOE=90°$，$\because ∠ DOE+∠ AOE+∠ DOG=180°$，$\therefore ∠ AOE+∠ DOG=90°$. （2分）$\because ∠ ODG+∠ DOG=90°$，$\therefore ∠ AOE=∠ ODG$. （4分）
（2）$\because OD$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ DOG=∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC$，$\because ∠ DOE=90°$，$\therefore ∠ COE+∠ COD=90°$， （6分）$\because ∠ ODG+∠ DOG=90°$，$\therefore ∠ ODG=∠ COE$，$\because ∠ ODG=∠ C$，$\therefore ∠ C=∠ COE$，$\therefore CD// OE$. （8分）