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1.把5个数据－1,3,1,5,4分成{－1,1}和{3,4,5}两组,则这种分组情况的组内离差平方和为
（
A.1
B.2
C.4
D.23.2
（
C
）A.1
B.2
C.4
D.23.2
答案
1.C
解析
【分析】
要计算本题的组内离差平方和，首先明确计算规则：组内离差平方和等于各组的离差平方和之和，其中每组的离差平方和是组内每个数据与本组平均数的差的平方的总和。解题时先分别计算两个组的平均数，再分别算出每组的离差平方和，最后把两个组的结果相加即可得到答案。
【解析】
第一步：计算第一组$\{-1,1\}$的离差平方和
第一组的平均数为：$\frac{-1+1}{2}=0$
第一组的离差平方和为：$(-1-0)^2 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2$
第二步：计算第二组$\{3,4,5\}$的离差平方和
第二组的平均数为：$\frac{3+4+5}{3}=4$
第二组的离差平方和为：$(3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$
第三步：计算总的组内离差平方和
总和为：$2 + 2 = 4$
【答案】
C
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的计算逻辑，按照分步计算的思路即可求解，计算过程难度较低，只要细心计算平均数和平方就不易出错。
【难度系数】
0.7
要计算本题的组内离差平方和，首先明确计算规则：组内离差平方和等于各组的离差平方和之和，其中每组的离差平方和是组内每个数据与本组平均数的差的平方的总和。解题时先分别计算两个组的平均数，再分别算出每组的离差平方和，最后把两个组的结果相加即可得到答案。
【解析】
第一步：计算第一组$\{-1,1\}$的离差平方和
第一组的平均数为：$\frac{-1+1}{2}=0$
第一组的离差平方和为：$(-1-0)^2 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2$
第二步：计算第二组$\{3,4,5\}$的离差平方和
第二组的平均数为：$\frac{3+4+5}{3}=4$
第二组的离差平方和为：$(3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$
第三步：计算总的组内离差平方和
总和为：$2 + 2 = 4$
【答案】
C
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的计算逻辑，按照分步计算的思路即可求解，计算过程难度较低，只要细心计算平均数和平方就不易出错。
【难度系数】
0.7
2.把数据12,24,20,18,30按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 (
A.$\{12\}$和$\{18,20,24,30\}$
B.$\{12,18\}$和$\{20,24,30\}$
C.$\{12,18,20\}$和$\{24,30\}$
D.$\{12,18,20,24\}$和$\{30\}$
C
)A.$\{12\}$和$\{18,20,24,30\}$
B.$\{12,18\}$和$\{20,24,30\}$
C.$\{12,18,20\}$和$\{24,30\}$
D.$\{12,18,20,24\}$和$\{30\}$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：组内离差平方和反映的是组内数据的离散程度，组内数据越接近，离差平方和越小。解题思路为：1.先将原始数据从小到大排序；2.明确离差平方和的计算方法：组内每个数据与组平均数的差的平方之和；3.分别计算四个选项中两组的离差平方和，再求和，总和最小的就是正确选项。
【解析】
第一步：先将数据从小到大排列：12，18，20，24，30。
离差平方和计算公式：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，平均数为$\overline{x}$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
分别计算各选项的两组离差平方和总和：
选项A：第一组{12}离差平方和为0；第二组平均数为$(18+20+24+30)÷4=23$，离差平方和$=(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=25+9+1+49=84$，总和$=0+84=84$。
选项B：第一组平均数为$(12+18)÷2=15$，离差平方和$=(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组平均数为$(20+24+30)÷3=\frac{74}{3}$，离差平方和$=(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{456}{9}\approx50.67$，总和$\approx18+50.67=68.67$。
选项C：第一组平均数为$(12+18+20)÷3=\frac{50}{3}$，离差平方和$=(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{312}{9}\approx34.67$；第二组平均数为$(24+30)÷2=27$，离差平方和$=(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总和$\approx34.67+18=52.67$。
选项D：第一组平均数为$(12+18+20+24)÷4=18.5$，离差平方和$=(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=75$；第二组{30}离差平方和为0，总和$=75+0=75$。
比较可知选项C的总离差平方和最小。
【答案】
C
【知识点】
离差平方和，平均数计算，数据离散程度
【点评】
本题核心是理解离差平方和的意义，计算过程中要准确计算每组的平均数，再逐一计算平方项求和，计算时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确：组内离差平方和反映的是组内数据的离散程度，组内数据越接近，离差平方和越小。解题思路为：1.先将原始数据从小到大排序；2.明确离差平方和的计算方法：组内每个数据与组平均数的差的平方之和；3.分别计算四个选项中两组的离差平方和，再求和，总和最小的就是正确选项。
【解析】
第一步：先将数据从小到大排列：12，18，20，24，30。
离差平方和计算公式：对于一组数据$x_1,x_2,...,x_n$，平均数为$\overline{x}$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$。
分别计算各选项的两组离差平方和总和：
选项A：第一组{12}离差平方和为0；第二组平均数为$(18+20+24+30)÷4=23$，离差平方和$=(18-23)^2+(20-23)^2+(24-23)^2+(30-23)^2=25+9+1+49=84$，总和$=0+84=84$。
选项B：第一组平均数为$(12+18)÷2=15$，离差平方和$=(12-15)^2+(18-15)^2=18$；第二组平均数为$(20+24+30)÷3=\frac{74}{3}$，离差平方和$=(20-\frac{74}{3})^2+(24-\frac{74}{3})^2+(30-\frac{74}{3})^2=\frac{456}{9}\approx50.67$，总和$\approx18+50.67=68.67$。
选项C：第一组平均数为$(12+18+20)÷3=\frac{50}{3}$，离差平方和$=(12-\frac{50}{3})^2+(18-\frac{50}{3})^2+(20-\frac{50}{3})^2=\frac{312}{9}\approx34.67$；第二组平均数为$(24+30)÷2=27$，离差平方和$=(24-27)^2+(30-27)^2=18$，总和$\approx34.67+18=52.67$。
选项D：第一组平均数为$(12+18+20+24)÷4=18.5$，离差平方和$=(12-18.5)^2+(18-18.5)^2+(20-18.5)^2+(24-18.5)^2=75$；第二组{30}离差平方和为0，总和$=75+0=75$。
比较可知选项C的总离差平方和最小。
【答案】
C
【知识点】
离差平方和，平均数计算，数据离散程度
【点评】
本题核心是理解离差平方和的意义，计算过程中要准确计算每组的平均数，再逐一计算平方项求和，计算时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.6
3.过程学习 在某次数学测试中,4名同学的成绩分别为70,68,75,82.根据组内离差平方和最小原则,把这4名同学的成绩分为两组.
解:将4个数据由小到大排序后分成两组,所有情况如下表所示:(请将表格补充完整,结果精确到0.01):
| 分组情况 | 离差平方和 | | 组内离差平方和 |
| --- | --- | --- | --- |
| | 第1组 | 第2组 | |
| 第1组1个,第2组3个 | {68} | {70,75,
} | |
| 第1组2个,第2组2个 | {68,70} | {75,82} | |
| 第1组3个,第2组1个 | {68,70,75} | {82} | |
上表中的计算结果表明,第种情况的组内离差平方和最小,因此把这4名同学的成绩分为两组是{}和{}.
解:将4个数据由小到大排序后分成两组,所有情况如下表所示:(请将表格补充完整,结果精确到0.01):
| 分组情况 | 离差平方和 | | 组内离差平方和 |
| --- | --- | --- | --- |
| | 第1组 | 第2组 | |
| 第1组1个,第2组3个 | {68} | {70,75,
} | || 第1组2个,第2组2个 | {68,70} | {75,82} | |
| 第1组3个,第2组1个 | {68,70,75} | {82} | |
上表中的计算结果表明,第种情况的组内离差平方和最小,因此把这4名同学的成绩分为两组是{}和{}.
答案
3.0 72.67 72.67 2 24.5 26.5 26 0 26 3 68,70,75 82
解析
【分析】
要解决本题，首先明确离差平方和的计算逻辑：先求每组数据的平均值，再计算该组每个数据与平均值差值的平方和，两组的离差平方和相加即为组内离差平方和。我们依次计算三种分组下各组的离差平方和，再加总得到各组的组内离差平方和，最后比较三个总数值，最小的对应的分组就是符合要求的分组。
【解析】
1. 第一种分组：{68}、{70,75,82}
第1组平均值为68，离差平方和：$(68-68)^2=0$
第2组平均值：$\frac{70+75+82}{3}\approx75.67$，离差平方和：$(70-75.67)^2+(75-75.67)^2+(82-75.67)^2\approx72.67$
组内离差平方和：$0+72.67=72.67$
2. 第二种分组：{68,70}、{75,82}
第1组平均值：$\frac{68+70}{2}=69$，离差平方和：$(68-69)^2+(70-69)^2=2$
第2组平均值：$\frac{75+82}{2}=78.5$，离差平方和：$(75-78.5)^2+(82-78.5)^2=24.5$
组内离差平方和：$2+24.5=26.5$
3. 第三种分组：{68,70,75}、{82}
第1组平均值：$\frac{68+70+75}{3}=71$，离差平方和：$(68-71)^2+(70-71)^2+(75-71)^2=26$
第2组平均值为82，离差平方和：$(82-82)^2=0$
组内离差平方和：$26+0=26$
比较三个组内离差平方和：$72.67＞26.5＞26$，因此第三种情况组内离差平方和最小。
【答案】
表格第一行（第1组离差平方和、第2组离差平方和、组内离差平方和）依次填：0，72.67，72.67；
表格第二行依次填：2，24.5，26.5；
表格第三行依次填：26，0，26；
后续空依次填：3；68,70,75；82
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，需要掌握平均数的计算方法，理解离差平方和反映组内数据波动程度的意义，计算时注意数值准确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.65
要解决本题，首先明确离差平方和的计算逻辑：先求每组数据的平均值，再计算该组每个数据与平均值差值的平方和，两组的离差平方和相加即为组内离差平方和。我们依次计算三种分组下各组的离差平方和，再加总得到各组的组内离差平方和，最后比较三个总数值，最小的对应的分组就是符合要求的分组。
【解析】
1. 第一种分组：{68}、{70,75,82}
第1组平均值为68，离差平方和：$(68-68)^2=0$
第2组平均值：$\frac{70+75+82}{3}\approx75.67$，离差平方和：$(70-75.67)^2+(75-75.67)^2+(82-75.67)^2\approx72.67$
组内离差平方和：$0+72.67=72.67$
2. 第二种分组：{68,70}、{75,82}
第1组平均值：$\frac{68+70}{2}=69$，离差平方和：$(68-69)^2+(70-69)^2=2$
第2组平均值：$\frac{75+82}{2}=78.5$，离差平方和：$(75-78.5)^2+(82-78.5)^2=24.5$
组内离差平方和：$2+24.5=26.5$
3. 第三种分组：{68,70,75}、{82}
第1组平均值：$\frac{68+70+75}{3}=71$，离差平方和：$(68-71)^2+(70-71)^2+(75-71)^2=26$
第2组平均值为82，离差平方和：$(82-82)^2=0$
组内离差平方和：$26+0=26$
比较三个组内离差平方和：$72.67＞26.5＞26$，因此第三种情况组内离差平方和最小。
【答案】
表格第一行（第1组离差平方和、第2组离差平方和、组内离差平方和）依次填：0，72.67，72.67；
表格第二行依次填：2，24.5，26.5；
表格第三行依次填：26，0，26；
后续空依次填：3；68,70,75；82
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，需要掌握平均数的计算方法，理解离差平方和反映组内数据波动程度的意义，计算时注意数值准确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.65
4.应用意识 艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学.某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九年级(1)班抽测到的10名同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10名同学的测评分值分组统计如下：
【描述与分析】
分组数据统计量分析表
根据以上信息，解答下面的问题：
(1)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
(2)分别求出m,n,p,q的值；
【判断与决策】
(3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
【收集与整理】10名同学的测评分值分组统计如下：
【描述与分析】
分组数据统计量分析表
根据以上信息，解答下面的问题：
(1)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
36
°；(2)分别求出m,n,p,q的值；
【判断与决策】
(3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
答案
4.解:(1)36
(2)方式一中Ⅰ组数据的中位数m=85,方式二中乙组数据的众数n=90,方式一分成{80,85,85,90,100}和{80,85,90,90,95}的组内离差平方和p=230+130=360.方式二分成{80,80,85,85,85}和{90,90,90,95,100}的组内离差平方和q=30+80=110；
(3)方式二利于开展小组学习,理由如下:由表知,方式二的组内离差平方和小于方式一,更利于开展小组学习,促进同学间的互帮互助、共同进步.(答案不唯一)
(2)方式一中Ⅰ组数据的中位数m=85,方式二中乙组数据的众数n=90,方式一分成{80,85,85,90,100}和{80,85,90,90,95}的组内离差平方和p=230+130=360.方式二分成{80,80,85,85,85}和{90,90,90,95,100}的组内离差平方和q=30+80=110；
(3)方式二利于开展小组学习,理由如下:由表知,方式二的组内离差平方和小于方式一,更利于开展小组学习,促进同学间的互帮互助、共同进步.(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 扇形统计图中某部分对应圆心角的计算方法为：用360°乘以该部分占总体的比例即可。首先确定100分的人数占总抽测人数的占比，再代入计算就能得到圆心角度数。
(2) 求中位数m：先将方式一Ⅰ组的数据按大小排序，数据个数为奇数时，最中间的数就是中位数；求众数n：找出方式二乙组数据中出现次数最多的数即为众数；p、q是对应分组方式下两组离差平方和的总和，直接相加计算即可。
(3) 组内离差平方和越小，说明组内成员的成绩差异越小，成绩接近的成员组队更利于互帮互助，结合两组离差平方和的大小就能判断合适的分组方式。
【解析】
(1) 本次共抽测10名同学，其中得100分的有1名，占总人数的比例为$\frac{1}{10}=10\%$，因此“100分”对应的圆心角度数为$360°×10\%=36°$。
(2) ①方式一Ⅰ组数据为{80,85,85,90,100}，共5个数据，排序后第3个数据是85，因此中位数$m=85$；
②方式二乙组数据为{90,90,90,95,100}，其中90出现次数最多，因此众数$n=90$；
③p为方式一两组组内离差平方和的和，即$p=230+130=360$；
④q为方式二两组组内离差平方和的和，即$q=30+80=110$。
(3) 选择方式二开展小组学习。理由：组内离差平方和越小，说明组内成员成绩差异越小，基础更接近，更方便同学间互帮互助、共同进步，方式二的组内离差平方和110远小于方式一的360，因此选择方式二。（理由合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{36}$
(2) $\boldsymbol{m=85,n=90,p=360,q=110}$
(3) 选择方式二，理由：方式二组内离差平方和更小，组内成员成绩差异小，更利于互帮互助共同进步（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
扇形统计图计算、统计量计算、统计决策应用
【点评】
本题结合美育测评的真实场景考查统计相关知识，既检验了基础统计概念的掌握情况，又引导学生用统计结论解决实际问题，注重对应用意识的考查。
【难度系数】
0.75
(1) 扇形统计图中某部分对应圆心角的计算方法为：用360°乘以该部分占总体的比例即可。首先确定100分的人数占总抽测人数的占比，再代入计算就能得到圆心角度数。
(2) 求中位数m：先将方式一Ⅰ组的数据按大小排序，数据个数为奇数时，最中间的数就是中位数；求众数n：找出方式二乙组数据中出现次数最多的数即为众数；p、q是对应分组方式下两组离差平方和的总和，直接相加计算即可。
(3) 组内离差平方和越小，说明组内成员的成绩差异越小，成绩接近的成员组队更利于互帮互助，结合两组离差平方和的大小就能判断合适的分组方式。
【解析】
(1) 本次共抽测10名同学，其中得100分的有1名，占总人数的比例为$\frac{1}{10}=10\%$，因此“100分”对应的圆心角度数为$360°×10\%=36°$。
(2) ①方式一Ⅰ组数据为{80,85,85,90,100}，共5个数据，排序后第3个数据是85，因此中位数$m=85$；
②方式二乙组数据为{90,90,90,95,100}，其中90出现次数最多，因此众数$n=90$；
③p为方式一两组组内离差平方和的和，即$p=230+130=360$；
④q为方式二两组组内离差平方和的和，即$q=30+80=110$。
(3) 选择方式二开展小组学习。理由：组内离差平方和越小，说明组内成员成绩差异越小，基础更接近，更方便同学间互帮互助、共同进步，方式二的组内离差平方和110远小于方式一的360，因此选择方式二。（理由合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{36}$
(2) $\boldsymbol{m=85,n=90,p=360,q=110}$
(3) 选择方式二，理由：方式二组内离差平方和更小，组内成员成绩差异小，更利于互帮互助共同进步（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
扇形统计图计算、统计量计算、统计决策应用
【点评】
本题结合美育测评的真实场景考查统计相关知识，既检验了基础统计概念的掌握情况，又引导学生用统计结论解决实际问题，注重对应用意识的考查。
【难度系数】
0.75
