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1. (无锡中考)实数9的算术平方根是(
A.3
B.$\pm 3$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-9$
A
).A.3
B.$\pm 3$
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-9$
答案
1. A
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义，区分算术平方根和平方根的差异：算术平方根是指非负数的非负平方根，结果一定大于等于0，而平方根有正负两个结果。首先排除负数选项D，再排除表示平方根的B选项；接下来找平方等于9的正数，由于$3^2=9$，即可确定9的算术平方根为3，对应选项A，C是9的倒数，不符合要求。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果为非负数。
因为$3^2=9$，所以9的算术平方根是3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的概念，平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对算术平方根定义的掌握，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选B选项，牢记算术平方根结果非负即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确算术平方根的定义，区分算术平方根和平方根的差异：算术平方根是指非负数的非负平方根，结果一定大于等于0，而平方根有正负两个结果。首先排除负数选项D，再排除表示平方根的B选项；接下来找平方等于9的正数，由于$3^2=9$，即可确定9的算术平方根为3，对应选项A，C是9的倒数，不符合要求。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果为非负数。
因为$3^2=9$，所以9的算术平方根是3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的概念，平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对算术平方根定义的掌握，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选B选项，牢记算术平方根结果非负即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 求下列各式中的 $x$.
(1)$(x+6)^2 - 9 = 0$;
(2)$(1-2x)^2 = 289$.
(1)$(x+6)^2 - 9 = 0$;
(2)$(1-2x)^2 = 289$.
答案
2. (1)$x_1=-3,x_2=-9$ (2)$x_1=-8,x_2=9$
解析
【分析】
这两道题都是可化为$a^2=b(b≥0)$形式的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路：①先将方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式；②根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；③分别解两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$(x+6)^2 - 9 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得：$(x+6)^2 = 9$
两边同时开平方，得：$x+6 = \pm3$
分两种情况求解：
当$x+6=3$时，解得$x=3-6=-3$；
当$x+6=-3$时，解得$x=-3-6=-9$。
(2) 解方程$(1-2x)^2 = 289$
两边同时开平方，得：$1-2x = \pm17$
分两种情况求解：
当$1-2x=17$时，移项得$-2x=17-1=16$，解得$x=-8$；
当$1-2x=-17$时，移项得$-2x=-17-1=-18$，解得$x=9$。
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$；(2)$x_1=-8,x_2=9$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方根的定义
【点评】
本题是利用平方根性质解方程的基础题，解题核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，开平方时注意不要遗漏负根，计算时要注意移项变号的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都是可化为$a^2=b(b≥0)$形式的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路：①先将方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式；②根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；③分别解两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$(x+6)^2 - 9 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得：$(x+6)^2 = 9$
两边同时开平方，得：$x+6 = \pm3$
分两种情况求解：
当$x+6=3$时，解得$x=3-6=-3$；
当$x+6=-3$时，解得$x=-3-6=-9$。
(2) 解方程$(1-2x)^2 = 289$
两边同时开平方，得：$1-2x = \pm17$
分两种情况求解：
当$1-2x=17$时，移项得$-2x=17-1=16$，解得$x=-8$；
当$1-2x=-17$时，移项得$-2x=-17-1=-18$，解得$x=9$。
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$；(2)$x_1=-8,x_2=9$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方根的定义
【点评】
本题是利用平方根性质解方程的基础题，解题核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根，开平方时注意不要遗漏负根，计算时要注意移项变号的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 佳佳的卧室面积为$20\ \mathrm{m}^2$，她数了一下地面所铺的地砖（正方形）正好是80块，每块地砖的边长是多少？
答案
3. 设每块地砖的边长是 x m.
根据题意,得 80x²=20,
解得 x=0.5 或 x=-0.5.
∵x＞0,
∴x=0.5.
故每块地砖的边长是 0.5 m.
根据题意,得 80x²=20,
解得 x=0.5 或 x=-0.5.
∵x＞0,
∴x=0.5.
故每块地砖的边长是 0.5 m.
解析
【分析】
解题时首先要找到题目中的等量关系：80块正方形地砖的总面积等于卧室的总面积。我们可以先设每块地砖的边长为x m，结合正方形面积公式“正方形面积=边长²”表示出单块地砖的面积，再乘以地砖总块数等于卧室面积，即可列出方程求解。由于地砖的边长是正数，因此求出的负数解需要舍去。
【解析】
解：设每块地砖的边长是$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，80块地砖的总面积等于卧室面积，列方程得：
$80x^2=20$
化简得：$x^2=0.25$
开平方得：$x=0.5$或$x=-0.5$
$\because$ 地砖边长为正数，即$x＞0$
$\therefore$ 舍去$x=-0.5$，得$x=0.5$
【答案】
每块地砖的边长是$0.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于结合生活实际的基础计算题，解题核心是找准等量关系列方程，需要注意开平方得到两个解后，要结合实际场景的取值要求舍去不符合逻辑的解，避免出现错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要找到题目中的等量关系：80块正方形地砖的总面积等于卧室的总面积。我们可以先设每块地砖的边长为x m，结合正方形面积公式“正方形面积=边长²”表示出单块地砖的面积，再乘以地砖总块数等于卧室面积，即可列出方程求解。由于地砖的边长是正数，因此求出的负数解需要舍去。
【解析】
解：设每块地砖的边长是$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，80块地砖的总面积等于卧室面积，列方程得：
$80x^2=20$
化简得：$x^2=0.25$
开平方得：$x=0.5$或$x=-0.5$
$\because$ 地砖边长为正数，即$x＞0$
$\therefore$ 舍去$x=-0.5$，得$x=0.5$
【答案】
每块地砖的边长是$0.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
算术平方根的应用；正方形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于结合生活实际的基础计算题，解题核心是找准等量关系列方程，需要注意开平方得到两个解后，要结合实际场景的取值要求舍去不符合逻辑的解，避免出现错误。
【难度系数】
0.9
4. 已知$2x-1$的平方根是$\pm 6$，$2x-y-1$的算术平方根是5，求$2x-3y+11$的平方根。
答案
4. 根据题意,得 2x-1=36,2x-y-1=25,
则 2x=37,y=11,
∴2x-3y+11=37-3×11+11=15,
∴2x-3y+11 的平方根为±√15.
则 2x=37,y=11,
∴2x-3y+11=37-3×11+11=15,
∴2x-3y+11 的平方根为±√15.
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根和算术平方根的定义：如果一个数的平方根是±a，那么这个数等于a²；如果一个非负数的算术平方根是b，那么这个数等于b²。我们可以先根据这两个定义列出关于x、y的方程，先求出2x的值和y的值，再代入待求式2x-3y+11计算出结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：根据平方根和算术平方根的定义，得：
$2x-1=(\pm6)^2=36$，
$2x-y-1=5^2=25$，
由$2x-1=36$可得$2x=37$，
将$2x=37$代入$2x-y-1=25$，得：
$37 - y - 1 = 25$，解得$y=11$。
将$2x=37$，$y=11$代入$2x-3y+11$，得：
原式$=37 - 3×11 + 11 = 37 - 33 + 11 = 15$。
因为15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，所以$2x-3y+11$的平方根为$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
$\pm\sqrt{15}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根与算术平方根的基础应用类题目，解题的核心是准确把握两个概念的区别与联系：算术平方根是平方根中非负的那一个，两者平方后都等于被开方数；同时要注意正数的平方根有两个，结果不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根和算术平方根的定义：如果一个数的平方根是±a，那么这个数等于a²；如果一个非负数的算术平方根是b，那么这个数等于b²。我们可以先根据这两个定义列出关于x、y的方程，先求出2x的值和y的值，再代入待求式2x-3y+11计算出结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：根据平方根和算术平方根的定义，得：
$2x-1=(\pm6)^2=36$，
$2x-y-1=5^2=25$，
由$2x-1=36$可得$2x=37$，
将$2x=37$代入$2x-y-1=25$，得：
$37 - y - 1 = 25$，解得$y=11$。
将$2x=37$，$y=11$代入$2x-3y+11$，得：
原式$=37 - 3×11 + 11 = 37 - 33 + 11 = 15$。
因为15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，所以$2x-3y+11$的平方根为$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
$\pm\sqrt{15}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根与算术平方根的基础应用类题目，解题的核心是准确把握两个概念的区别与联系：算术平方根是平方根中非负的那一个，两者平方后都等于被开方数；同时要注意正数的平方根有两个，结果不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $a,b$ 为实数，且 $(a+b-2)^2$ 与 $\sqrt{2a-3b-4}$ 互为相反数，求 $a-2b$ 的值.
答案
5.
∵(a+b-2)² 与 $\sqrt{2a-3b-4}$ 互为相反数，
∴(a+b-2)² + $\sqrt{2a-3b-4}$=0,
∴ $\begin{cases}a+b-2=0,\\2a-3b-4=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=0.\end{cases}$
∴a-2b=2-2×0=2.
∵(a+b-2)² 与 $\sqrt{2a-3b-4}$ 互为相反数，
∴(a+b-2)² + $\sqrt{2a-3b-4}$=0,
∴ $\begin{cases}a+b-2=0,\\2a-3b-4=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=0.\end{cases}$
∴a-2b=2-2×0=2.
解析
【分析】
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可得到$(a+b-2)^2 + \sqrt{2a-3b-4}=0$；再结合平方数和算术平方根的非负性（两者的取值都大于等于0），两个非负数相加和为0时，只能是两个非负数各自为0，由此可列出关于a、b的二元一次方程组；最后解方程组求出a、b的取值，代入$a-2b$计算即可得到结果。
【解析】
∵$(a+b-2)^2$与$\sqrt{2a-3b-4}$互为相反数，
∴$(a+b-2)^2 + \sqrt{2a-3b-4}=0$，
又
∵$(a+b-2)^2≥0$，$\sqrt{2a-3b-4}≥0$，
∴$\begin{cases}a+b-2=0\\2a-3b-4=0\end{cases}$，
将第一个方程变形为$a=2-b$，代入第二个方程得：
$2(2-b)-3b-4=0$，
化简得$-5b=0$，解得$b=0$，
把$b=0$代入$a=2-b$，得$a=2$，
即方程组的解为$\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}$，
∴$a-2b=2-2×0=2$。
【答案】2
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是典型的非负性应用题型，解题核心是抓住平方、算术平方根的非负特征，结合相反数的性质建立方程组求解，掌握该类题型的通用思路可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可得到$(a+b-2)^2 + \sqrt{2a-3b-4}=0$；再结合平方数和算术平方根的非负性（两者的取值都大于等于0），两个非负数相加和为0时，只能是两个非负数各自为0，由此可列出关于a、b的二元一次方程组；最后解方程组求出a、b的取值，代入$a-2b$计算即可得到结果。
【解析】
∵$(a+b-2)^2$与$\sqrt{2a-3b-4}$互为相反数，
∴$(a+b-2)^2 + \sqrt{2a-3b-4}=0$，
又
∵$(a+b-2)^2≥0$，$\sqrt{2a-3b-4}≥0$，
∴$\begin{cases}a+b-2=0\\2a-3b-4=0\end{cases}$，
将第一个方程变形为$a=2-b$，代入第二个方程得：
$2(2-b)-3b-4=0$，
化简得$-5b=0$，解得$b=0$，
把$b=0$代入$a=2-b$，得$a=2$，
即方程组的解为$\begin{cases}a=2\\b=0\end{cases}$，
∴$a-2b=2-2×0=2$。
【答案】2
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是典型的非负性应用题型，解题核心是抓住平方、算术平方根的非负特征，结合相反数的性质建立方程组求解，掌握该类题型的通用思路可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
