登录
1. 教材P95练习T1·变式（2025·盐城期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（
A.2,3,4
B.3,4,5
C.3,4,7
D.4,5,6
B
）.A.2,3,4
B.3,4,5
C.3,4,7
D.4,5,6
答案
1.B
2. (2025·苏州工业园区期中) 在 $△ ABC$ 中, $a,b,c$ 分别是 $∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边,在下列条件中,不能确定 $△ ABC$ 的形状是直角三角形的是(
A.$(a+b)^2=c^2$
B.$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$
C.$∠ A+∠ B=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
A
).A.$(a+b)^2=c^2$
B.$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$
C.$∠ A+∠ B=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
答案
2.A
[解析]A. $\because (a+b)^2=c^2$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=c^2$,不能得出 $a^2+b^2=c^2$,
$\therefore$ 不能得出$△ ABC$ 的形状是直角三角形,故 A 符合题意;
B. $\because a:b:c=1:1:\sqrt{2}$,
$\therefore$ 设 $a=k,b=k,c=\sqrt{2}k$,
$\therefore a^2+b^2=2k^2=c^2$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 B 不符合题意;
C. $\because ∠ A+∠ B=∠ C,\therefore ∠ C=90°$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 C 不符合题意;
D. $\because ∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,
$\therefore$ 设$∠ A=α$,则$∠ B=2α,∠ C=3α$,
$\therefore α+2α+3α=180°$,解得 $α=30°,\therefore ∠ C=90°$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 D 不符合题意.
故选 A.
[解析]A. $\because (a+b)^2=c^2$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=c^2$,不能得出 $a^2+b^2=c^2$,
$\therefore$ 不能得出$△ ABC$ 的形状是直角三角形,故 A 符合题意;
B. $\because a:b:c=1:1:\sqrt{2}$,
$\therefore$ 设 $a=k,b=k,c=\sqrt{2}k$,
$\therefore a^2+b^2=2k^2=c^2$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 B 不符合题意;
C. $\because ∠ A+∠ B=∠ C,\therefore ∠ C=90°$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 C 不符合题意;
D. $\because ∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$,
$\therefore$ 设$∠ A=α$,则$∠ B=2α,∠ C=3α$,
$\therefore α+2α+3α=180°$,解得 $α=30°,\therefore ∠ C=90°$,
$\therefore$ 能判断$△ ABC$ 为直角三角形,故 D 不符合题意.
故选 A.
3. 传统文化 《九章算术》 （2023·泸州中考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 $a,b,c$ 的计算公式：$a=\dfrac{1}{2}(m^{2}-n^{2}),b=mn,c=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$，其中 $m＞n＞0$，$m,n$ 是互质的奇数. 下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（
A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25
C
）.A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25
答案
3.C
[解析]$\because$ 当 $m=3,n=1$ 时,
$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(3^2-1^2)=4,b=mn=3×1=3$,
$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(3^2+1^2)=5,\therefore$ 选项 A 不符合题意;
$\because$ 当 $m=5,n=1$ 时,$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(5^2-1^2)=12,b=mn=5×1=5,c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(5^2+1^2)=13,\therefore$ 选项 B 不符合题意;
$\because$ 当 $m=7,n=1$ 时,$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(7^2-1^2)=24,b=mn=7×1=7,c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(7^2+1^2)=25,\therefore$ 选项 D 不符合题意;
$\because$ 没有符合条件的 $m,n$ 使 $a,b,c$ 各为 6,8,10,$\therefore$ 选项 C 符合题意. 故选 C.
[解析]$\because$ 当 $m=3,n=1$ 时,
$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(3^2-1^2)=4,b=mn=3×1=3$,
$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(3^2+1^2)=5,\therefore$ 选项 A 不符合题意;
$\because$ 当 $m=5,n=1$ 时,$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(5^2-1^2)=12,b=mn=5×1=5,c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(5^2+1^2)=13,\therefore$ 选项 B 不符合题意;
$\because$ 当 $m=7,n=1$ 时,$a=\frac{1}{2}(m^2-n^2)=\frac{1}{2}×(7^2-1^2)=24,b=mn=7×1=7,c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)=\frac{1}{2}×(7^2+1^2)=25,\therefore$ 选项 D 不符合题意;
$\because$ 没有符合条件的 $m,n$ 使 $a,b,c$ 各为 6,8,10,$\therefore$ 选项 C 符合题意. 故选 C.
4. (2025·宿迁宿豫区期中改编)如图是搭建帐篷的示意图. 在$△ ABC$中,支架$AD$从帐篷顶点$A$支撑在水平的支架$BC$上,且$AD ⊥ BC$于点$D$,经测量得:$AB=2\ \mathrm{m}$,$AD=1.2\ \mathrm{m}$,$CD=0.9\ \mathrm{m}$. 按照要求,帐篷支架$AB$与$AC$所夹的角需为直角,请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.
答案
4. 帐篷符合要求.理由如下：
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD=0.9\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$AB=2\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=\sqrt{2^2-1.2^2}=1.6(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=1.6+0.9=2.5(\mathrm{m})$.
$\because AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25,BC^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$.
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,$∠ BAC=90°$.
$\therefore$ 帐篷符合要求.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD=0.9\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$AB=2\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=\sqrt{2^2-1.2^2}=1.6(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=1.6+0.9=2.5(\mathrm{m})$.
$\because AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25,BC^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$.
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,$∠ BAC=90°$.
$\therefore$ 帐篷符合要求.
5. 教材P96习题T1·变式（2024·苏州吴中区期中）下列由三条线段$a,b,c$（所对的角分别为$∠ A,∠ B$,$∠ C$）构成的三角形：①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k\ (k＞0)$；③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$($m$为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(
A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
B
).A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
答案
5.B
[解析]①$\because ∠ A+∠ B=∠ C,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ C+∠ C=180°,\therefore ∠ C=90°,\therefore$ 能构成直角三角形；
②$\because a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2,c^2=(5k)^2=25k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2,\therefore$ 能构成直角三角形；
③$\because ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ C=180°×\frac{5}{12}=75°$,
$\therefore$ 不能构成直角三角形；
④$\because a^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1,b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$,
$\therefore a^2=b^2+c^2,\therefore$ 能构成直角三角形.
$\therefore$ 能构成直角三角形的是①②④. 故选 B.
归纳总结 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
[解析]①$\because ∠ A+∠ B=∠ C,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ C+∠ C=180°,\therefore ∠ C=90°,\therefore$ 能构成直角三角形；
②$\because a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2,c^2=(5k)^2=25k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2,\therefore$ 能构成直角三角形；
③$\because ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ C=180°×\frac{5}{12}=75°$,
$\therefore$ 不能构成直角三角形；
④$\because a^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1,b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$,
$\therefore a^2=b^2+c^2,\therefore$ 能构成直角三角形.
$\therefore$ 能构成直角三角形的是①②④. 故选 B.
归纳总结 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
6. 实验班原创 已知三条线段分别长$s,t,h$,且满足$(s+t)(s-t)=h^{2}$,则以这三条线段为边组成的三角形为
直角三角形
.答案
6. 直角三角形
7. (2025·宿迁期末)如图，在“$4×4$”的正方形网格中，$∠1+∠2$ 的度数为
45°
.答案
7. 45°
[解析]将$∠ 2$ 向下平移 1 个单位格得到 $AB$,如图,连接 $AC$,$\therefore ∠ 2=∠ ABE$.
$\because AC^2=AD^2+CD^2=2^2+1^2=5$,
$AB^2=BE^2+AE^2=2^2+1^2=5,BC^2=3^2+1^2=10,\therefore AC^2+AB^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ ABE+∠ 1=45°,\therefore ∠ 1+∠ 2=45°$.
8. 若 $a,b,c$ 是直角三角形的三条边长,斜边 $c$ 上的高是 $h$,给出下列结论:①以 $a^{2},b^{2},c^{2}$ 的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以 $a+$$b,c+h,h$ 的长为边的三条线段能组成直角三角形;③以$\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为
②
.答案
8. ②
9. 中考新考法 新定义问题 定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,$NB$,若$AM=1.5,MN=2.5,BN=2$,则点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点吗? 请说明理由.
(2)已知点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点,且$AM$为直角边,若$AB=24,AM=6$,求$BN$的长.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,$NB$,若$AM=1.5,MN=2.5,BN=2$,则点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点吗? 请说明理由.
(2)已知点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点,且$AM$为直角边,若$AB=24,AM=6$,求$BN$的长.
答案
9.(1)是. 理由如下：
$\because AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25,MN^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AM^2+NB^2=MN^2$,
$\therefore$ 以 $AM,MN,NB$ 为边的三角形是一个直角三角形,
$\therefore$ 点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(2)设 $BN=x$,则 $MN=24-AM-BN=18-x$.
①当 $MN$ 为最长线段时,
由题意,得 $MN^2=AM^2+NB^2$,
即$(18-x)^2=x^2+36$,解得 $x=8$;
②当 $BN$ 为最长线段时,
由题意,得 $BN^2=AM^2+MN^2$,
即 $x^2=36+(18-x)^2$,解得 $x=10$.
综上所述,$BN$ 的长为 8 或 10.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,注意不能漏解,属于中考常考题型.
$\because AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25,MN^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AM^2+NB^2=MN^2$,
$\therefore$ 以 $AM,MN,NB$ 为边的三角形是一个直角三角形,
$\therefore$ 点 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(2)设 $BN=x$,则 $MN=24-AM-BN=18-x$.
①当 $MN$ 为最长线段时,
由题意,得 $MN^2=AM^2+NB^2$,
即$(18-x)^2=x^2+36$,解得 $x=8$;
②当 $BN$ 为最长线段时,
由题意,得 $BN^2=AM^2+MN^2$,
即 $x^2=36+(18-x)^2$,解得 $x=10$.
综上所述,$BN$ 的长为 8 或 10.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,注意不能漏解,属于中考常考题型.
