1. 已知在$△ ABC$中，$AB = AC$，过点$B$引一条射线$BM$，$D$是$BM$上一点，已知$∠ ABC = ∠ ADB = 20°$.
(1) 当射线$BM$在$∠ ABC$内，如图①所示，求$∠ BDC$的度数.
(2) 当射线$BM$在$BC$下方，如图②所示，请问$∠ BDC$的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出$∠ BDC$的度数.

1. (1) 在BD上取一点E,使得AE=AD,如图①所示,
∵ ∠ABC=∠ADB=20°,AB=AC,AE=AD,
∴ ∠ABC=∠ACB=20°,∠AED=∠ADE=20°,
∴ ∠BAC=∠EAD=140°,
∴ ∠BAE=∠CAD.
∵ 在△BAE 和 △CAD 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴ △BAE≌△CAD(SAS),
∴ ∠ADC=∠AEB=180°-20°=160°,
∴ ∠BDC=160°-20°=140°.

(2) ∠BDC的度数会变化.
在DB延长线上取一点E,连接AE,使得AE=AD,如图②所示,同(1)的方法可证:△BAE≌△CAD,
∴ ∠ADC=∠E=20°,
∴ ∠BDC=∠ADE+∠ADC=20°+20°=40°.

2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$位于$△ ABC$上方,且$∠ ADC=45°$,$△ BDC$的面积为$8$,求$CD$的长度.

$\rightarrow$进一步挑战进阶专题:P45 专题32,P46 专题33

2. 过点A作AN⊥AD交CD于点N, 连接 BN, 则 ∠DAN = 90°.
∵ ∠ADC=45°,
∴ ∠AND=∠ADC=45°,
∴ AD = AN.
∵ ∠DAN+∠NAC = ∠NAC+∠BAC,
∴ ∠DAC = ∠NAB.
∵ AB = AC,
∴ △DAC≌△NAB,
∴ BN = CD,∠ANB = ∠ADC = 45°,
∴ ∠BND = ∠ANB + ∠AND=90°.
∵ △BDC 的面积为 8,
∴ $\frac{1}{2}CD · BN = 8$,即$\frac{1}{2}CD^2=8$,
∴ CD=4.