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5.某同学的数学笔记可见的一部分如图所示，若要补充图中这个不完整的代数式，则补充的内容可以是
+xy-5是一
三次三项式。
$-2xy^2$(答案不唯一)
。+xy-5是一
三次三项式。答案
5. $-2xy^2$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三次三项式的定义：“三项”指的是多项式共有3个不可合并的单项式，“三次”指的是多项式中次数最高的项的次数为3。观察已有的代数式部分，已经包含xy（二次项）和-5（常数项）两个项，所以我们需要补充的是第三项，且这一项的次数必须是3（因为现有项的最高次数是2，要让整个多项式为三次，补充项的次数需为3），同时补充的项不能和xy、-5是同类项（避免合并后项数不足3）。只要写出系数不为0、次数为3且不与已有项同类的单项式即可。
【解析】
首先明确多项式相关定义：
1. 多项式的项数：合并同类项后，多项式包含的单项式的个数；
2. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数为所有字母的指数和。
已知代数式为三次三项式，现有项为xy（次数$1+1=2$）、-5（次数0），共2项，因此补充的项需满足：
① 是次数为3的单项式（使多项式最高次数为3）；
② 不与xy、-5为同类项（保证总项数为3）。
例如补充$-2xy^2$，此时多项式为$-2xy^2+xy-5$，最高次项是$-2xy^2$，次数为$1+2=3$，共有3个项，符合三次三项式的要求。（符合要求的答案均可，如$3x^2y$、$x^3$等都正确）
【答案】
$-2xy^2$（答案不唯一）
【知识点】
多项式的次数、多项式的项数、单项式的次数
【点评】
本题考查多项式的基本概念，属于基础概念应用题，只要准确理解多项式次数和项数的定义，就能轻松写出符合要求的答案，解题时注意答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三次三项式的定义：“三项”指的是多项式共有3个不可合并的单项式，“三次”指的是多项式中次数最高的项的次数为3。观察已有的代数式部分，已经包含xy（二次项）和-5（常数项）两个项，所以我们需要补充的是第三项，且这一项的次数必须是3（因为现有项的最高次数是2，要让整个多项式为三次，补充项的次数需为3），同时补充的项不能和xy、-5是同类项（避免合并后项数不足3）。只要写出系数不为0、次数为3且不与已有项同类的单项式即可。
【解析】
首先明确多项式相关定义：
1. 多项式的项数：合并同类项后，多项式包含的单项式的个数；
2. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数为所有字母的指数和。
已知代数式为三次三项式，现有项为xy（次数$1+1=2$）、-5（次数0），共2项，因此补充的项需满足：
① 是次数为3的单项式（使多项式最高次数为3）；
② 不与xy、-5为同类项（保证总项数为3）。
例如补充$-2xy^2$，此时多项式为$-2xy^2+xy-5$，最高次项是$-2xy^2$，次数为$1+2=3$，共有3个项，符合三次三项式的要求。（符合要求的答案均可，如$3x^2y$、$x^3$等都正确）
【答案】
$-2xy^2$（答案不唯一）
【知识点】
多项式的次数、多项式的项数、单项式的次数
【点评】
本题考查多项式的基本概念，属于基础概念应用题，只要准确理解多项式次数和项数的定义，就能轻松写出符合要求的答案，解题时注意答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.8
6.把下列式子分别填在相对应的大括号内：
$-x,a^2-\frac{1}{3},\frac{2n-3p}{m},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5}.$
单项式：$\{ \dots \};$
多项式：$\{ \dots \};$
整式：$\{ \dots \}.$
$-x,a^2-\frac{1}{3},\frac{2n-3p}{m},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5}.$
单项式：$\{ \dots \};$
多项式：$\{ \dots \};$
整式：$\{ \dots \}.$
答案
6. 解:单项式:$\{ -x,-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}$;
多项式:$\{ a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},\dots \}$;
整式:$\{ -x,a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}.$
多项式:$\{ a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},\dots \}$;
整式:$\{ -x,a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}.$
解析
【分析】
要解决这类代数式分类题，首先要牢记三个核心概念：1.单项式：数和字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式，注意分母不能含有字母；2.多项式：几个单项式的和；3.整式是单项式和多项式的统称，分母含字母的式子不属于整式。解题时先把分母含字母的式子排除出整式范围，再从剩下的式子中区分单项式和多项式即可，还要注意π是固定常数，不是字母。
【解析】
我们逐个判断每个式子的类型：
1. $-x$：是$-1$和$x$的乘积，属于单项式，也属于整式；
2. $a^2-\frac{1}{3}$：是单项式$a^2$和$-\frac{1}{3}$的和，属于多项式，也属于整式；
3. $\frac{2n-3p}{m}$：分母含有字母$m$，不属于整式，因此也不是单项式或多项式；
4. $\frac{a-b}{3}$：可以拆成$\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}b$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
5. $-7$：是单独的数字，属于单项式，也属于整式；
6. $π$：是固定的常数，属于单独的数，属于单项式，也属于整式；
7. $\frac{m^2n^2}{5}$：是$\frac{1}{5}$和$m^2n^2$的乘积，属于单项式，也属于整式。
按照要求分类即可。
【答案】
单项式:$\{ -x,-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}$;
多项式:$\{ a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},\dots \}$;
整式:$\{ -x,a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}$.
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题是代数式分类的基础题，解题核心是准确掌握单项式、多项式、整式的概念，易错点是容易误认为π是字母，或者忽略分母含字母的式子不属于整式的规则。
【难度系数】
0.8
要解决这类代数式分类题，首先要牢记三个核心概念：1.单项式：数和字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式，注意分母不能含有字母；2.多项式：几个单项式的和；3.整式是单项式和多项式的统称，分母含字母的式子不属于整式。解题时先把分母含字母的式子排除出整式范围，再从剩下的式子中区分单项式和多项式即可，还要注意π是固定常数，不是字母。
【解析】
我们逐个判断每个式子的类型：
1. $-x$：是$-1$和$x$的乘积，属于单项式，也属于整式；
2. $a^2-\frac{1}{3}$：是单项式$a^2$和$-\frac{1}{3}$的和，属于多项式，也属于整式；
3. $\frac{2n-3p}{m}$：分母含有字母$m$，不属于整式，因此也不是单项式或多项式；
4. $\frac{a-b}{3}$：可以拆成$\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}b$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
5. $-7$：是单独的数字，属于单项式，也属于整式；
6. $π$：是固定的常数，属于单独的数，属于单项式，也属于整式；
7. $\frac{m^2n^2}{5}$：是$\frac{1}{5}$和$m^2n^2$的乘积，属于单项式，也属于整式。
按照要求分类即可。
【答案】
单项式:$\{ -x,-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}$;
多项式:$\{ a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},\dots \}$;
整式:$\{ -x,a^2-\frac{1}{3},\frac{a-b}{3},-7,π,\frac{m^2n^2}{5},\dots \}$.
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题是代数式分类的基础题，解题核心是准确掌握单项式、多项式、整式的概念，易错点是容易误认为π是字母，或者忽略分母含字母的式子不属于整式的规则。
【难度系数】
0.8
7.(山东聊城东阿期末)已知两个关于y的多项式$2y - 3y^n + 7$与$my^3 + 4y^2 - 5$的次数相同，那么$-5n^2$的值是
-20或-45
。答案
7. -20或-45 [解析] 由题意,得当$m=0$时,$my^3+4y^2-5=4y^2-5$,该多项式的次数为2,所以$n=2$,所以$-5n^2=-5×2^2=-20$;
当$m≠0$时,$my^3+4y^2-5$的次数为3,
所以$n=3$,所以$-5n^2=-5×3^2=-45$.
综上,$-5n^2$的值是-20或-45.
当$m≠0$时,$my^3+4y^2-5$的次数为3,
所以$n=3$,所以$-5n^2=-5×3^2=-45$.
综上,$-5n^2$的值是-20或-45.
解析
【分析】
首先我们需要回忆多项式次数的定义：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。题目中两个多项式次数相同，第二个多项式含有三次项，但三次项的系数是字母m，因此m的取值会影响第二个多项式的次数，我们需要分两种情况讨论：第一种是m=0时，三次项消失，第二种是m≠0时，三次项存在。分别确定两种情况下第二个多项式的次数，再对应求出n的取值，最后代入计算-5n²的值即可。
【解析】
解：根据多项式次数的定义，分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，多项式$my^3 + 4y^2 - 5$化简为$4y^2 - 5$，它的最高次项是$4y^2$，次数为2。
因为两个多项式次数相同，所以多项式$2y - 3y^n + 7$的次数也为2，因此$n=2$。
代入计算得：$-5n^2=-5×2^2=-5×4=-20$。
2. 当$m≠0$时，多项式$my^3 + 4y^2 - 5$的最高次项是$my^3$，次数为3。
因为两个多项式次数相同，所以多项式$2y - 3y^n + 7$的次数也为3，因此$n=3$。
代入计算得：$-5n^2=-5×3^2=-5×9=-45$。
综上，$-5n^2$的值为-20或-45。
【答案】
-20或-45
【知识点】
多项式的次数；代数式求值
【点评】
本题重点考查多项式次数的理解与应用，解题的关键是注意到第二个多项式三次项的系数为字母m，需要分类讨论，易错点是容易遗漏m=0的情况，导致只算出一个结果，出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先我们需要回忆多项式次数的定义：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。题目中两个多项式次数相同，第二个多项式含有三次项，但三次项的系数是字母m，因此m的取值会影响第二个多项式的次数，我们需要分两种情况讨论：第一种是m=0时，三次项消失，第二种是m≠0时，三次项存在。分别确定两种情况下第二个多项式的次数，再对应求出n的取值，最后代入计算-5n²的值即可。
【解析】
解：根据多项式次数的定义，分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，多项式$my^3 + 4y^2 - 5$化简为$4y^2 - 5$，它的最高次项是$4y^2$，次数为2。
因为两个多项式次数相同，所以多项式$2y - 3y^n + 7$的次数也为2，因此$n=2$。
代入计算得：$-5n^2=-5×2^2=-5×4=-20$。
2. 当$m≠0$时，多项式$my^3 + 4y^2 - 5$的最高次项是$my^3$，次数为3。
因为两个多项式次数相同，所以多项式$2y - 3y^n + 7$的次数也为3，因此$n=3$。
代入计算得：$-5n^2=-5×3^2=-5×9=-45$。
综上，$-5n^2$的值为-20或-45。
【答案】
-20或-45
【知识点】
多项式的次数；代数式求值
【点评】
本题重点考查多项式次数的理解与应用，解题的关键是注意到第二个多项式三次项的系数为字母m，需要分类讨论，易错点是容易遗漏m=0的情况，导致只算出一个结果，出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
8. 练思维·推理能力 观察下列单项式：$-x,3x^2,-5x^3,7x^4,···$.
(1) 这组单项式的系数的符号的规律是________，系数的绝对值的规律是________；
(2) 这组单项式的次数的规律是________；
(3) 根据上面的归纳，可以猜想第$n$个单项式是________；(用含$n$的代数式表示)
(4) 请你根据猜想，写出第2008个、第2009个单项式.
(1) 这组单项式的系数的符号的规律是________，系数的绝对值的规律是________；
(2) 这组单项式的次数的规律是________；
(3) 根据上面的归纳，可以猜想第$n$个单项式是________；(用含$n$的代数式表示)
(4) 请你根据猜想，写出第2008个、第2009个单项式.
答案
8. 解:(1)负号、正号依次出现 从1开始的连续奇数
(2)从1开始的连续自然数
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)根据猜想可知,第2 008个单项式是$4015x^{2008}$,第2 009个单项式是$-4017x^{2009}$.
(2)从1开始的连续自然数
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$
(4)根据猜想可知,第2 008个单项式是$4015x^{2008}$,第2 009个单项式是$-4017x^{2009}$.
解析
【分析】
解决这类单项式规律题，我们可以把每个单项式拆成符号、系数绝对值、字母的次数三个部分分别找规律：①先看符号，对比第1、2、3、4项的符号，总结奇偶项的符号变化规律；②再看系数的大小，对比前几项系数绝对值和项数的关系；③接着看x的次数，总结次数和项数的关系；最后把三部分的规律整合得到第n个单项式的通用表达式，代入具体数值就能求出对应项。
【解析】
我们先逐项观察给出的单项式：第1项是$-x$，第2项是$3x^2$，第3项是$-5x^3$，第4项是$7x^4$。
(1) 符号部分：第1项为负，第2项为正，第3项为负，第4项为正，所以符号规律是负号、正号依次出现；
系数绝对值部分：第1项是1，第2项是3，第3项是5，第4项是7，都是连续的奇数，所以规律是从1开始的连续奇数。
(2) 次数部分：第1项x的指数是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，所以规律是从1开始的连续自然数，和项数相等。
(3) 整合规律：符号可以用$(-1)^n$表示（n为正整数，n是奇数时结果为负，n是偶数时结果为正），系数绝对值对应$2n-1$，x的次数对应$n$，所以第n个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 求第2008个单项式：把n=2008代入表达式，$(-1)^{2008}=1$，$2×2008-1=4015$，所以结果是$4015x^{2008}$；
求第2009个单项式：把n=2009代入表达式，$(-1)^{2009}=-1$，$2×2009-1=4017$，所以结果是$-4017x^{2009}$。
【答案】
(1) 负号、正号依次出现；从1开始的连续奇数
(2) 从1开始的连续自然数
(3) $(-1)^n(2n-1)x^n$
(4) 第2008个单项式是$4015x^{2008}$，第2009个单项式是$-4017x^{2009}$
【知识点】
单项式相关概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，解题核心是将复杂的单项式拆分多个部分分别找规律，再整合得到通用结论，这种拆分分析的方法在解决规律类问题时非常实用。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律题，我们可以把每个单项式拆成符号、系数绝对值、字母的次数三个部分分别找规律：①先看符号，对比第1、2、3、4项的符号，总结奇偶项的符号变化规律；②再看系数的大小，对比前几项系数绝对值和项数的关系；③接着看x的次数，总结次数和项数的关系；最后把三部分的规律整合得到第n个单项式的通用表达式，代入具体数值就能求出对应项。
【解析】
我们先逐项观察给出的单项式：第1项是$-x$，第2项是$3x^2$，第3项是$-5x^3$，第4项是$7x^4$。
(1) 符号部分：第1项为负，第2项为正，第3项为负，第4项为正，所以符号规律是负号、正号依次出现；
系数绝对值部分：第1项是1，第2项是3，第3项是5，第4项是7，都是连续的奇数，所以规律是从1开始的连续奇数。
(2) 次数部分：第1项x的指数是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，所以规律是从1开始的连续自然数，和项数相等。
(3) 整合规律：符号可以用$(-1)^n$表示（n为正整数，n是奇数时结果为负，n是偶数时结果为正），系数绝对值对应$2n-1$，x的次数对应$n$，所以第n个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 求第2008个单项式：把n=2008代入表达式，$(-1)^{2008}=1$，$2×2008-1=4015$，所以结果是$4015x^{2008}$；
求第2009个单项式：把n=2009代入表达式，$(-1)^{2009}=-1$，$2×2009-1=4017$，所以结果是$-4017x^{2009}$。
【答案】
(1) 负号、正号依次出现；从1开始的连续奇数
(2) 从1开始的连续自然数
(3) $(-1)^n(2n-1)x^n$
(4) 第2008个单项式是$4015x^{2008}$，第2009个单项式是$-4017x^{2009}$
【知识点】
单项式相关概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，解题核心是将复杂的单项式拆分多个部分分别找规律，再整合得到通用结论，这种拆分分析的方法在解决规律类问题时非常实用。
【难度系数】
0.7
9.(河南周口鹿邑期中)如图,幸福社区计划在一块长方形空地上修建多个花坛,包括一个在中心修的半径为$r$ m的圆形花坛,和四个在各直角修的半径为$r$ m的$\frac{1}{4}$圆形花坛,剩下的区域铺上地砖.
(1)这块长方形空地上需要铺地砖的面积为
(2)(1)中所列的代数式是整式吗?如果是,请写出它的所有项,并指出它的次数及各项的系数;如果不是,直接写出判断结果.
(1)这块长方形空地上需要铺地砖的面积为
$ab-2π r^2$
$m^2$.(用含$a,b,r$的式子表示)(2)(1)中所列的代数式是整式吗?如果是,请写出它的所有项,并指出它的次数及各项的系数;如果不是,直接写出判断结果.
答案
9. 解:(1)$(ab-2π r^2)$
(2)(1)中所列的代数式是整式,它的所有项为$ab$,$-2π r^2$,它的次数为2,$ab$的系数为1,$-2π r^2$的系数为$-2π$.
(2)(1)中所列的代数式是整式,它的所有项为$ab$,$-2π r^2$,它的次数为2,$ab$的系数为1,$-2π r^2$的系数为$-2π$.
解析
【分析】
（1）要求铺地砖的面积，核心思路是用长方形空地的总面积减去所有花坛的总面积。首先计算长方形的面积，再计算花坛总面积：四个角的$\frac{1}{4}$圆形花坛半径均为$r$，4个$\frac{1}{4}$圆刚好可以拼成1个完整的圆，加上中间1个半径为$r$的圆形花坛，总花坛面积就是2个半径为$r$的圆的面积，将长方形面积与花坛总面积作差即可得到铺地砖的面积。
（2）判断整式需结合整式的定义：单项式和多项式统称为整式。再根据多项式的项、次数、系数的定义逐一分析即可，注意$π$是常数，不是字母。
【解析】
（1）解：长方形空地的面积 = 长×宽 = $a × b = ab$（$\mathrm{m}^2$）
四个角的$\frac{1}{4}$圆形花坛总面积：$4 × \frac{1}{4}π r^2 = π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
中间圆形花坛的面积：$π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
所有花坛总面积 = $π r^2 + π r^2 = 2π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
因此铺地砖的面积 = 长方形面积 - 花坛总面积 = $(ab - 2π r^2)$ $\mathrm{m}^2$
（2）解：代数式$ab - 2π r^2$是多项式，单项式和多项式统称为整式，因此它是整式。
组成该多项式的每个单项式就是它的项，因此它的项为$ab$、$-2π r^2$；
多项式的次数是最高次项的次数，$ab$的次数是$1+1=2$，$-2π r^2$的次数是2，因此该整式的次数为2；
单项式的系数是数字因数，因此$ab$的系数为1，$-2π r^2$的系数为$-2π$。
【答案】
(1)$(ab-2π r^2)$
(2)是整式，所有项为$ab$，$-2π r^2$，次数为2，$ab$的系数为1，$-2π r^2$的系数为$-2π$
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式的相关概念 3. 组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查了组合图形的面积计算以及整式的基础概念，解题时注意四个$\frac{1}{4}$圆可合并为一个整圆可简化计算，另外要牢记$π$是常数，计算系数时需包含在内。
【难度系数】
0.75
（1）要求铺地砖的面积，核心思路是用长方形空地的总面积减去所有花坛的总面积。首先计算长方形的面积，再计算花坛总面积：四个角的$\frac{1}{4}$圆形花坛半径均为$r$，4个$\frac{1}{4}$圆刚好可以拼成1个完整的圆，加上中间1个半径为$r$的圆形花坛，总花坛面积就是2个半径为$r$的圆的面积，将长方形面积与花坛总面积作差即可得到铺地砖的面积。
（2）判断整式需结合整式的定义：单项式和多项式统称为整式。再根据多项式的项、次数、系数的定义逐一分析即可，注意$π$是常数，不是字母。
【解析】
（1）解：长方形空地的面积 = 长×宽 = $a × b = ab$（$\mathrm{m}^2$）
四个角的$\frac{1}{4}$圆形花坛总面积：$4 × \frac{1}{4}π r^2 = π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
中间圆形花坛的面积：$π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
所有花坛总面积 = $π r^2 + π r^2 = 2π r^2$（$\mathrm{m}^2$）
因此铺地砖的面积 = 长方形面积 - 花坛总面积 = $(ab - 2π r^2)$ $\mathrm{m}^2$
（2）解：代数式$ab - 2π r^2$是多项式，单项式和多项式统称为整式，因此它是整式。
组成该多项式的每个单项式就是它的项，因此它的项为$ab$、$-2π r^2$；
多项式的次数是最高次项的次数，$ab$的次数是$1+1=2$，$-2π r^2$的次数是2，因此该整式的次数为2；
单项式的系数是数字因数，因此$ab$的系数为1，$-2π r^2$的系数为$-2π$。
【答案】
(1)$(ab-2π r^2)$
(2)是整式，所有项为$ab$，$-2π r^2$，次数为2，$ab$的系数为1，$-2π r^2$的系数为$-2π$
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式的相关概念 3. 组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查了组合图形的面积计算以及整式的基础概念，解题时注意四个$\frac{1}{4}$圆可合并为一个整圆可简化计算，另外要牢记$π$是常数，计算系数时需包含在内。
【难度系数】
0.75
10.(云南)单项式按一定规律排列为a，-2a，4a，-8a，16a，-32a，…，则第n个单项式是（
A.$(-2)^{n-1}a$
B.$(-2)^n a$
C.$2^{n-1}a$
D.$2^n a$
A
）A.$(-2)^{n-1}a$
B.$(-2)^n a$
C.$2^{n-1}a$
D.$2^n a$
答案
10. A [解析] 由$a=(-2)^{1-1}a$,$-2a=(-2)^{2-1}a$,$4a=(-2)^{3-1}a$,$-8a=(-2)^{4-1}a$,$16a=(-2)^{5-1}a$,$-32a=(-2)^{6-1}a$,…可得,单项式的系数为-2的幂,其指数为序号数减1,字母为$a$,
所以第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}a$.
所以第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}a$.
解析
【分析】
解决这类单项式找规律的问题，我们可以分三部分观察：符号、系数绝对值、字母部分。首先看字母部分，所有项都含有字母a，所以字母部分固定为a；接下来分析系数规律：①符号：第1项为正、第2项为负、第3项为正……即奇数项为正，偶数项为负；②系数绝对值：1、2、4、8、16……后一项的绝对值是前一项的2倍，第n项的绝对值为$2^{n-1}$。要同时满足符号和绝对值的规律，我们可以用$(-2)$的幂来表示系数：当指数为$n-1$时，刚好符合奇数项正、偶数项负，且绝对值匹配的要求，最后结合字母a即可得到第n个单项式的表达式。
【解析】
我们依次对应序号分析每个单项式：
当$n=1$时，第1个单项式是$a=(-2)^{1-1}a$
当$n=2$时，第2个单项式是$-2a=(-2)^{2-1}a$
当$n=3$时，第3个单项式是$4a=(-2)^{3-1}a$
当$n=4$时，第4个单项式是$-8a=(-2)^{4-1}a$
……
由此可归纳得出：第n个单项式的系数为$(-2)^{n-1}$，字母部分为a，所以第n个单项式是$(-2)^{n-1}a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，单项式，乘方运算
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题的核心是将单项式拆分为符号、系数绝对值、字母三个部分分别寻找规律，再整合得到通用表达式，能够有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式找规律的问题，我们可以分三部分观察：符号、系数绝对值、字母部分。首先看字母部分，所有项都含有字母a，所以字母部分固定为a；接下来分析系数规律：①符号：第1项为正、第2项为负、第3项为正……即奇数项为正，偶数项为负；②系数绝对值：1、2、4、8、16……后一项的绝对值是前一项的2倍，第n项的绝对值为$2^{n-1}$。要同时满足符号和绝对值的规律，我们可以用$(-2)$的幂来表示系数：当指数为$n-1$时，刚好符合奇数项正、偶数项负，且绝对值匹配的要求，最后结合字母a即可得到第n个单项式的表达式。
【解析】
我们依次对应序号分析每个单项式：
当$n=1$时，第1个单项式是$a=(-2)^{1-1}a$
当$n=2$时，第2个单项式是$-2a=(-2)^{2-1}a$
当$n=3$时，第3个单项式是$4a=(-2)^{3-1}a$
当$n=4$时，第4个单项式是$-8a=(-2)^{4-1}a$
……
由此可归纳得出：第n个单项式的系数为$(-2)^{n-1}$，字母部分为a，所以第n个单项式是$(-2)^{n-1}a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，单项式，乘方运算
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题的核心是将单项式拆分为符号、系数绝对值、字母三个部分分别寻找规律，再整合得到通用表达式，能够有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
11.(四川绵阳)若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，则$mn=$
0或8
.答案
11. 0或8 [解析] 因为多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式,$x^2y^2$的次数为4,所以$x^2y^2$的系数为0,$xy^{|m-n|}$的次数为3,
所以$n-2=0$,$1+|m-n|=3$,
所以$n=2$,$|m-n|=2$,
所以$|m-2|=2$,解得$m=0$或$m=4$,
所以$mn=0$或$mn=8$.
所以$n-2=0$,$1+|m-n|=3$,
所以$n=2$,$|m-n|=2$,
所以$|m-2|=2$,解得$m=0$或$m=4$,
所以$mn=0$或$mn=8$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。题目说明该多项式是关于x、y的三次多项式，我们先观察各项的次数：第二项$(n-2)x^2y^2$的次数是$2+2=4$，已经超过3，所以这一项不能存在（否则多项式就是四次多项式），因此它的系数必须为0。此时剩下的最高次项只能是第一项$xy^{|m-n|}$，它的次数是x的次数1加上y的次数$|m-n|$，这个总次数要等于3。我们先根据第二项系数为0求出n的值，再代入第一项次数的条件求出m的可能值，最后计算mn即可。
【解析】
解：
∵多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，
1. 处理四次项：$(n-2)x^2y^2$的次数为4，高于3次，要使多项式为三次多项式，该项系数必须为0，即：
$n-2=0$，解得$n=2$。
2. 计算最高次项的次数：此时最高次项为$xy^{|m-n|}$，次数为3，项的次数为所有字母的指数和，即：
$1+|m-n|=3$
把$n=2$代入得$|m-2|=2$，根据绝对值的性质，绝对值等于2的数有2和-2，因此：
$m-2=2$或$m-2=-2$，解得$m=4$或$m=0$。
3. 计算$mn$的值：
当$m=0,n=2$时，$mn=0×2=0$；
当$m=4,n=2$时，$mn=4×2=8$。
【答案】
0或8
【知识点】
多项式的次数，绝对值的运算，代数式求值
【点评】
本题解题核心是准确理解三次多项式的含义：一是最高次项的次数为3，二是所有次数高于3的项的系数必须为0，解绝对值方程时要注意有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。题目说明该多项式是关于x、y的三次多项式，我们先观察各项的次数：第二项$(n-2)x^2y^2$的次数是$2+2=4$，已经超过3，所以这一项不能存在（否则多项式就是四次多项式），因此它的系数必须为0。此时剩下的最高次项只能是第一项$xy^{|m-n|}$，它的次数是x的次数1加上y的次数$|m-n|$，这个总次数要等于3。我们先根据第二项系数为0求出n的值，再代入第一项次数的条件求出m的可能值，最后计算mn即可。
【解析】
解：
∵多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)x^2y^2+1$是关于$x,y$的三次多项式，
1. 处理四次项：$(n-2)x^2y^2$的次数为4，高于3次，要使多项式为三次多项式，该项系数必须为0，即：
$n-2=0$，解得$n=2$。
2. 计算最高次项的次数：此时最高次项为$xy^{|m-n|}$，次数为3，项的次数为所有字母的指数和，即：
$1+|m-n|=3$
把$n=2$代入得$|m-2|=2$，根据绝对值的性质，绝对值等于2的数有2和-2，因此：
$m-2=2$或$m-2=-2$，解得$m=4$或$m=0$。
3. 计算$mn$的值：
当$m=0,n=2$时，$mn=0×2=0$；
当$m=4,n=2$时，$mn=4×2=8$。
【答案】
0或8
【知识点】
多项式的次数，绝对值的运算，代数式求值
【点评】
本题解题核心是准确理解三次多项式的含义：一是最高次项的次数为3，二是所有次数高于3的项的系数必须为0，解绝对值方程时要注意有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
