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三、解答题
13. 计算：
(1)$-1^2+\sqrt[3]{-27}-(-2)×\sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)+|\sqrt{3}-2|$。
13. 计算：
(1)$-1^2+\sqrt[3]{-27}-(-2)×\sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)+|\sqrt{3}-2|$。
答案
13.解:(1)原式=-1-3+2×3=-4+6=2；
(2)原式=3+√3+2-√3=5.
(2)原式=3+√3+2-√3=5.
解析
【分析】
(1) 解题时先分别计算乘方、立方根、算术平方根，处理完符号后计算乘法，最后按从左到右的顺序计算加减。要注意$-1^2$的底数是1，结果为-1，不要误算为1；
(2) 解题时先利用乘法分配律计算根式乘法，再判断绝对值内式子的正负性化简绝对值，最后合并同类项得到结果，其中$\sqrt{3}$约为1.732，小于2，因此$\sqrt{3}-2$是负数，去绝对值后要变号。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：
$-1^2=-1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$-(-2)=2$，$\sqrt{9}=3$，
代入原式计算：
原式$=-1-3+2×3=-4+6=2$
(2) 先算乘法、化简绝对值：
根据乘法分配律，$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1=3+\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$\sqrt{3}-2＜0$，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=3+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
实数混合运算，根式运算，绝对值化简
【点评】
本题是基础运算类题目，考查实数运算的核心基础考点，易错点为$-1^2$的符号判断、绝对值化简时的正负性判断，只要严格按照运算顺序逐步计算，留意易错点即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先分别计算乘方、立方根、算术平方根，处理完符号后计算乘法，最后按从左到右的顺序计算加减。要注意$-1^2$的底数是1，结果为-1，不要误算为1；
(2) 解题时先利用乘法分配律计算根式乘法，再判断绝对值内式子的正负性化简绝对值，最后合并同类项得到结果，其中$\sqrt{3}$约为1.732，小于2，因此$\sqrt{3}-2$是负数，去绝对值后要变号。
【解析】
(1) 分别计算各部分的值：
$-1^2=-1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$-(-2)=2$，$\sqrt{9}=3$，
代入原式计算：
原式$=-1-3+2×3=-4+6=2$
(2) 先算乘法、化简绝对值：
根据乘法分配律，$\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1=3+\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$\sqrt{3}-2＜0$，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，
代入原式计算：
原式$=3+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
实数混合运算，根式运算，绝对值化简
【点评】
本题是基础运算类题目，考查实数运算的核心基础考点，易错点为$-1^2$的符号判断、绝对值化简时的正负性判断，只要严格按照运算顺序逐步计算，留意易错点即可得分。
【难度系数】
0.8
14. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 3, \\2x + y = 6a\end{cases}$的解满足不等式$x + y ＜ 3$，求实数$a$的取值范围.
答案
14. 解: $\begin{cases}x - y = 3, &①\\2x + y = 6a ,&②\end{cases}$
①+②得:$3x=6a+3,x=2a+1.$ ③
将③代入①得:$y=2a+1-3=2a-2.$
$\because x+y＜3,\therefore 4a-1＜3,\therefore a＜1.$
①+②得:$3x=6a+3,x=2a+1.$ ③
将③代入①得:$y=2a+1-3=2a-2.$
$\because x+y＜3,\therefore 4a-1＜3,\therefore a＜1.$
解析
【分析】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题思路清晰：首先需要求解含参数a的二元一次方程组，用含a的代数式分别表示出x和y的值；再将得到的x、y代入不等式x+y＜3，转化为关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。求解方程组时用加减消元法先消去y，计算更简便。
【解析】
解：$\begin{cases}x - y = 3 &①\\2x + y = 6a &②\end{cases}$
由①+②得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$ ③
将③代入①得：$2a+1 - y=3$，解得$y=2a-2$
把$x=2a+1$，$y=2a-2$代入$x+y＜3$，得：
$2a+1 + 2a-2 ＜ 3$
合并同类项得$4a -1 ＜3$
移项得$4a ＜4$
系数化为1得$a＜1$
【答案】
$a＜1$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 一元一次不等式的解法
3. 含参数方程组的应用
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，主要考查基础运算能力，解题关键是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再代入不等式求解参数范围，运算时注意遵守移项变号的规则即可。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题思路清晰：首先需要求解含参数a的二元一次方程组，用含a的代数式分别表示出x和y的值；再将得到的x、y代入不等式x+y＜3，转化为关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。求解方程组时用加减消元法先消去y，计算更简便。
【解析】
解：$\begin{cases}x - y = 3 &①\\2x + y = 6a &②\end{cases}$
由①+②得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$ ③
将③代入①得：$2a+1 - y=3$，解得$y=2a-2$
把$x=2a+1$，$y=2a-2$代入$x+y＜3$，得：
$2a+1 + 2a-2 ＜ 3$
合并同类项得$4a -1 ＜3$
移项得$4a ＜4$
系数化为1得$a＜1$
【答案】
$a＜1$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 一元一次不等式的解法
3. 含参数方程组的应用
【点评】
本题属于方程组与不等式的综合基础题，主要考查基础运算能力，解题关键是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再代入不等式求解参数范围，运算时注意遵守移项变号的规则即可。
【难度系数】
0.8
15. 如图，$AD ⊥ BC$于点$D$，$EG ⊥ BC$于点$G$，$∠ E = ∠ 3$.求证：$AD$平分$∠ BAC$.
答案
15. 证明: $\because AD⊥ BC,EG⊥ BC,$
$\therefore AD// EG,$
$\therefore ∠ E=∠ 1,∠ 3=∠ 2.$
又$\because ∠ E=∠ 3,\therefore ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
$\therefore AD// EG,$
$\therefore ∠ E=∠ 1,∠ 3=∠ 2.$
又$\because ∠ E=∠ 3,\therefore ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，需先证明∠1=∠2。首先从已知的垂直条件入手：AD⊥BC，EG⊥BC，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，可推出AD//EG。再根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得∠E=∠1；两直线平行内错角相等，可得∠3=∠2。结合题目给出的∠E=∠3，通过等量代换就能得到∠1=∠2，即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，EG⊥BC，
∴ AD//EG，
∴ ∠E=∠1，∠3=∠2。
又
∵ ∠E=∠3，
∴ ∠1=∠2，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
证明: $\because AD⊥ BC,EG⊥ BC,$
$\therefore AD// EG,$
$\therefore ∠ E=∠ 1,∠ 3=∠ 2.$
又$\because ∠ E=∠ 3,\therefore ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，重点考察平行线的判定与性质的综合应用，解题的核心是通过垂直关系得到平行关系，再借助平行线的性质完成角的等量代换，理清角之间的位置关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，需先证明∠1=∠2。首先从已知的垂直条件入手：AD⊥BC，EG⊥BC，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，可推出AD//EG。再根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可得∠E=∠1；两直线平行内错角相等，可得∠3=∠2。结合题目给出的∠E=∠3，通过等量代换就能得到∠1=∠2，即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，EG⊥BC，
∴ AD//EG，
∴ ∠E=∠1，∠3=∠2。
又
∵ ∠E=∠3，
∴ ∠1=∠2，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
证明: $\because AD⊥ BC,EG⊥ BC,$
$\therefore AD// EG,$
$\therefore ∠ E=∠ 1,∠ 3=∠ 2.$
又$\because ∠ E=∠ 3,\therefore ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore AD$平分$∠ BAC.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，重点考察平行线的判定与性质的综合应用，解题的核心是通过垂直关系得到平行关系，再借助平行线的性质完成角的等量代换，理清角之间的位置关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
