【典例1】已知关于$a,b$的多项式$-2ab^{k}+ab-2^{4}$的次数为3，则$k=$，常数项为.

因为多项式$-2ab^{k}+ab-2^{4}$的次数为3，所以$1+k=3$，所以$k=2$.
多项式$-2ab^{k}+ab-2^{4}$的常数项为$-2^{4}$.
答案：2 $-2^{4}$

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确两个核心概念：一是多项式的次数，指的是多项式里次数最高的项的次数，而单个单项式的次数是所有字母的指数和；二是常数项是多项式中不含字母的项。首先观察多项式的三个项：第二项$ab$的次数是2，第三项$-2^4$是常数、次数为0，题目说多项式总次数是3，说明最高次项只能是第一项$-2ab^k$，因此我们可以根据最高次项的次数列等式求$k$，再直接找不含字母的项得到常数项即可。
【解析】
1. 求$k$的值
多项式$-2ab^{k}+ab-2^{4}$共有3项：$-2ab^k$、$ab$、$-2^4$。
其中$ab$的次数为$1+1=2$，$-2^4$是常数项、次数为0，已知多项式的次数为3，因此最高次项为$-2ab^k$。
单项式的次数是所有字母的指数和，因此$-2ab^k$的次数为$1+k$，可列等式：
$1+k=3$
解得$k=2$。
2. 找常数项
多项式中不含字母的项为常数项，因此该多项式的常数项为$-2^4$。
【答案】
2；$-2^{4}$
【知识点】
多项式的次数；常数项的定义
【点评】
本题属于整式部分的基础题，重点考查多项式的基础概念，解题时要注意多项式的次数是最高次项的次数，计算单项式次数时只统计字母的指数，常数项要保留原有符号，避免漏写负号。
【难度系数】
0.8

【典例2】已知多项式$x^{|m+1|}+(m-1)x-10$是关于x的二次三项式，则常数m的值为。
[解析]因为多项式$x^{|m+1|}+(m-1)x-10$是关于x的二次三项式，
所以$|m+1|=2$且$m-1≠0$，
所以$m=-3$。
[答案]$-3$

因为多项式$x^{|m+1|}+(m-1)x-10$是关于x的二次三项式，
所以$|m+1|=2$且$m-1≠0$，
所以$m=-3$。
答案：$-3$

【分析】
要解决这个问题，首先得明确二次三项式的定义：“二次”指多项式的最高次项的次数是2，“三项式”指多项式共有3个独立的项。首先看给出的多项式，最高次项是$x^{|m+1|}$，所以首先要满足它的次数为2，即$|m+1|=2$；其次要保证是三项式，若一次项系数$m-1=0$，则一次项会消失，多项式就变成二项式，因此还需满足$m-1≠0$。接下来先解绝对值方程得到m的可能取值，再排除不符合系数不为0的取值，就能得到正确结果。
【解析】
因为多项式$x^{|m+1|}+(m-1)x-10$是关于x的二次三项式，所以需同时满足两个条件：
1. 最高次项次数为2：$|m+1|=2$，根据绝对值的性质，绝对值等于2的数是2或-2，因此$m+1=2$或$m+1=-2$，解得$m=1$或$m=-3$；
2. 多项式为三项式：一次项系数不能为0，即$m-1≠0$，也就是$m≠1$。
综上，舍去不符合条件的$m=1$，可得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数、多项式的项、绝对值运算
【点评】
本题是整式部分的基础常考题，重点考查对多项式相关概念的理解，易错点是容易忽略“三项式”要求下一次项系数不能为0的限制，导致多写错误解$m=1$，解题时紧扣题目给出的次数和项数两个限定条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7

方法锦囊
(1)已知次数,则将最高次项的所有字母的指数相加.
①若指数含参,令最高次项次数=已知次数;
②若系数含参,比已知次数高的项系数应为0,建立等量关系求解.
(2)已知项数,通常实际项数高于已知项数,令多出的项的系数为0.
【变式】(1)如果关于$x$的多项式$-3x^{2}+(n-5)x+1$中不含一次项,那么$n=$;
(2)已知多项式$\frac{1}{2}x^{|m|}-(m+2)x+7$是关于$x$的二次三项式,求$m$的值.

(1) 因为关于$x$的多项式$-3x^{2}+(n-5)x+1$中不含一次项，
所以一次项的系数$n-5=0$,所以$n=5$。
故答案为 5。
(2) 由题意,得$|m|=2$,且$-(m+2)≠0$,所以$m=2$.

【分析】
(1) 解题思路：若多项式不含某一项，说明该项的系数为0（系数为0时，该项整体为0，相当于不存在）。本题中不含一次项，先找到一次项的系数，令其等于0，即可列方程求解n的值。
(2) 解题思路：“二次三项式”包含两个条件：①“二次”说明多项式的最高次项的次数为2，由此可列关于m的绝对值方程；②“三项式”说明多项式共有3项，即每一项的系数都不能为0（否则对应项消失，项数减少），结合两个条件筛选m的取值即可。
【解析】
(1) 因为关于$x$的多项式$-3x^{2}+(n-5)x+1$中不含一次项，所以一次项的系数为0，即：
$n-5=0$
解得$n=5$。
(2) 由题意，多项式$\frac{1}{2}x^{|m|}-(m+2)x+7$是关于$x$的二次三项式，因此：
首先最高次项次数为2，得$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
其次要保证是三项式，一次项系数不能为0，即$-(m+2)≠0$，解得$m≠-2$。
综上可得$m=2$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{m=2}$
【知识点】
多项式的相关概念，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是整式章节的基础常考题，核心考查对多项式次数、项数概念的理解，需要掌握“不含某一项则该项系数为0”、“几次几项式对应最高次次数为对应值、项数为对应值”的解题规则，求解参数后注意验证是否满足所有限定条件，避免漏判或多解。
【难度系数】
0.7

1.下列各式不是单项式的为 （）

A.5
B.a
C.$\frac{b}{a}$
D.$\frac{1}{2}x^2y$

1. C

【分析】
要判断哪个式子不是单项式，首先得明确单项式的定义：由数和字母的乘积组成的式子叫单项式，单独的一个数或者一个字母也属于单项式，特别注意单项式的分母里不能含有字母。解题时我们把每个选项对照这个定义逐一判断，就能找出不符合要求的选项。
【解析】
首先明确单项式的判定规则：
1. 数与字母的乘积形式是单项式；
2. 单独的数、单独的字母都是单项式；
3. 分母含有字母的式子不是单项式。
逐个分析选项：
选项A：5是单独的数字，符合单项式定义，是单项式；
选项B：a是单独的字母，符合单项式定义，是单项式；
选项C：$\frac{b}{a}$的分母含有字母a，是字母b除以字母a的商的形式，不符合单项式的要求，不是单项式；
选项D：$\frac{1}{2}x^2y$是数字$\frac{1}{2}$和字母$x^2$、$y$的乘积，符合单项式定义，是单项式。
因此不是单项式的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要掌握单项式“分母不含字母”这一核心判定要点，记牢概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

2.关于多项式$a^2 - 2a^2b + b - 1$，下列说法正确的是（）

A.它的次数是6
B.它的常数项是1
C.它的项是$a^2, -2a^2b, b$与1
D.它是三次四项式

2. D [解析] 多项式$a^2 - 2a^2b + b - 1$的次数是3,常数项是-1,它的项是$a^2,-2a^2b,b$与-1,它是三次四项式,所以D选项符合题意.

【分析】
解决这类题需要先回忆多项式的相关基础概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意要包含单项式前面的符号；②常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项；③多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。接下来我们先逐一分析给定多项式的项、次数、常数项，再逐个判断选项对错即可。
【解析】
先分析多项式$a^2 - 2a^2b + b - 1$的相关属性：
1. 确定所有项：分别是$a^2$、$-2a^2b$、$b$、$-1$，共4项，其中不含字母的常数项是$-1$；
2. 计算各项次数：$a^2$的次数是2，$-2a^2b$的次数是$2+1=3$，$b$的次数是1，可知最高次项的次数是3，因此这个多项式是三次四项式。
再逐一判断选项：
A. 它的次数是6，错误，实际次数为3；
B. 它的常数项是1，错误，实际常数项为-1；
C. 它的项是$a^2, -2a^2b, b$与1，错误，最后一项应为-1；
D. 它是三次四项式，符合分析结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项，多项式的次数，常数项
【点评】
本题考查多项式的基本概念，属于基础题，解题时要注意多项式的项需要包含前面的符号，不要漏掉负号，多项式的次数由最高次项的次数决定。
【难度系数】
0.8

3.填表：

3. 2 -2.3 1 -1 $-\frac{2}{3}$ 2 1 3 2 2(横排)

【分析】
要解决这个填表问题，首先我们要明确两个核心概念：1. 单项式的系数：指单项式中的数字因数，注意要包含数字前面的符号，如果单项式只有字母部分，默认系数是1或者-1；2. 单项式的次数：指单项式里所有字母的指数之和，单独一个字母的指数是1，计算次数时不要遗漏。接下来我们逐个分析每个单项式：
① 对于$2x^2$：数字因数是2，只有x一个字母，指数是2；
② 对于$-2.3y$：数字因数是-2.3，只有y一个字母，指数是1；
③ 对于$xy^2$：没有写出的数字因数默认是1，有x（指数1）和y（指数2）两个字母，指数和是$1+2=3$；
④ 对于$-x^2$：数字因数是-1，只有x一个字母，指数是2；
⑤ 对于$-\frac{2vt}{3}$：数字因数是$-\frac{2}{3}$，有v（指数1）和t（指数1）两个字母，指数和是$1+1=2$。
【解析】
首先填写系数行（从左到右）：
$2x^2$的系数是2；$-2.3y$的系数是-2.3；$xy^2$的系数是1；$-x^2$的系数是-1；$-\frac{2vt}{3}$的系数是$-\frac{2}{3}$。
再填写次数行（从左到右）：
$2x^2$的次数是2；$-2.3y$的次数是1；$xy^2$的次数是3；$-x^2$的次数是2；$-\frac{2vt}{3}$的次数是2。
横排依次为：2，-2.3，1，-1，$-\frac{2}{3}$，2，1，3，2，2。
【答案】
2 -2.3 1 -1 $-\frac{2}{3}$ 2 1 3 2 2(横排)
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握单项式系数和次数的定义，易错点是容易忽略系数的负号，以及漏算单独字母的指数1。
【难度系数】
0.9

4.多项式$-5m^{2}n^{2}+m^{3}-2^{3}n^{2}-25$是次项式，其中次数最高的项是，二次项的系数是，常数项是。

4. 四 四 $-5m^2n^2$ $-2^3$ $-25$

【分析】
解决这道题需要先明确多项式的相关基础概念，按以下步骤思考：1. 先把多项式拆分为单独的单项式，注意每个项要带上前面的正负号，数出单项式的总个数就是项数；2. 计算每个单项式的次数（所有字母的指数相加，常数项次数为0），最高的次数就是多项式的次数；3. 对应找到次数最高的项、次数为2的项的系数、不含字母的常数项即可，注意所有系数都要带前面的符号。
【解析】
首先拆分多项式$-5m^{2}n^{2}+m^{3}-2^{3}n^{2}-25$，得到4个带符号的单项式：$-5m^{2}n^{2}$、$m^{3}$、$-2^{3}n^{2}$、$-25$，因此项数为4。
分别计算各项次数：
1. $-5m^{2}n^{2}$：字母m指数为2，字母n指数为2，总次数为$2+2=4$；
2. $m^{3}$：仅含字母m，指数为3，次数为3；
3. $-2^{3}n^{2}$：仅含字母n，指数为2，次数为2；
4. $-25$：不含字母，为常数项，次数为0。
多项式的次数取最高项的次数，因此该多项式为四次四项式；次数最高的项是$-5m^2n^2$；二次项为$-2^3n^2$，其系数为$-2^3$；常数项为$-25$。
【答案】
四；四；$-5m^2n^2$；$-2^3$；$-25$
【知识点】
多项式的次数；多项式的项数；单项式的系数
【点评】
本题是整式章节的基础常规题，核心考查多项式相关基础定义，解题时要注意项的系数、常数项都需要携带前面的符号，不要漏写负号，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8