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1. 求下列各数的立方根.
(1)$729$;
(2)$-4\dfrac{17}{27}$;
(3)$-\dfrac{125}{216}$;
(4)$(-5)^3$.
(1)$729$;
(2)$-4\dfrac{17}{27}$;
(3)$-\dfrac{125}{216}$;
(4)$(-5)^3$.
答案
(1)9
(2)$-\dfrac{5}{3}$
(3)$-\dfrac{5}{6}$
(4)$-5$
(2)$-\dfrac{5}{3}$
(3)$-\dfrac{5}{6}$
(4)$-5$
解析
【分析】
解题需依据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，同时结合立方根的性质推导：①正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②计算带分数的立方根时，要先将带分数化为假分数，再找立方等于该数的对应数；③形如$a^3$的数，其立方根就是$a$，可直接化简。
【解析】
(1) 因为$9^3=729$，根据立方根的定义，可得729的立方根为9，即$\sqrt[3]{729}=9$。
(2) 先把带分数化为假分数：$-4\dfrac{17}{27}=-\dfrac{4×27+17}{27}=-\dfrac{125}{27}$，又因为$(-\dfrac{5}{3})^3=-\dfrac{125}{27}$，所以$-4\dfrac{17}{27}$的立方根是$-\dfrac{5}{3}$，即$\sqrt[3]{-4\dfrac{17}{27}}=-\dfrac{5}{3}$。
(3) 因为$(-\dfrac{5}{6})^3=-\dfrac{125}{216}$，所以$-\dfrac{125}{216}$的立方根是$-\dfrac{5}{6}$，即$\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}}=-\dfrac{5}{6}$。
(4) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，直接可得$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$，即$(-5)^3$的立方根是$-5$。
【答案】
(1)$9$
(2)$-\dfrac{5}{3}$
(3)$-\dfrac{5}{6}$
(4)$-5$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，带分数与假分数互化
【点评】
本题属于立方根计算的基础题型，解题关键是熟练掌握立方根的符号规律，计算带分数的立方根时要先转化为假分数，避免直接拆分整数和分数部分计算出错。
【难度系数】
0.8
解题需依据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，同时结合立方根的性质推导：①正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②计算带分数的立方根时，要先将带分数化为假分数，再找立方等于该数的对应数；③形如$a^3$的数，其立方根就是$a$，可直接化简。
【解析】
(1) 因为$9^3=729$，根据立方根的定义，可得729的立方根为9，即$\sqrt[3]{729}=9$。
(2) 先把带分数化为假分数：$-4\dfrac{17}{27}=-\dfrac{4×27+17}{27}=-\dfrac{125}{27}$，又因为$(-\dfrac{5}{3})^3=-\dfrac{125}{27}$，所以$-4\dfrac{17}{27}$的立方根是$-\dfrac{5}{3}$，即$\sqrt[3]{-4\dfrac{17}{27}}=-\dfrac{5}{3}$。
(3) 因为$(-\dfrac{5}{6})^3=-\dfrac{125}{216}$，所以$-\dfrac{125}{216}$的立方根是$-\dfrac{5}{6}$，即$\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}}=-\dfrac{5}{6}$。
(4) 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，直接可得$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$，即$(-5)^3$的立方根是$-5$。
【答案】
(1)$9$
(2)$-\dfrac{5}{3}$
(3)$-\dfrac{5}{6}$
(4)$-5$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，带分数与假分数互化
【点评】
本题属于立方根计算的基础题型，解题关键是熟练掌握立方根的符号规律，计算带分数的立方根时要先转化为假分数，避免直接拆分整数和分数部分计算出错。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$\sqrt[3]{1-\dfrac{19}{27}}$；
(2)$\sqrt{(-5)^2} - |2 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{27}$。
(1)$\sqrt[3]{1-\dfrac{19}{27}}$；
(2)$\sqrt{(-5)^2} - |2 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{27}$。
答案
(1)原式$=\dfrac{2}{3}$；
(2)原式$=\sqrt{2}$.
(2)原式$=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 计算含分数的立方根时，先计算被开方数的结果，再根据立方根的定义求解。首先把1转化为和分数同分母的形式，算出被开方数的差后再开立方即可。
(2) 本题是实数混合运算，需逐项化简后合并计算：①根据算术平方根的非负性，化简$\sqrt{(-5)^2}$；②判断绝对值内式子的正负，按绝对值的性质去掉绝对值符号；③根据立方根的定义计算$\sqrt[3]{27}$，最后合并所有项，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 先计算被开方数：
$1-\dfrac{19}{27}=\dfrac{27}{27}-\dfrac{19}{27}=\dfrac{8}{27}$
根据立方根的定义，$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27}$，因此$\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$，即原式$=\dfrac{2}{3}$。
(2) 逐项化简：
① $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
② 因为$2＞\sqrt{2}$，所以$|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}$；
③ $\sqrt[3]{27}=3$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5-(2-\sqrt{2})-3\\&=5-2+\sqrt{2}-3\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3}$；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根、算术平方根的性质以及绝对值的化简规则，计算时需注意去绝对值、去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 计算含分数的立方根时，先计算被开方数的结果，再根据立方根的定义求解。首先把1转化为和分数同分母的形式，算出被开方数的差后再开立方即可。
(2) 本题是实数混合运算，需逐项化简后合并计算：①根据算术平方根的非负性，化简$\sqrt{(-5)^2}$；②判断绝对值内式子的正负，按绝对值的性质去掉绝对值符号；③根据立方根的定义计算$\sqrt[3]{27}$，最后合并所有项，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 先计算被开方数：
$1-\dfrac{19}{27}=\dfrac{27}{27}-\dfrac{19}{27}=\dfrac{8}{27}$
根据立方根的定义，$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27}$，因此$\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$，即原式$=\dfrac{2}{3}$。
(2) 逐项化简：
① $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
② 因为$2＞\sqrt{2}$，所以$|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}$；
③ $\sqrt[3]{27}=3$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5-(2-\sqrt{2})-3\\&=5-2+\sqrt{2}-3\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3}$；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根、算术平方根的性质以及绝对值的化简规则，计算时需注意去绝对值、去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各式中的$x$.
(1)$4x^{3}=32$;
(2)$\dfrac{27}{4}x^{3}-2=0$;
(3)$\dfrac{1}{2}(x+3)^{3}=4$.
(1)$4x^{3}=32$;
(2)$\dfrac{27}{4}x^{3}-2=0$;
(3)$\dfrac{1}{2}(x+3)^{3}=4$.
答案
(1)$x=2$
(2)$x=\dfrac{2}{3}$
(3)$x=-1$
(2)$x=\dfrac{2}{3}$
(3)$x=-1$
解析
【分析】
这三道题都是含三次方的求未知数方程，解题核心思路是利用立方根的定义降次求解：①先通过移项、系数化为1的操作，将式子变形为“含未知数的三次方的整体=常数”的形式；②对等式两边同时开立方，将三次方程转化为一次方程；③解一次方程得到未知数的值。注意开立方时，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，不要和开平方的性质混淆。
【解析】
(1) $4x^3=32$
两边同时除以4，得：$x^3=8$
因为$2^3=8$，对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{8}=2$
(2) $\dfrac{27}{4}x^3 - 2=0$
移项得：$\dfrac{27}{4}x^3=2$
两边同时乘$\dfrac{4}{27}$，得：$x^3=2×\dfrac{4}{27}=\dfrac{8}{27}$
因为$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27}$，对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$
(3) $\dfrac{1}{2}(x+3)^3=4$
两边同时乘2，得：$(x+3)^3=8$
对等式两边开立方得：$x+3=\sqrt[3]{8}=2$
移项计算得：$x=2-3=-1$
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=\dfrac{2}{3}$；(3)$x=-1$
【知识点】
立方根的定义；解含乘方的方程
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考查立方根的性质与降次求解的思路，解题时需先分离出含三次方的项，再开立方转化为熟悉的一次方程求解，计算时注意区分立方根与平方根的性质，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
这三道题都是含三次方的求未知数方程，解题核心思路是利用立方根的定义降次求解：①先通过移项、系数化为1的操作，将式子变形为“含未知数的三次方的整体=常数”的形式；②对等式两边同时开立方，将三次方程转化为一次方程；③解一次方程得到未知数的值。注意开立方时，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，不要和开平方的性质混淆。
【解析】
(1) $4x^3=32$
两边同时除以4，得：$x^3=8$
因为$2^3=8$，对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{8}=2$
(2) $\dfrac{27}{4}x^3 - 2=0$
移项得：$\dfrac{27}{4}x^3=2$
两边同时乘$\dfrac{4}{27}$，得：$x^3=2×\dfrac{4}{27}=\dfrac{8}{27}$
因为$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{8}{27}$，对等式两边开立方得：$x=\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$
(3) $\dfrac{1}{2}(x+3)^3=4$
两边同时乘2，得：$(x+3)^3=8$
对等式两边开立方得：$x+3=\sqrt[3]{8}=2$
移项计算得：$x=2-3=-1$
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=\dfrac{2}{3}$；(3)$x=-1$
【知识点】
立方根的定义；解含乘方的方程
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考查立方根的性质与降次求解的思路，解题时需先分离出含三次方的项，再开立方转化为熟悉的一次方程求解，计算时注意区分立方根与平方根的性质，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知正数 $ x $ 的两个平方根分别为 $ 3 - a $ 和 $ 2a + 7 $. 求：
(1) $ a $ 的值；
(2) $ 44 - x $ 这个数的立方根.
(1) $ a $ 的值；
(2) $ 44 - x $ 这个数的立方根.
答案
(1)由题意,得 $3-a+2a+7=0$,解得 $a=-10$.
(2)由(1)可知,$x=(3-a)^2=13^2=169$,则 $44-x=-125$,
$\therefore 44-x$ 的立方根是$-5$.
(2)由(1)可知,$x=(3-a)^2=13^2=169$,则 $44-x=-125$,
$\therefore 44-x$ 的立方根是$-5$.
解析
【分析】
首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，据此可列关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代入其中一个平方根，平方后得到x的值，接着计算44-x的结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数，可得两个平方根的和为0，根据题意列方程：
$3 - a + 2a + 7 = 0$
合并同类项得：$a + 10 = 0$
解得：$a = -10$
(2) 将$a=-10$代入$3-a$，得$3 - (-10) = 13$，因此$x = 13^2 = 169$
则$44 - x = 44 - 169 = -125$
根据立方根的定义，因为$(-5)^3 = -125$，所以$-125$的立方根为$-5$，即$44-x$的立方根是$-5$。
【答案】
(1) $a=-10$；(2) $-5$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题是平方根与立方根的基础应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，整体计算量小，熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，据此可列关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代入其中一个平方根，平方后得到x的值，接着计算44-x的结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1) 由正数的两个平方根互为相反数，可得两个平方根的和为0，根据题意列方程：
$3 - a + 2a + 7 = 0$
合并同类项得：$a + 10 = 0$
解得：$a = -10$
(2) 将$a=-10$代入$3-a$，得$3 - (-10) = 13$，因此$x = 13^2 = 169$
则$44 - x = 44 - 169 = -125$
根据立方根的定义，因为$(-5)^3 = -125$，所以$-125$的立方根为$-5$，即$44-x$的立方根是$-5$。
【答案】
(1) $a=-10$；(2) $-5$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题是平方根与立方根的基础应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，整体计算量小，熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $ x $ 为实数，且$\sqrt[3]{x - 3} - \sqrt[3]{2x + 1} = 0$，求 $ x^2 + x - 3 $ 的平方根.
答案
$\because \sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{2x+1}=0$,
$\therefore x-3=2x+1$,解得 $x=-4$,
$\therefore x^2+x-3=9$,$9$ 的平方根是$\pm3$.
故 $x^2+x-3$ 的平方根是$\pm3$.
$\therefore x-3=2x+1$,解得 $x=-4$,
$\therefore x^2+x-3=9$,$9$ 的平方根是$\pm3$.
故 $x^2+x-3$ 的平方根是$\pm3$.
解析
【分析】
首先观察已知等式，两个立方根的差为0即两个立方根相等。根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，据此可列出关于x的一元一次方程，解出x的值；再将x代入代数式$x^2 + x - 3$求出结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：$\because \sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{2x+1}=0$
$\therefore \sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$
根据立方根的性质可得：$x-3=2x+1$
移项合并同类项得：$-x=4$
解得 $x=-4$
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2+(-4)-3=16-4-3=9$
$\because (\pm3)^2=9$
$\therefore 9$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的性质；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是利用立方根的性质列方程求出x的值，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式，两个立方根的差为0即两个立方根相等。根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，据此可列出关于x的一元一次方程，解出x的值；再将x代入代数式$x^2 + x - 3$求出结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：$\because \sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{2x+1}=0$
$\therefore \sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$
根据立方根的性质可得：$x-3=2x+1$
移项合并同类项得：$-x=4$
解得 $x=-4$
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2+(-4)-3=16-4-3=9$
$\because (\pm3)^2=9$
$\therefore 9$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
立方根的性质；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是利用立方根的性质列方程求出x的值，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
