1. （2025·金华期中）(1)如图①,线段OA的一个端点O在直线l上,且与直线l所成的锐角为$50°$,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画个.
(2)如图①,如果OA与直线l所成的锐角为$60°$,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画个.
(3)如图②,$△ ABC$中,$∠ A=20°,∠ B=50°$,过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画条.
(4)如图③,在$△ ABC$中,$∠ BAC=20°$,若存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,试求$∠ B$的度数.

1.(1)4 解析:如图①,①AO=OP₁;②AO=AP₂;③AO=OP₃;④AP₄=OP₄,这样的等腰三角形能画4个.
(2)2 解析:以O为圆心,OA为半径画弧,交直线l于两点,因为含60°角的等腰三角形是等边三角形,所以其他构造方法得到的点落在了已得到的这两个点上,故这样的等腰三角形能画2个.
(3)5 解析:如图②,①AC=AF,②BC=BE,③CB=CD,④AM=CM,⑤BN=NC,故过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画5条.
(4)如图③,当AD=CD时,∠ACD=∠A=20°,
∴ ∠CDB=40°.
∴ ①当CD=BD时,∠B=∠BCD=70°;②当CD=BC时,∠B=∠CDB=40°;③当BD=BC时,∠B=180°-40°-40°=100°;
如图④,当AC=AE,CE=BE 时,
∵ ∠A=20°,
∴ ∠ACE = ∠AEC=80°,
∴ ∠B=∠BCE=40°;如图⑤,当AC=CE,CE=BE时,
∵ ∠A=20°,
∴ ∠AEC=∠A=20°,
∴ ∠B=10°.
综上所述,存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,∠B的度数为70°或40°或100°或10°.

2. |尺规作图 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$.现要将其分割成三个小三角形，使每个小三角形都是等腰三角形(不能有剩余).小文借助尺规解决这一问题的作法:①如图①，分别作$AB,AC$边的垂直平分线，交于点$P$;②连接$PA,PB,PC$.沿线段$PA,PB,PC$分割，即可得到三个等腰三角形.
(1)受小文的启发，同学们想到另一种思路:如图②，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，交$AC$边于点$D$，交$AB$边于点$E$.在此基础上构造两条线段(以图中标有字母的点为端点)作为分割线，也可解决此问题.请在图②中画出一种分割方案，并写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数.
(2)如图③，在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=108°$，请在图③中设计出一种分割方案，将该三角形分割成三个等腰三角形.(要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明分割线)

2.(1)答案不唯一,如:如图①,连接BD,DE,则BD,DE即为所求分割线.
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°.
∵ BD=BC,
∴ ∠BDC=∠BCD,
∴ ∠DBC=180°-72°×2=36°,
∴ △BDC是顶角为36°的等腰三角形.
∵ ∠DBE=∠ABC-∠DBC=36°,BD=BE,
∴ △BDE是顶角为36°的等腰三角形.
∵ ∠BED=∠BDE=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°,
∴ ∠AED=180°-∠BED=108°,
∴ ∠ADE=180°-∠AED-∠A=36°,
∴ ∠ADE=∠A,
∴ AE=DE,
∴ △AED是顶角为108°的等腰三角形.
(2)如图②,分割线为AD 和 AE.(合理即可)