【例1】如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为。
【点拨】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案。
【解答】

36°

【例2】如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AC与BD交于点E,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF.
(1)求证:AE=CE;
(2)求证:四边形ABDF为平行四边形;
(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.

【点拨】对于(1),要证明AE=CE,可通过证明△ADE和△CBE全等,利用全等三角形对应边相等得到结论;对于(2),先根据(1)的结论证明四边形ABCD是平行四边形,再利用平行四边形的性质以及已知条件DF=CD来证明四边形ABDF是平行四边形;对于(3),由条件先证四边形ABCD为矩形,再求面积.
【解答】

(1)证明:
∵ AD//CB,
∴ ∠DAC=∠BCA.
∵ E为BD的中点,
∴ DE=BE.
在△ADE和△CBE中,
$\begin{cases}∠DAC=∠BCA,\\∠AED=∠CEB,\\DE=BE,\end{cases}$
∴ △ADE≌△CBE(AAS),
∴ AE=CE.
(2)证明:由(1)得AE=CE,BE=DE,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD,AB=CD.
∵ DF=CD,
∴ AB=DF.
∵ AB//DF,
∴ 四边形ABDF为平行四边形.
(3)
∵ 四边形ABDF为平行四边形,
∴ ∠F=∠DBA,BD=AF=2,AB=DF.
∵ ∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,
∴ ∠DBA=∠BAC,
∴ AE=BE=DE,
∴ ∠BAD=90°.
∵ AB=DF=CD=1,
∴ $AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{3}$,
∴ 四边形ABDF的面积=$AB·AD=\sqrt{3}$.

【例3】如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,过点P作直线,交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF,证明:四边形ABCD为平行四边形.

【点拨】欲证四边形ABCD为平行四边形,可证明其对角线AC与BD互相平分.这时可利用题设条件PE=PF和AP+AE=CP+CF构造全等三角形.在PA,PC的延长线上分别取点M,N,使AM=AE,CN=CF,连接ME,NF,可得到$△ PAE ≌ △ PCF$,再证$△ PED ≌ △ PFB$,即可解决问题.
【证明】

证明：
在PA的延长线上取点M，使AM=AE，在PC的延长线上取点N，使CN=CF，连接ME、NF。
∵ $AP + AE = CP + CF$，
∴ $AP + AM = CP + CN$，即 $PM = PN$。
又∵ $PE = PF$，$∠ MPE = ∠ NPF$，
∴ $△ PME ≌ △ PNF$（SAS），
∴ $∠ M = ∠ N$，$ME = NF$。
∵ $AM = AE$，∴ $∠ M = ∠ AEM$，
∴ $∠ PAE = ∠ M + ∠ AEM = 2∠ M$，
同理，$CN = CF$，∴ $∠ N = ∠ CFN$，
∴ $∠ PCF = ∠ N + ∠ CFN = 2∠ N$，
∴ $∠ PAE = ∠ PCF$。
在$△ PAE$和$△ PCF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ PAE = ∠ PCF \\∠ APE = ∠ CPF \\PE = PF\end{array} $
∴ $△ PAE ≌ △ PCF$（AAS），
∴ $PA = PC$，$AE = CF$。
∵ $∠ AEP + ∠ DEP = 180°$，$∠ CFP + ∠ BFP = 180°$，
由$△ PAE ≌ △ PCF$得$∠ AEP = ∠ CFP$，
∴ $∠ DEP = ∠ BFP$。
在$△ PED$和$△ PFB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEP = ∠ BFP \\PE = PF \\∠ DPE = ∠ BPF\end{array} $
∴ $△ PED ≌ △ PFB$（ASA），
∴ $PD = PB$。
∵ $PA = PC$，$PD = PB$，即四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD为平行四边形。