1. (1)如图①，$△ ABC$是等边三角形，点$D$是边$BC$下方一点，$∠ BDC=120°$，探索线段$DA,DB,DC$之间的数量关系.
(2)如图②，$△ ABC$为等边三角形，过点$C$的直线$a// AB$，$D$为$BC$边上一点，$DE$交直线$a$于点$E$，且$∠ ADE=60°$，求证：$CD+CE=CA$.
(3)如图③，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC+∠ ADC=180°$，$AB=AD$. 若点$E$在$CB$的延长线上，点$F$在$CD$的延长线上，满足$EF=BE+FD$，请直接写出$∠ EAF$与$∠ DAB$的数量关系.

1. (1)如图①,延长 DC 到点 E,使 CE=BD,连接 AE,
∵ △ ABC是等边三角形,
∴ AB = AC, ∠BAC = 60°.
∵ ∠ BDC = 120°,
∴ ∠ABD+∠ACD=180°.又
∵ ∠ACE+∠ACD=180°,
∴ ∠ABD=∠ACE,
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ AD=AE, ∠BAD=∠CAE.
∵ ∠BAC = 60°,即 ∠BAD+∠DAC = 60°,
∴ ∠DAC+∠CAE =60°,即∠DAE=60°,
∴ △ADE 是等边三角形,
∴ DA=DE=DC+CE=DC+DB,即 DA=DC+DB.
(2)如图②,在 AC 上截取 CM=CD,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ACB=60°,
∴ △CDM 是等边三角形,
∴ MD=CD=CM,∠CMD = ∠CDM = 60°,
∴ ∠AMD = 120°.
∵ ∠ADE = 60°,
∴ ∠ADE= ∠MDC,
∴ ∠ADM = ∠EDC.
∵ 直线 a // AB,
∴ ∠ACE=∠BAC=60°,
∴ ∠DCE=120°=∠AMD.在△ADM 和△EDC 中,
$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC,\\ MD=CD,\\ ∠AMD=∠ECD, \end{cases}$
∴ △ADM ≌ △EDC ( ASA ),
∴ AM=EC,
∴ CA=CM+AM=CD+CE,即 CD+CE=CA.
(3) $\boldsymbol{∠EAF=180°-\frac{1}{2}∠DAB}$. 解析:如图③,在 DC 上取一点G,使得 DG=BE,连接 AG.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,
∴ ∠ADC = ∠ABE. 又
∵ AD = AB,
∴ △ADG≌△ABE(SAS),
∴ AG=AE,∠DAG=∠BAE.
∵ EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
∴ △AEF≌△AGF(SSS),
∴ ∠FAE=∠FAG.
∵ ∠FAE + ∠FAG + ∠GAE = 360°,
∴ 2 ∠FAE + ( ∠GAB + ∠BAE) = 360°,
∴ 2 ∠FAE + ( ∠GAB + ∠DAG ) = 360°, 即$2∠FAE+∠DAB=360°,∴ ∠EAF=180°-\frac{1}{2}∠DAB$.

2. (1)阅读理解:在一节数学课上,老师提出了这样一个问题:
如图①,在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求证:DA=DC.
老师提示:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.小组讨论后,小明和小刚举手发言,讲述了他们的思路:
小明:在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形,进而解决问题;
小刚:延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形,进而解决问题.
结合图①,在小明和小刚中任选一种思路进行证明.
(2)问题解决:
如图②,在(1)的条件下,连接AC,当∠DAC=60°时,探究线段AB,BC,BD之间的数量关系,并说明理由.
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,DA=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,请直接写出线段AB,CE,BC之间的数量关系.

2. (1) 小明的思路:如图①,在 BC 上截取 BM=BA,连接 DM,
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△MBD 中,
$\begin{cases} BD=BD,\\ ∠ABD=∠MBD,\\ BA=BM, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △MBD ( SAS ),
∴ ∠A =∠BMD,AD=MD.
∵ ∠BMD+∠CMD=180°,∠C+∠A=180°,
∴ ∠C=∠CMD,
∴ DM=DC,
∴ DA=DC.
小刚的思路:如图②,延长 BA 到点 N,使 BN=BC,连接 DN,
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠NBD=∠CBD.在△NBD 和△CBD 中,
$\begin{cases} BD=BD,\\ ∠NBD=∠CBD,\\ BN=BC, \end{cases}$
∴ △NBD ≌ △CBD ( SAS ),
∴ ∠BND =∠C,ND=CD.
∵ ∠NAD+∠BAD=180°,∠C+∠BAD=180°,
∴ ∠C=∠NAD,
∴ ∠BND=∠NAD,
∴ DN=DA,
∴ DA=DC.

(2) AB,BC,BD 之间的数量关系为 AB+BC=BD.理由:如图③,延长 CB 到 P,使 BP=BA,连接 AP,由(1)知 AD=CD,
∵ ∠DAC=60°,
∴ △ADC 是等边三角形,
∴ AC=AD,∠ADC=60°.
∵ ∠BCD+∠BAD=180°,
∴ ∠ABC=360°-180°-60°=120°,
∴ ∠PBA=180°-∠ABC=60°.
∵ BP=BA,
∴ △ABP 为等边三角形,
∴ ∠PAB=60°,AB=AP.
∵ ∠DAC=60°,
∴ ∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠PAC=∠BAD.在△PAC 和△BAD中,$\begin{cases} PA=BA,\\ ∠PAC=∠BAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
∴ △PAC≌△BAD(SAS),
∴ PC=BD.
∵ PC=BP+BC=AB+BC,
∴ AB+BC=BD.
(3) 线段 AB,CE,BC 之间的数量关系为 BC-AB=2CE.
解析:如图④,连接 BD,过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于点 F,
∵ ∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠FAD=180°,
∴ ∠FAD=∠C.在△DFA 和△DEC 中,$\begin{cases} ∠DFA=∠DEC,\\ ∠FAD=∠C,\\ DA=DC, \end{cases}$
∴ △DFA≌△DEC(AAS),
∴ DF=DE,AF=CE.在Rt△BDF 和 Rt△BDE中,$\begin{cases} BD=BD,\\ DF=DE, \end{cases}$
∴ Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),
∴ BF=BE,
∴ BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,
∴ BC-AB=2CE.